Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/25

У этой страницы нет проверенных версий, вероятно, её качество не оценивалось на соответствие стандартам.

Эта страница была вычитана

Не исключена, однако, возможность, что комплексы $A$ и $A+\alpha$ имѣютъ одинаковую мощность, такъ что $a$ и $a+1$ выражаютъ одно и то же число.

3. Если число $\ell$ отлично оть $\ell +1$ , то оно называется конечнымъ числомъ. Если-же число $\omega$ совпадаетъ съ числомъ $\omega +1$ , то оно называется безконечнымъ числомъ^[1]. Число $1$ есть конечное число. Мы апеллируемъ при этомъ къ очевидности, что два объекта (напр. $1,1$ ) не могутъ быть однозначно сопряжены съ однимъ объектомъ ( $1$ ). Число $1+1$ или $2$ , такимъ образомъ отлично отъ $1$ .

Если число $\ell$ конечно, то и число $\ell +1$ конечно.

Это слѣдуетъ непосредственно изъ предложенiя § 2,7.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть комплексы $A$ , $A'=A+\alpha$ , $A''=A+\alpha +\beta$ будутъ представители чиселъ $\ell$ , $\ell +1$ , $\ell +1+1$ ; если бы комплексы $A'$ и $A''$ имѣли одинаковую мощность, то въ силу названнаго предложенiя комплексы $A$ и $A'$ также имѣли бы одинаковую мощность, т. е. $\ell$ не было бы конечнымъ числомъ.

4. Теперь мы займемся особыми комплексами $Z$ , элементами которыхъ служатъ числа (числовыми комплексами); именно, мы будемъ обозначать символомъ $Z$ комплексы, обладающiе слѣдующими двумя свойствами:

α) Число $1$ содержится въ комплексѣ $Z$ .

β) Если въ комплексѣ $Z$ содержится число $z$ , то въ немъ содержится и число $z+1$ .

Эти два свойства во всякомъ случаѣ принадлежатъ комплексу, содержащему всѣ числа. Но существуютъ и другiе числовые комплексы, обладающiе этими свойствами.

Мы опредѣлимъ теперь натуральный рядъ чиселъ $N$ , какъ пересѣченiе всѣхъ комплексовъ $Z$ , обладающихъ свойствами α) и β). Иными словами, мы введемъ въ составъ комплекса $N$ тѣ и только тѣ числа, которыя фигурируютъ во всѣхъ комплексахъ $Z$ .

Согласно этому опредѣленiю, число $1$ во всякомъ случаѣ фигурируетъ въ комплексѣ $N$ . Кромѣ того, если въ комплексѣ $N$ содержится

↑ Представимъ себѣ неопредѣленный рядъ точекъ на прямой линiи $B,C,D,E,$ … , слѣдующихъ другъ за другомъ на одномъ и томъ же разстоянiи одна отъ другой. Обозначимъ черезъ $\omega$ соотвѣтствующее этому комплексу число. Отъ точки $B$ съ противоположной стороны на томъ же разстоянiи нанесемъ точку $A$ . Если мы присоединимъ ее къ прежнему комплексу, то получимъ новый комплексъ, которому соотвѣтствуетъ число $\omega +1$ . Легко показать, что въ этомъ случаѣ новый комплексъ имѣетъ ту же мощность, что и первоначальный. Дѣйствительно, если мы отнесемъ точку $A$ точкѣ $B$ , точку $B$ точкѣ $C$ , точку $C$ точкѣ $D$ , вообще, отнесемъ каждую точку слѣдующей точкѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между первоначальнымъ и новымъ комплексомъ. Въ данномъ случаѣ число $\omega$ совпадаетъ съ $\omega +1$ , и потому $\omega$ есть безконечное число.

Тот же текст в современной орфографии

Не исключена, однако, возможность, что комплексы $A$ и $A+\alpha$ имеют одинаковую мощность, так что $a$ и $a+1$ выражают одно и то же число.

3. Если число $\ell$ отлично оть $\ell +1$ , то оно называется конечным числом. Если же число $\omega$ совпадает с числом $\omega +1$ , то оно называется бесконечным числом^[1]. Число $1$ есть конечное число. Мы апеллируем при этом к очевидности, что два объекта (напр. $1,1$ ) не могут быть однозначно сопряжены с одним объектом ( $1$ ). Число $1+1$ или $2$ , таким образом отлично от $1$ .

Если число $\ell$ конечно, то и число $\ell +1$ конечно.

Это следует непосредственно из предложения § 2,7.

В самом деле, пусть комплексы $A$ , $A'=A+\alpha$ , $A''=A+\alpha +\beta$ будут представители чисел $\ell$ , $\ell +1$ , $\ell +1+1$ ; если бы комплексы $A'$ и $A''$ имели одинаковую мощность, то в силу названного предложения комплексы $A$ и $A'$ также имели бы одинаковую мощность, т. е. $\ell$ не было бы конечным числом.

4. Теперь мы займёмся особыми комплексами $Z$ , элементами которых служат числа (числовыми комплексами); именно, мы будем обозначать символом $Z$ комплексы, обладающие следующими двумя свойствами:

α) Число $1$ содержится в комплексе $Z$ .

β) Если в комплексе $Z$ содержится число $z$ , то в нём содержится и число $z+1$ .

Эти два свойства во всяком случае принадлежат комплексу, содержащему все числа. Но существуют и другие числовые комплексы, обладающие этими свойствами.

Мы определим теперь натуральный ряд чисел $N$ , как пересечение всех комплексов $Z$ , обладающих свойствами α) и β). Иными словами, мы введём в состав комплекса $N$ те и только те числа, которые фигурируют во всех комплексах $Z$ .

Согласно этому определению, число $1$ во всяком случае фигурирует в комплексе $N$ . Кроме того, если в комплексе $N$ содержится

↑ Представим себе неопределённый ряд точек на прямой линии $B,C,D,E,$ … , следующих друг за другом на одном и том же расстоянии одна от другой. Обозначим через $\omega$ соответствующее этому комплексу число. От точки $B$ с противоположной стороны на том же расстоянии нанесём точку $A$ . Если мы присоединим её к прежнему комплексу, то получим новый комплекс, которому соответствует число $\omega +1$ . Легко показать, что в этом случае новый комплекс имеет ту же мощность, что и первоначальный. Действительно, если мы отнесём точку $A$ точке $B$ , точку $B$ точке $C$ , точку $C$ точке $D$ , вообще, отнесём каждую точку следующей точке, то этим будет установлено однозначное соответствие между первоначальным и новым комплексом. В данном случае число $\omega$ совпадает с $\omega +1$ , и потому $\omega$ есть бесконечное число.

[1] Представимъ себѣ неопредѣленный рядъ точекъ на прямой линiи $B,C,D,E,$ … , слѣдующихъ другъ за другомъ на одномъ и томъ же разстоянiи одна отъ другой. Обозначимъ черезъ $\omega$ соотвѣтствующее этому комплексу число. Отъ точки $B$ съ противоположной стороны на томъ же разстоянiи нанесемъ точку $A$ . Если мы присоединимъ ее къ прежнему комплексу, то получимъ новый комплексъ, которому соотвѣтствуетъ число $\omega +1$ . Легко показать, что въ этомъ случаѣ новый комплексъ имѣетъ ту же мощность, что и первоначальный. Дѣйствительно, если мы отнесемъ точку $A$ точкѣ $B$ , точку $B$ точкѣ $C$ , точку $C$ точкѣ $D$ , вообще, отнесемъ каждую точку слѣдующей точкѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между первоначальнымъ и новымъ комплексомъ. Въ данномъ случаѣ число $\omega$ совпадаетъ съ $\omega +1$ , и потому $\omega$ есть безконечное число.

[2] Представим себе неопределённый ряд точек на прямой линии $B,C,D,E,$ … , следующих друг за другом на одном и том же расстоянии одна от другой. Обозначим через $\omega$ соответствующее этому комплексу число. От точки $B$ с противоположной стороны на том же расстоянии нанесём точку $A$ . Если мы присоединим её к прежнему комплексу, то получим новый комплекс, которому соответствует число $\omega +1$ . Легко показать, что в этом случае новый комплекс имеет ту же мощность, что и первоначальный. Действительно, если мы отнесём точку $A$ точке $B$ , точку $B$ точке $C$ , точку $C$ точке $D$ , вообще, отнесём каждую точку следующей точке, то этим будет установлено однозначное соответствие между первоначальным и новым комплексом. В данном случае число $\omega$ совпадает с $\omega +1$ , и потому $\omega$ есть бесконечное число.

[1]

[1]