Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 2/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава I. Натуральныя числа. § 2. Сопряженiе, мощность.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Индекс в Викитеке

§ 2. Сопряженiе, мощность.

Tpeтiй видъ дѣятельности нашего духа заключается въ сопряженiи однихъ объектовъ съ другими. Каждое сужденiе, каждое предложенiе, которое не сводится къ простому наименованiю какого либо объекта, представляетъ собой такого рода сопряженiе. И здѣсь мы совершенно свободны въ выборѣ тѣхъ объектовъ, которые мы сопрягаемъ другъ съ другомъ; этотъ актъ нашего духа именно и ставитъ ихъ въ опредѣленныя отношенiя другъ къ другу. Но всѣ успѣхи нашего познанiя именно и сводятся къ удачному и цѣлесообразному производству такого рода сопряженiй.

Мы будемъ обыкновенно обозначать комплексы прописными буквами латинскаго алфавита. Положимъ, что мы имѣемъ два комплекса $A$ и $B$. Мы можемъ попытаться отнести каждый элементъ комплекса $A$ къ нѣкоторому элементу комплекса $B$ (т. е. считать каждый элементъ комплекса $A$ соотвѣтствующимъ нѣкоторому элементу комплекса $B$) при томъ такъ, чтобы два различныхъ элемента комплекса $A$ всегда отвѣчали различнымъ же элементамъ комплекса $B$. Если намъ удастся выполнить такого рода сопряженiе, то мы будемъ говорить, что мы отобразили комплексъ $A$ въ комплексѣ $B$ или что мы установили соотвѣтствiе между комплексомъ $A$ и комплексомъ $B$^[1]. Элементы комплекса $A$ мы будемъ называть оригиналами, а элементы комплекса $B$, къ которымъ они отнесены, ихъ изображенiями.

Легко видѣть, какую пользу можетъ приносить такого рода сопряженiе: если комплексъ $B$ намъ хорошо извѣстенъ, то такое соотвѣтствіе даетъ намъ возможность орiентироваться въ другомъ комплексѣ $A$, который до того представлялся намъ безпорядочнымъ аггрегатомъ элементовъ; каждый элементъ комплекса $A$ какъ бы получаетъ особое названiе.

2. Такого рода соотвѣтствiе будетъ взаимнымъ, если намъ пришлось, устанавливая его, воспользоваться каждымъ элементомъ комплекса $B$, т. е. если къ каждому элементу комплекса $B$ отнесенъ такимъ образомъ нѣкоторый элементъ комплекса $A$. Такого рода соотвѣтствiе мы будемъ называть однозначнымъ^[2].

Если два комплекса могутъ быть сопряжены такого рода однозначнымъ соотвѣтствiемъ, то говорятъ, что они имѣютъ одинаковую мощность^[3].

Предыдущiя соображенiя не исключаютъ возможности, что комплексъ $A$ совпадаетъ съ комплексомъ $B$; иными словами, можно устанавливать соотвѣтствiе комплекса съ самимъ собой. При этомъ каждый элементъ можетъ соотвѣтствовать либо себѣ же самому, либо другому элементу. Если каждый элементъ соотвѣтствуетъ самому себѣ, то такое сопряженiе, очевидно, однозначно, и потому каждый комплексъ имѣетъ съ самимъ собой одинаковую мощность^[4].

Нужно замѣтить, что при соотвѣтствiи, связывающемъ комплексъ съ самимъ собой, каждый элементъ сопряженъ съ нѣкоторымъ элементомъ въ качествѣ его оригинала и съ нѣкоторымъ элементомъ въ качествѣ его изображенiя; эти два элемента могутъ быть различны^[5].

Примѣрами комплексовъ одинаковой мощности могутъ служить пальцы одной руки и пальцы другой руки или точки одного отрезка $AB$ и точки другого отрѣзка $CD$. Чтобы убѣдиться въ послѣднемъ, представимъ себѣ, что отрѣзки приложены другъ къ другу подъ угломъ такъ, что концы $A$ и $C$ совпадаютъ. Если мы теперь будемъ считать соотвѣтствующей каждой точкѣ $M$ отрѣзка $AB$ ту точку $N$ отрѣзка $CD$, которая расположена на прямой $MN$, параллельной $BD$, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между точками одного и другого отрѣзка.

3. Если комплексы $A$ и $B$, а также комплексы $B$ и $C$ имѣютъ одинаковую мощность, то комплексы $A$ и $C$ также имѣютъ одинаковую мощность. Въ самомъ дѣлѣ, если произвольный элементъ $a$ комплекса $A$ связывается съ определеннымъ элементомъ $b$ комплекса $B$, а послѣднiй съ элементомъ $c$ комплекса $C$, то мы можемъ отнести элементъ $a$ элементу $c$, при этомъ каждый элементъ комплекса $A$ будетъ соотвѣтствовать нѣкоторому элементу комплекса $C$; и такимъ же образомъ, исходя отъ любого элемента комплекса $C$, мы покажемъ, что ему соотвѣтствуетъ некоторый элементъ комплекса $A$.

4. Каковъ бы ни былъ комплексъ $A$, всегда существуютъ еще объекты $\beta$, которые не содержатся въ комплексе $A$. Такой объектъ $\beta$ мы можемъ создать, напримѣръ, слѣдующимъ образомъ. Если несколько объектовъ $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$… соединены въ одинъ комплексъ $A$, то этотъ комплексъ самъ по себѣ, разсматриваемый какъ нѣкоторый объектъ, отличенъ отъ элементовъ $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$...., и потому не содержится въ комплексѣ $A$.

Это соображенiе остается въ силѣ даже въ томъ случаѣ, когда комплексъ $A$ состоитъ только изъ одного элемента, потому что мысль „объектъ $\alpha$ самъ по себѣ образуетъ систему“ — представляетъ собой нѣчто отличное отъ объекта $\alpha$^[6].

5. Если мы прибавимъ къ комплексу $A$ элементъ $\beta$, въ немъ не содержащiйся, то мы составимъ новый комплексъ $B$, который цѣлесообразно обозначить такъ:

$B=A+\beta$

(1)

при этомъ знакъ $+$ (плюсъ) обозначаетъ операцiю прибавленiя, а знакъ $=$ выражаетъ, что оба символа, которые онъ соединяетъ, обозначаютъ одинъ и тотъ же объектъ.

Точно такъ же, если комплексъ $A$ содержитъ болѣе одного элемента, то мы можемъ составить новый комплексъ такимъ образомъ, что исключимъ изъ него нѣкоторый элементъ $\alpha$, а совокупность остальныхъ элементовъ будемъ разсматривать, какъ комплексъ $B$. Для выраженiя этого мы будемъ пользоваться обозначенiемъ:

$B=A-\alpha$,

(2)

при чемъ знакъ $-$ (минусъ) обозначаетъ операцiю отниманiя.

Подъ частью комплекса $A$ мы будемъ разумѣть такой комплексъ $A'$, всѣ элементы котораго содержатся въ комплексѣ $A$.

Съ этой точки зрѣнiя каждый комплексъ представляетъ часть самого себя. Комплексъ $A'$ называется правильной частью комплекса $A$, если $A'$ не совпадаетъ съ $A$, т. е. если комплексъ $A$ содержитъ не только всѣ элементы комплекса $A'$, но еще и другiе элементы. Если $A'$ есть правильная часть комплекса $A$, то мы будемъ разумѣть подъ символомъ $A-A'$ комплексъ, который остается, если мы удалимъ изъ комплекса $A$ всѣ элементы комплекса $A'$. Точно такъ же, если $A$ и $B$ суть два комплекса, то мы будемъ разумѣть подъ символомъ $A+B$ комплексъ, содержащiй всѣ элементы, входящiе въ составъ комплексовъ $A$ и $B$.

Если комплексы $A$ и $B$ имѣютъ общiе элементы, то совокупность таковыхъ образуетъ новый комплексъ, который мы будемъ называть, руководясь геометрической аналогiей, пересѣченiемъ комплексовъ $A$ и $B$. Если два комплекса не имѣютъ общихъ элементовъ, то они не имѣютъ пересѣченiя, — не пересѣкаются.

Если всѣ элементы комплекса $B$ содержатся также въ $A$, то самый комплексъ $B$ представляетъ собою пересѣченiе комплексовъ $A$ и $B$. Въ этомъ случаѣ $A+B=A$. Если же пересѣченiе $D$ представляетъ собой правильную часть комплекса $B$, то комплексъ $B-D$ уже не имѣетъ общихъ элементовъ съ комплексомъ $A$; въ этомъ случаѣ

$A+B=A+(B-D)$.

(3)

Въ выраженiи $(B-D)$ скобки означаютъ, что этотъ комплексъ долженъ быть присоединенъ какъ одно цѣлое къ комплексу $A$. Такимъ образомъ выраженіе $A+(B-D)$ означаетъ нѣчто совершенно другое, чѣмъ выраженiе $(A+B)-D$. Первый символъ выражаетъ совокупность всѣхъ тѣхъ элементовъ, которые содержатся либо въ комплексѣ $A$, либо въ комплексѣ $B$, либо въ обоихъ комплексахъ. Второй-же символъ выражаетъ совокупность всѣхъ тѣхъ элементовъ, которые содержатся либо въ $A$ либо въ $B$, но не содержатся въ обоихъ комплексахъ вмѣстѣ. Напротивъ, каковы-бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$, всегда имѣют мѣсто соотношенiя:

$(A+B)+C=A+(B+C)$

(4)

$A+B=B+A$

Точно такъ же, если комплексы $A$ и $B$ не имѣютъ общихъ элементовъ и комплексъ $C$ составляетъ часть комплекса $B$, то

$(A+B)-C=A+(B-C)$;

если же $B$ eсть часть комплекса $A$, а $C$ часть комплекса $B$, то

$A-(B-C)=(A-B)+C$.

6. Если $A$ и $B$ суть комплексы одинаковой мощности и $\alpha$ представляетъ собой элементъ, не входящiй въ составъ комплекса $A$, а $\beta$ есть элементъ, не входящiй въ составъ $B$, то комплексы $A+\alpha$ и $B+\beta$ имѣютъ одинаковую мощность.

Дѣйствительно, если установлено однозначное соотвѣтствiе между комплексами $A$ и $B$, то достаточно отнести элементъ $\alpha$ къ элементу $\beta$, чтобы установить однозначное cooтвѣтствiе между комплексами $A+\alpha$ и $B+\beta$.

Если всѣ элементы комплекса $B$ входятъ также въ составъ комплекса $A$, то мы будемъ говорить, что комплексъ $B$ содержится въ комплексѣ $A$; при этомъ $B$ либо совпадаетъ съ $A$, либо составляетъ правильную часть его.

Вмѣстѣ съ тѣмъ имѣетъ мѣсто слѣдующее предложенiе:

7. Если комплексы $A$ и $B$ имѣютъ одинаковую мощность и $\alpha$ представляетъ собой элементъ комплекса $A$, а $\beta$ элементъ комплекса $B$, то $A-\alpha$ и $B-\beta$ суть комплексы одинаковой мощности.

Въ самомъ дѣлѣ, если комплексы $A$ и $B$ имѣютъ одинаковую мощность, то между ними можетъ быть установлено однозначное соотвѣтствiе. Если при этомъ соотвѣтствiи элементъ $\alpha$ связанъ съ элементомъ $\beta$, то достаточно опустить эту пару элементовъ и сохранить тѣ же соотношенiя между остальными элементами, чтобы комплексъ $A-\alpha$ былъ однозначно сопряженъ съ комплексомъ $B-\beta$. Если же $\alpha$ связанъ съ элементомъ $\beta '$ комплекса $B$, отличнымъ отъ элемента $\beta$, и слѣдовательно, элементъ $\beta$, въ свою очередь, связанъ съ нѣкоторымъ элементомъ $\alpha '$ комплекса $A$, отличнымъ отъ $\alpha$, то достаточно опустить элементы $\alpha$ и $\beta$ и связать другъ съ другомъ элементы $\alpha '$ и $\beta '$; этимъ будетъ вновь установлено однозначное соотвѣтствiе между комплексами $A-\alpha$ и $B-\beta$, и они имѣютъ, слѣдовательно, одинаковую мощность, какъ это требовалось доказать.

Примѣчанія.

1. Это основное понятiе необходимо выяснить подробнѣе. Положимъ, что комплексъ $A$ состоитъ изъ элементовъ $a,b,c,d$, — комплексъ же $B$ изъ элементовъ $x,y,z,u,v$. Будемъ считать элементъ $a$ соотвѣтствующимъ, скажемъ, элементу $x$, элементъ $b$ соотвѣтствующимъ элементу $u$, элементы $c$ и $d$ соответствующими элементамъ $z$ и $y$. Этимъ будетъ установлено соотвѣтствiе между комплексомъ $A$ и комплексомъ $B$. Это соотвѣтствiе ни въ чемъ иномъ не заключается, какъ въ томъ, что мы считаемъ каждый элементъ комплекса $A$ соотвѣтствующимъ (въ силу нашего соглашенiя) нѣкоторому элементу комплекса $B$. Ясно, что такое соотвѣтствiе можно установить многими другими способами.
2. Соотвѣтствіе, установленное въ предыдущемъ примѣчанiи, не однозначно, потому что элементъ $v$ комплекса $B$ остался свободнымъ: ему не соотвѣтствуетъ ни одинъ элементъ комплекса $A$. Если бы въ комплексѣ $B$ элемента $v$ не было, то соотвѣтствiе было бы однозначнымъ.
3. Если бы, слѣдовательно, въ предыдущемъ примѣрѣ не было элемента $v$, то комплексы имѣли бы одинаковую мощность.
4. Пусть въ комплексѣ $A(a,b,c,d)$ элементъ $a$ соотвѣтствуетъ элементу $b$, элементъ $b$ — элементу $d$, элементъ $c$ элементу $a$ и элементъ $d$ элементу $c$. Это соглашенiе сопрягаетъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ комплексъ $A$ съ самимъ собой. Ясно, что такого рода соотвѣтствiя могутъ быть установлены 24 способами, при чемъ одно изъ нихъ относитъ каждый элементъ самому себѣ.
5. Такъ напримѣръ, въ соотвѣтствiи, установленномъ въ предыдущемъ примѣчанiи, элементу $a$ отвѣчаетъ элементъ $b$ въ качествѣ его изображенiя и элементъ $c$ въ качествѣ оригинала.
6. Такимъ образомъ „комплексъ, содержащiй всѣ существующiе объекты“, которымъ Дедекиндъ (Dedekind) пользуется для доказательства существованiя безконечныхъ комплексовъ, не подходитъ подъ понятiе „комплекса“ въ томъ смыслѣ, какъ мы его понимаемъ.