Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/20

демъ называть оригиналами, а элементы комплекса $B$, къ которымъ они отнесены, ихъ изображенiями.

Легко видѣть, какую пользу можетъ приносить такого рода сопряженiе: если комплексъ $B$ намъ хорошо извѣстенъ, то такое соотвѣтствіе даетъ намъ возможность орiентироваться въ другомъ комплексѣ $A$, который до того представлялся намъ безпорядочнымъ аггрегатомъ элементовъ; каждый элементъ комплекса $A$ какъ бы получаетъ особое названiе.

2. Такого рода соотвѣтствiе будетъ взаимнымъ, если намъ пришлось, устанавливая его, воспользоваться каждымъ элементомъ комплекса $B$, т. е. если къ каждому элементу комплекса $B$ отнесенъ такимъ образомъ нѣкоторый элементъ комплекса $A$. Такого рода соотвѣтствiе мы будемъ называть однозначнымъ^[1].

Если два комплекса могутъ быть сопряжены такого рода однозначнымъ соотвѣтствiемъ, то говорятъ, что они имѣютъ одинаковую мощность^[2].

Предыдущiя соображенiя не исключаютъ возможности, что комплексъ $A$ совпадаетъ съ комплексомъ $B$; иными словами, можно устанавливать соотвѣтствiе комплекса съ самимъ собой. При этомъ каждый элементъ можетъ соотвѣтствовать либо себѣ же самому, либо другому элементу. Если каждый элементъ соотвѣтствуетъ самому себѣ, то такое сопряженiе, очевидно, однозначно, и потому каждый комплексъ имѣетъ съ самимъ собой одинаковую мощность^[3].

Нужно замѣтить, что при соотвѣтствiи, связывающемъ комплексъ съ самимъ собой, каждый элементъ сопряженъ съ нѣкоторымъ элементомъ въ качествѣ его оригинала и съ нѣкоторымъ элементомъ въ качествѣ его изображенiя; эти два элемента могутъ быть различны^[4].

Примѣрами комплексовъ одинаковой мощности могутъ служить пальцы одной руки и пальцы другой руки или точки одного отрезка $AB$

1. Соотвѣтствіе, установленное въ предыдущемъ примѣчанiи, не однозначно, потому что элементъ $v$ комплекса $B$ остался свободнымъ: ему не соотвѣтствуетъ ни одинъ элементъ комплекса $A$. Если бы въ комплексѣ $B$ элемента $v$ не было, то соотвѣтствiе было бы однозначнымъ.
2. Если бы, слѣдовательно, въ предыдущемъ примѣрѣ не было элемента $v$, то комплексы имѣли бы одинаковую мощность.
3. Пусть въ комплексѣ $A(a,b,c,d)$ элементъ $a$ соотвѣтствуетъ элементу $b$, элементъ $b$ — элементу $d$, элементъ $c$ элементу $a$ и элементъ $d$ элементу $c$. Это соглашенiе сопрягаетъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ комплексъ $A$ съ самимъ собой. Ясно, что такого рода соотвѣтствiя могутъ быть установлены 24 способами, при чемъ одно изъ нихъ относитъ каждый элементъ самому себѣ.
4. Такъ напримѣръ, въ соотвѣтствiи, установленномъ въ предыдущемъ примѣчанiи, элементу $a$ отвѣчаетъ элементъ $b$ въ качествѣ его изображенiя и элементъ $c$ въ качествѣ оригинала.

Тот же текст в современной орфографии

дем называть оригиналами, а элементы комплекса $B$, к которым они отнесены, их изображениями.

Легко видеть, какую пользу может приносить такого рода сопряжение: если комплекс $B$ нам хорошо известен, то такое соответствие даёт нам возможность ориентироваться в другом комплексе $A$, который до того представлялся нам беспорядочным агрегатом элементов; каждый элемент комплекса $A$ как бы получает особое название.

2. Такого рода соответствие будет взаимным, если нам пришлось, устанавливая его, воспользоваться каждым элементом комплекса $B$, т. е. если к каждому элементу комплекса $B$ отнесён таким образом некоторый элемент комплекса $A$. Такого рода соответствие мы будем называть однозначным^[1].

Если два комплекса могут быть сопряжены такого рода однозначным соответствием, то говорят, что они имеют одинаковую мощность^[2].

Предыдущие соображения не исключают возможности, что комплекс $A$ совпадает с комплексом $B$; иными словами, можно устанавливать соответствие комплекса с самим собой. При этом каждый элемент может соответствовать либо себе же самому, либо другому элементу. Если каждый элемент соответствует самому себе, то такое сопряжение, очевидно, однозначно, и потому каждый комплекс имеет с самим собой одинаковую мощность^[3].

Нужно заметить, что при соответствии, связывающем комплекс с самим собой, каждый элемент сопряжён с некоторым элементом в качестве его оригинала и с некоторым элементом в качестве его изображения; эти два элемента могут быть различны^[4].

Примерами комплексов одинаковой мощности могут служить пальцы одной руки и пальцы другой руки или точки одного отрезка $AB$

1. Соответствие, установленное в предыдущем примечании, не однозначно, потому что элемент $v$ комплекса $B$ остался свободным: ему не соответствует ни один элемент комплекса $A$. Если бы в комплексе $B$ элемента $v$ не было, то соответствие было бы однозначным.
2. Если бы, следовательно, в предыдущем примере не было элемента $v$, то комплексы имели бы одинаковую мощность.
3. Пусть в комплексе $A(a,b,c,d)$ элемент $a$ соответствует элементу $b$, элемент $b$ — элементу $d$, элемент $c$ элементу $a$ и элемент $d$ элементу $c$. Это соглашение сопрягает однозначным соответствием комплекс $A$ с самим собой. Ясно, что такого рода соответствия могут быть установлены 24 способами, причём одно из них относит каждый элемент самому себе.
4. Так например, в соответствии, установленном в предыдущем примечании, элементу $a$ отвечает элемент $b$ в качестве его изображения и элемент $c$ в качестве оригинала.