Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/21

и точки другого отрѣзка $CD$. Чтобы убѣдиться въ послѣднемъ, представимъ себѣ, что отрѣзки приложены другъ къ другу подъ угломъ такъ, что концы $A$ и $C$ совпадаютъ. Если мы теперь будемъ считать соотвѣтствующей каждой точкѣ $M$ отрѣзка $AB$ ту точку $N$ отрѣзка $CD$, которая расположена на прямой $MN$, параллельной $BD$, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между точками одного и другого отрѣзка.

3. Если комплексы $A$ и $B$, а также комплексы $B$ и $C$ имѣютъ одинаковую мощность, то комплексы $A$ и $C$ также имѣютъ одинаковую мощность. Въ самомъ дѣлѣ, если произвольный элементъ $a$ комплекса $A$ связывается съ определеннымъ элементомъ $b$ комплекса $B$, а послѣднiй съ элементомъ $c$ комплекса $C$, то мы можемъ отнести элементъ $a$ элементу $c$, при этомъ каждый элементъ комплекса $A$ будетъ соотвѣтствовать нѣкоторому элементу комплекса $C$; и такимъ же образомъ, исходя отъ любого элемента комплекса $C$, мы покажемъ, что ему соотвѣтствуетъ некоторый элементъ комплекса $A$.

4. Каковъ бы ни былъ комплексъ $A$, всегда существуютъ еще объекты $\beta$, которые не содержатся въ комплексе $A$. Такой объектъ $\beta$ мы можемъ создать, напримѣръ, слѣдующимъ образомъ. Если несколько объектовъ $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$… соединены въ одинъ комплексъ $A$, то этотъ комплексъ самъ по себѣ, разсматриваемый какъ нѣкоторый объектъ, отличенъ отъ элементовъ $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$...., и потому не содержится въ комплексѣ $A$.

Это соображенiе остается въ силѣ даже въ томъ случаѣ, когда комплексъ $A$ состоитъ только изъ одного элемента, потому что мысль „объектъ $\alpha$ самъ по себѣ образуетъ систему“ — представляетъ собой нѣчто отличное отъ объекта $\alpha$^[1].

5. Если мы прибавимъ къ комплексу $A$ элементъ $\beta$, въ немъ не содержащiйся, то мы составимъ новый комплексъ $B$, который цѣлесообразно обозначить такъ:

$B=A+\beta$

(1)

при этомъ знакъ $+$ (плюсъ) обозначаетъ операцiю прибавленiя, а знакъ $=$ выражаетъ, что оба символа, которые онъ соединяетъ, обозначаютъ одинъ и тотъ же объектъ.

Точно такъ же, если комплексъ $A$ содержитъ болѣе одного элемента, то мы можемъ составить новый комплексъ такимъ образомъ, что исключимъ изъ него нѣкоторый элементъ $\alpha$, а совокупность остальныхъ

1. Такимъ образомъ „комплексъ, содержащiй всѣ существующiе объекты“, которымъ Дедекиндъ (Dedekind) пользуется для доказательства существованiя безконечныхъ комплексовъ, не подходитъ подъ понятiе „комплекса“ въ томъ смыслѣ, какъ мы его понимаемъ.

Тот же текст в современной орфографии

и точки другого отрезка $CD$. Чтобы убедиться в последнем, представим себе, что отрезки приложены друг к другу под углом так, что концы $A$ и $C$ совпадают. Если мы теперь будем считать соответствующей каждой точке $M$ отрезка $AB$ ту точку $N$ отрезка $CD$, которая расположена на прямой $MN$, параллельной $BD$, то этим будет установлено однозначное соответствие между точками одного и другого отрезка.

3. Если комплексы $A$ и $B$, а также комплексы $B$ и $C$ имеют одинаковую мощность, то комплексы $A$ и $C$ также имеют одинаковую мощность. В самом деле, если произвольный элемент $a$ комплекса $A$ связывается с определённым элементом $b$ комплекса $B$, а последний с элементом $c$ комплекса $C$, то мы можем отнести элемент $a$ элементу $c$, при этом каждый элемент комплекса $A$ будет соответствовать некоторому элементу комплекса $C$; и таким же образом, исходя от любого элемента комплекса $C$, мы покажем, что ему соответствует некоторый элемент комплекса $A$.

4. Каков бы ни был комплекс $A$, всегда существуют ещё объекты $\beta$, которые не содержатся в комплексе $A$. Такой объект $\beta$ мы можем создать, например, следующим образом. Если несколько объектов $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$… соединены в один комплекс $A$, то этот комплекс сам по себе, рассматриваемый как некоторый объект, отличен от элементов $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$…, и потому не содержится в комплексе $A$.

Это соображение остаётся в силе даже в том случае, когда комплекс $A$ состоит только из одного элемента, потому что мысль «объект $\alpha$ сам по себе образует систему» — представляет собой нечто отличное от объекта $\alpha$^[1].

5. Если мы прибавим к комплексу $A$ элемент $\beta$, в нём не содержащийся, то мы составим новый комплекс $B$, который целесообразно обозначить так:

$B=A+\beta$

(1)

при этом знак $+$ (плюс) обозначает операцию прибавления, а знак $=$ выражает, что оба символа, которые он соединяет, обозначают один и тот же объект.

Точно так же, если комплекс $A$ содержит более одного элемента, то мы можем составить новый комплекс таким образом, что исключим из него некоторый элемент $\alpha$, а совокупность остальных

1. Таким образом «комплекс, содержащий все существующие объекты», которым Дедекинд (Dedekind) пользуется для доказательства существования бесконечных комплексов, не подходит под понятие «комплекса» в том смысле, как мы его понимаем.