Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 3

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава I. Натуральные числа. § 3. Числа и счёт.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Индекс в Викитеке

§ 3. Числа и счёт.

1. Согласно изложенному, мы можем соединить все комплексы, имеющие с одним из них, а следовательно, и друг с другом (§ 2, 3), одинаковую мощность, в одну систему, в одну категорию; такого рода категории, вследствие присущей им большой общности, находят себе широкое применение. Эти категории называются числами. Наименования, которые они получают, суть названия чисел, а знаки, которыми они обозначаются на письме, называются цифрами. Если $a$ есть знак или название такого рода категории, в состав которой входит комплекс $A$, то говорят, что $a$ есть число элементов комплекса $A$ или, что комплекс $A$ состоит из $a$ элементов, или короче, что $a$ есть число комплекса $A$, или $a$ есть значение этого числа, или наконец, что комплекс $A$ имеет мощность $a$^[1].

Каждое число вполне определяется одним комплексом, принадлежащим соответствующей категории; такой комплекс мы будем называть представителем этой категории.

С этой точки зрения числа не представляют собой бессодержательных символов, над которыми мы оперируем по произвольно созданным правилам; это есть содержательное родовое понятие, к которому мы были приведены практическими потребностями нашего духа и его отношением к внешнему миру^[2].

Все комплексы, состоящие только из одного элемента, имеют одинаковую мощность; они образуют одну категорию, число которой называется «один» и обозначается символом «1».

2. Если $a$ есть число комплекса $A$ и $\alpha$ представляет собой элемент, не входящий в состав комплекса $A$, то мы будем обозначать число комплекса $A+\alpha$ символом $a+1$. Это число $a+1$ не меняется, если мы заменим комплекс $A$ другим представителем числа или элемент $\alpha$ другим элементом, не входящим в состав комплекса $A$ (§ 2, 6).

Не исключена, однако, возможность, что комплексы $A$ и $A+\alpha$ имеют одинаковую мощность, так что $a$ и $a+1$ выражают одно и то же число.

3. Если число $\ell$ отлично оть $\ell +1$, то оно называется конечным числом. Если же число $\omega$ совпадает с числом $\omega +1$, то оно называется бесконечным числом^[3]. Число $1$ есть конечное число. Мы апеллируем при этом к очевидности, что два объекта (напр. $1,1$) не могут быть однозначно сопряжены с одним объектом ($1$). Число $1+1$ или $2$, таким образом отлично от $1$.

Если число $\ell$ конечно, то и число $\ell +1$ конечно.

Это следует непосредственно из предложения § 2,7.

В самом деле, пусть комплексы $A$, $A'=A+\alpha$, $A''=A+\alpha +\beta$ будут представители чисел $\ell$, $\ell +1$, $\ell +1+1$; если бы комплексы $A'$ и $A''$ имели одинаковую мощность, то в силу названного предложения комплексы $A$ и $A'$ также имели бы одинаковую мощность, т. е. $\ell$ не было бы конечным числом.

4. Теперь мы займёмся особыми комплексами $Z$, элементами которых служат числа (числовыми комплексами); именно, мы будем обозначать символом $Z$ комплексы, обладающие следующими двумя свойствами:

α) Число $1$ содержится в комплексе $Z$.

β) Если в комплексе $Z$ содержится число $z$, то в нём содержится и число $z+1$.

Эти два свойства во всяком случае принадлежат комплексу, содержащему все числа. Но существуют и другие числовые комплексы, обладающие этими свойствами.

Мы определим теперь натуральный ряд чисел $N$, как пересечение всех комплексов $Z$, обладающих свойствами α) и β). Иными словами, мы введём в состав комплекса $N$ те и только те числа, которые фигурируют во всех комплексах $Z$.

Согласно этому определению, число $1$ во всяком случае фигурирует в комплексе $N$. Кроме того, если в комплексе $N$ содержится число $n$, то в нём содержится также число $n+1$. Эти числа $n$ мы будем называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если $n$ есть натуральное число, то оно отлично от числа $n+1$. В самом деле, комплекс $E$ всех конечных чисел, согласно пункту 3, удовлетворяет условиям α) и β) ^[4]. Следовательно, $E$ представляет собой один из комплексов $Z$; поэтому $N$ входит в состав комплекса $E$, т. е. каждое число комплекса $N$ конечно.

Справедливо ли также обратное предложение, т. е. фигурирует ли каждое конечное число в натуральном ряде, — это вопрос, решение которого мы вынуждены ещё отложить.

При помощи натурального ряда чисел мы выделим частные числовые комплексы следующим образом:

6. Пусть $a$ будет натуральное число; мы будем обозначать символом $Z_{a}$ числовой комплекс, удовлетворяющий следующим двум требованиям:

α') Число $a+1$ входит в состав комплекса $Z_{a}$.

β') Если в состав комплекса $Z_{a}$ входит число $z$, то в его состав входит также число $z+1$.

Этим требованиям удовлетворяет самый натуральный ряд $N$; но им удовлетворяют и другие числовые комплексы; каждый такой комплекс, как сказано, мы будем обозначать символом $Z_{a}$. Теперь мы определим комплекс $N_{a}$, как пересечение всех комплексов $Z_{a}$. В таком случае комплекс $N_{a}$ содержится в каждом комплексе $Z_{a}$.

Согласно этому, комплекс $Z_{a+1}$ определяется следующими свойствами:

α'') Число $a+2$ фигурирует в комплексе $Z_{a+1}$.

β'') Если число $z$ содержится в комплексе $Z_{a+1}$, то в нём содержится также и число $z+1$.

(Для краткости мы здесь пишем $a+2$ вместо $[(a+1)+1]$.)

Отсюда следует, что каждый комплекс $Z_{a}$ представляет собой также комплекс $Z_{a+1}$. Если же комплекс $Z_{a+1}$ содержит число $a+1$, то он представляет собой в то же время комплекс $Z_{a}$; но если комплекс $Z_{a+1}$ числа $a+1$ не содержит, то к нему достаточно присоединить число $a+1$, чтобы получить комплекс $Z_{a}$. В обозначениях §2 это можно выразить следующим образом:

$Z_{a}=Z_{a+1}+(a+1)$ [5]

Основываясь на этом, легко доказать следующее предложение.

7. Число $1$ не содержится в комплексе $N_{1}$. Обозначим через $N'$ числовой комплекс, который образуется из комплекса $N$, если удалить из него число $1$, т. е. положим $N'=N-1$. В таком случае комплекс $N'$ удовлетворяет условиям α') и β') предыдущего пункта при $a=1$, и потому $N'$ представляет собой комплекс $Z_{1}$. С другой стороны, комплекс $N'$ содержится во всяком комплексе $Z_{1}$; в самом деле, если к какому-либо комплексу $Z_{1}$ присоединим число $1$, то получим комплекс $Z$; если бы поэтому существовал такой комплекс $Z_{1}$, в котором не содержался бы комплекс $N'$, то присоединив к нему $1$, мы получили бы такой комплекс $Z$, в котором не содержался бы комплекс $N$, — что противоречит определению натурального ряда ^[6].

8. Если число $a$ не содержится в комплексе $N_{a}$, то число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{a+1}$.

В самом деле, если число $a$ не входит в состав комплекса $N_{a}$, то оно не входит также в состав комплекса ${N_{a}}'=N_{a}-(a+1)$; поэтому комплекс ${N_{a}}'$ удовлетворяет требованиям α'') и β''), a потому представляет собой комплекс $Z_{a+1}$. С другой стороны, комплекс ${N_{a}}'$ содержится в каждом комплексе $Z_{a+1}$; действительно, $Z_{a+1}+(a+1)$ есть комплекс $Z_{a}$ (п. 6), и потому содержит комплекс $N_{a}$; следовательно, комплекс $Z_{a+1}$ содержит $N_{a}-(a+1)$, т. е. ${N_{a}}'$. Из сказанного вытекает, что ${N_{a}}'=N_{a+1}$.

9. Число $a$ не содержится в комплексе $N_{a}$.

Действительно, обозначим через $A$ комплекс чисел $a$, удовлетворяющих требованию, что комплекс $N_{a}$ не содержит числа $a$; в таком случае, согласно п. 7, число $1$ входит в состав комплекса $A$. С другой стороны, ввиду п. 8, если в состав комплекса $A$ входит число $z$, то в его состав входит также число $z+1$. Вследствие этого комплекс $A$ представляет собой комплекс $Z$, и потому содержит в себе натуральный ряд (п. 4). А так как индекс $a$ в обозначении комплекса $N_{a}$, согласно определению (п. 6), есть натуральное число, то оно входит в состав комплекса $A$, т. е. комплекс $N_{a}$, не содержит числа $a$.

10. Если число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$, то комплекс $N_{b}$ содержится в комплексе $N_{a}$.

Действительно, если комплекс $N_{a}$ содержит число $b$, то он содержит также число $b+1$; а так как он удовлетворяет также условию β'), то он при этих условиях представляет собой комплексь $Z_{b}$, и потому содержит в себе комплекс $N_{b}$ (п. 6).

11. Если число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$, то число $a$ не содержится в комплексе $N_{b}$.

Согласно п. 9, число $a$ не содержится в комплексе $N_{a}$; поэтому, при условиях задания, оно не может содержаться и в комплексе $N_{b}$, так как все элементы последнего комплекса в этом случае принадлежат комплексу $N_{a}$ (п. 10).

Мы будем называть комплекс $N_{a}$ совокупность натуральных чисел, которые больше числа $a$. Если $b$ есть число комплекса $N_{a}$, то мы будем говорить, что число «$b$ больше числа $a$» и будем выражать это в знаках так:

$b>a$.

В этой терминологии предложения п. п. 9, 10 и 11 могут быть выражены так:

9^*. Число $a$ не больше числа $a$.

10^*. Если число $b$ больше числа $a$, а число $c$ больше числа $b$, то число $c$ больше числа $a$.

11^*. Если число $b$ больше числа $a$, то число $a$ не больше числа $b$.

12. Каждое натуральное число $n$, за исключением $1$, может быть получено из некоторого определённого натурального числа $m$ прибавлением к нему единицы, т. е. существует определённое такое число $m$, что $n=m+1$. Это число $m$ мы будем обозначать символом $n-1$.

Чтобы доказать высказанное утверждение, обозначим через $N'$ комплекс, содержащий все числа вида $m+1$, где $m$ есть натуральное число. В состав этого комплекса входит число $2$, т. е. $(1+1)$; кроме того, если число $a$ входит в состав этого комплекса, то в нём содержится и число $a+1$. Следовательно, комплекс $N'$ удовлетворяет требованиям α') и β') п. 6 при $a=1$, и потому представляет собой комплекс $Z_{1}$; таким образом комплекс $N_{1}$, входит в состав комплекса $N'$. Но с другой стороны, каждое число комплекса $N'$ входит в состав комплекса $N_{1}$, ибо последний содержит все натуральные числа, кроме $1$; вследствие этого комплексы $N_{1}$ и $N'$ совпадают.

Итак, каждое число комплекса $N_{1}$, может быть представлено в виде $m+1$. Что же касается того, что данному числу $m+1$ отвечает только одно число $m$, то это вытекает из предложения § 2, 7; в самом деле, согласно этому предложению, если $A$ представляет собой комплекс мощности $a+1$ и $\alpha$ есть какой-либо элемент этого комплекса, то все комплексы $A-\alpha$ имеют одинаковую мощность.

Примечания

1. В примечании 3 мы рассматривали комплекс $A$, состоящий из элементов $a,b,c,d$. Все комплексы, имеющие ту же мощность, объединяются в одну категорию, которой дают название «четыре», и говорят, что такой комплекс состоит из четырех элементов или, что четыре есть число этого комплекса. Таким же образом и другие комплексы распределяются в категории, объединяющие комплексы одинаковой мощности; с каждой такой категорией соединяют особое понятие — её число, именуемое особым названием. С этой точки зрения и совокупность прямолинейных отрезков представляет собой такую категорию (§ 2, 2). Если мы будем обозначать через $\omega$ соответствующее ей число, то выражение: «комплекс $A$ имеет $\omega$ элементов», будет означать, что комплекс $A$ имеет ту же мощность, что и прямолинейный отрезок, или иначе, что элементы этого комплекса могут быть сопряжены однозначным соответствием с точками прямолинейного отрезка.
2. Автор намекает здесь на другую систему построения основ арифметики, с точки зрения которой числа представляют собой не более как символы, над которыми по определённым формальным законам совершаются операции. Нужно сказать, что эта вторая теория имеет свои серьёзные достоинства.
3. Представим себе неопределённый ряд точек на прямой линии $B,C,D,E,$ … , следующих друг за другом на одном и том же расстоянии одна от другой. Обозначим через $\omega$ соответствующее этому комплексу число. От точки $B$ с противоположной стороны на том же расстоянии нанесём точку $A$. Если мы присоединим её к прежнему комплексу, то получим новый комплекс, которому соответствует число $\omega +1$. Легко показать, что в этом случае новый комплекс имеет ту же мощность, что и первоначальный. Действительно, если мы отнесём точку $A$ точке $B$, точку $B$ точке $C$, точку $C$ точке $D$, вообще, отнесём каждую точку следующей точке, то этим будет установлено однозначное соответствие между первоначальным и новым комплексом. В данном случае число $\omega$ совпадает с $\omega +1$, и потому $\omega$ есть бесконечное число.
4. Действительно, $1$, как конечное число, фигурирует в комплексе $E$; кроме того, если $\ell$ есть конечное число, то и $\ell +1$ есть конечное число, т. е. если $\ell$ фигурирует в комплексе $E$, то в нём фигурирует также число $\ell +1$.
5. Прибавим к этому ещё следующее: если какой-либо комплекс $Z_{1}$ содержит число $1$, то он представляет собой также комплекс $Z$; если же в нём нет числа $1$, то достаточно присоединить число $1$, чтобы получить комплекс $Z$. Действительно, условие α) пункта 4 выполняется присоединением числа $1$, условие же β), присущее и комплексу $Z_{1}$, этим не нарушается, так как число $1+1$ имеется и в комплексе $Z_{1}$. В обозначениях § 2 это можно выразить так:

   $Z=Z_{1}+1$

   (ибо, если $1$ входит в состав комплекса $Z_{1}$, то комплекс $Z_{1}+1$ совпадает с комплексом $Z_{1}$)

6. Пункты 7—9 в первоначальной редакции содержали погрешность; вследствие этого автор опубликовал позже исправленный текст, с которого и сделан перевод; исправленный текст, однако, изложен очень сжато, и мы считаем нужным его пояснить.

   Автор хочет прежде всего показать, что $N'$ есть комплекс $Z_{1}$, для этого ему нужно обнаружить, что, во-первых, в состав комплекса $N'$ входит число $1+1$, во-вторых, если в состав комплекса $N'$ входит число $n$, то в его состав входит число $n+1$.

   В состав комплекса $N$ число $1$ входит; поэтому в состав его входит также и число $1+1$ (п. 4); так как из комплекса $N$ удалено только число $1,$ то число $1+1$ в комплексе $N'$ осталось; первое требование, следовательно, выполнено.

   Обращаемся теперь ко второму требованию; комплекс $N$ этому требованию удовлетворяет. Если бы в состав комплекса $N$ входило число $x$, удовлетворяющее условию $x+1=1$, то, устраняя из него число $1$ и сохраняя число $x$, мы бы, конечно, нарушили это условие. Но дело в том, что такое число $x$ не только не входит в состав комплекса $N$, но не введено вовсе определением п. 1, ибо его представителем должен был бы служить комплекс, не имеющий вовсе элементов, а это противоречит понятию о комплексе.

   Из сказанного следует, что комплекс $N'$ удовлетворяет обоим требованиям, т. е. представляет собой комплекс $Z_{1}$. Так как комплекс $N_{1}$ входит в составь всякого комплекса $Z_{1}$ (п. 6), то $N_{1}$ входит в состав комплекса $N'$.

   С другой стороны, можно показать, что $N'$ входит в состав каждого комплекса $Z_{1}$; допустим, действительно, что $Z_{1}$ есть комплекс $Z_{1}$, в состав которого $N'$ не входит; но в таком случае комплекс $N'+1=N$ не входил бы в состав комплекса $Z_{1}+1=Z$ (см. предыд. примечание), а это противоречит определению натурального ряда $N$. Итак, комплекс $N'$ входит в состав всякого комплекса $Z_{1}$, а потому входит в состав $N_{1}$, согласно определению этого комплекса. Так какь $N_{1}$ входит также в состав $N'$, то $N_{1}=N'$, а потому комплекс $N_{1}$ не содержит числа $1$.

   Поняв все детали доказательства настоящего пункта, уже нетрудно уяснить себе доказательства п. п 8 и 9.