Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/28

представляетъ собой комплексъ $Z_{a+1}$. Съ другой стороны, комплексъ ${N_{a}}'$ содержится въ каждомъ комплексѣ $Z_{a+1}$; дѣйствительно, $Z_{a+1}+(a+1)$ есть комплексъ $Z_{a}$ (п. 6), и потому содержитъ комплексъ $N_{a}$; слѣдовательно, комплексъ $Z_{a+1}$ содержитъ $N_{a}-(a+1)$, т. е. ${N_{a}}'$. Изъ сказаннаго вытекаетъ, что ${N_{a}}'=N_{a+1}$.

9. Число $a$ не содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

Действительно, обозначимъ черезъ $A$ комплексъ чиселъ $a$, удовлетворяющихъ требованiю, что комплексъ $N_{a}$ не содержитъ числа $a$; въ такомъ случаѣ, согласно п. 7, число $1$ входитъ въ составъ комплекса $A$. Съ другой стороны, въ виду п. 8, если въ составъ комплекса $A$ входитъ число $z$, то въ его составъ входитъ также число $z+1$. Вслѣдствiе этого комплексъ $A$ представляетъ собой комплексъ $Z$, и потому содержитъ въ себе натуральный рядъ (п. 4). А такъ какъ индексъ $a$ въ обозначенiи комплекса $N_{a}$, согласно определенiю (п. 6), есть натуральное число, то оно входитъ въ составъ комплекса $A$, т. е. комплексъ $N_{a}$, не содержитъ числа $a$.

10. Если число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$, то комплексъ $N_{b}$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

Дѣйствительно, если комплексъ $N_{a}$ содержитъ число $b$, то онъ содержитъ также число $b+1$; а такъ какъ онъ удовлетворяетъ также условiю β'), то онъ при этихъ условiяхъ представляетъ собой комплексь $Z_{b}$, и потому содержитъ въ себѣ комплексъ $N_{b}$ (п. 6).

11. Если число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$, то число $a$ не содержится въ комплексе $N_{b}$.

Согласно п. 9, число $a$ не содержится въ комплексѣ $N_{a}$; поэтому, при условiяхъ заданiя, оно не можетъ содержаться и въ комплексѣ $N_{b}$,

нечно, нарушили это условiе. Но дѣло въ томъ, что такое число $x$ не только не входитъ въ составъ комплекса $N$, но не введено вовсе опредѣленiемъ п. 1, ибо его представителемъ долженъ былъ бы служить комплексъ, не имѣющiй вовсе элементовъ, а это противорѣчитъ понятiю о комплексѣ.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что комплексъ $N'$ удовлетворяетъ обоимъ требованiямъ, т. е. представляетъ собой комплексъ $Z_{1}$. Такъ какъ комплексъ $N_{1}$ входитъ въ составь всякаго комплекса $Z_{1}$ (п. 6), то $N_{1}$ входитъ въ составъ комплекса $N'$.

Съ другой стороны, можно показать, что $N'$ входитъ въ составъ каждаго комплекса $Z_{1}$; допустимъ, дѣйствительно, что $Z_{1}$ есть комплексъ $Z_{1}$, въ составъ котораго $N'$ не входитъ; но въ такомъ случаѣ комплексъ $N'+1=N$ не входилъ бы въ составъ комплекса $Z_{1}+1=Z$ (см. предыд. примѣчанiе), а это противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда $N$. Итакъ, комплексъ $N'$ входитъ въ составъ всякаго комплекса $Z_{1}$, а потому входитъ въ составъ $N_{1}$, согласно опредѣленiю этого комплекса. Такъ какь $N_{1}$ входитъ также въ составъ $N'$, то $N_{1}=N'$, а потому комплексъ $N_{1}$ не содержитъ числа $1$.

Понявъ всѣ детали доказательства настоящаго пункта, уже нетрудно уяснить себѣ доказательства п. п 8 и 9.

Тот же текст в современной орфографии

представляет собой комплекс $Z_{a+1}$. С другой стороны, комплекс ${N_{a}}'$ содержится в каждом комплексе $Z_{a+1}$; действительно, $Z_{a+1}+(a+1)$ есть комплекс $Z_{a}$ (п. 6), и потому содержит комплекс $N_{a}$; следовательно, комплекс $Z_{a+1}$ содержит $N_{a}-(a+1)$, т. е. ${N_{a}}'$. Из сказанного вытекает, что ${N_{a}}'=N_{a+1}$.

9. Число $a$ не содержится в комплексе $N_{a}$.

Действительно, обозначим через $A$ комплекс чисел $a$, удовлетворяющих требованию, что комплекс $N_{a}$ не содержит числа $a$; в таком случае, согласно п. 7, число $1$ входит в состав комплекса $A$. С другой стороны, ввиду п. 8, если в состав комплекса $A$ входит число $z$, то в его состав входит также число $z+1$. Вследствие этого комплекс $A$ представляет собой комплекс $Z$, и потому содержит в себе натуральный ряд (п. 4). А так как индекс $a$ в обозначении комплекса $N_{a}$, согласно определению (п. 6), есть натуральное число, то оно входит в состав комплекса $A$, т. е. комплекс $N_{a}$, не содержит числа $a$.

10. Если число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$, то комплекс $N_{b}$ содержится в комплексе $N_{a}$.

Действительно, если комплекс $N_{a}$ содержит число $b$, то он содержит также число $b+1$; а так как он удовлетворяет также условию β'), то он при этих условиях представляет собой комплексь $Z_{b}$, и потому содержит в себе комплекс $N_{b}$ (п. 6).

11. Если число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$, то число $a$ не содержится в комплексе $N_{b}$.

Согласно п. 9, число $a$ не содержится в комплексе $N_{a}$; поэтому, при условиях задания, оно не может содержаться и в комплексе $N_{b}$,

нечно, нарушили это условие. Но дело в том, что такое число $x$ не только не входит в состав комплекса $N$, но не введено вовсе определением п. 1, ибо его представителем должен был бы служить комплекс, не имеющий вовсе элементов, а это противоречит понятию о комплексе.

Из сказанного следует, что комплекс $N'$ удовлетворяет обоим требованиям, т. е. представляет собой комплекс $Z_{1}$. Так как комплекс $N_{1}$ входит в составь всякого комплекса $Z_{1}$ (п. 6), то $N_{1}$ входит в состав комплекса $N'$.

С другой стороны, можно показать, что $N'$ входит в состав каждого комплекса $Z_{1}$; допустим, действительно, что $Z_{1}$ есть комплекс $Z_{1}$, в состав которого $N'$ не входит; но в таком случае комплекс $N'+1=N$ не входил бы в состав комплекса $Z_{1}+1=Z$ (см. предыд. примечание), а это противоречит определению натурального ряда $N$. Итак, комплекс $N'$ входит в состав всякого комплекса $Z_{1}$, а потому входит в состав $N_{1}$, согласно определению этого комплекса. Так какь $N_{1}$ входит также в состав $N'$, то $N_{1}=N'$, а потому комплекс $N_{1}$ не содержит числа $1$.

Поняв все детали доказательства настоящего пункта, уже нетрудно уяснить себе доказательства п. п 8 и 9.