К теории Кремоновых преобразований (Б. К. Млодзеевский)

К теории Кремоновых преобразований
автор Болеслав Корнелиевич Млодзеевский

Дата создания: 1916, опубл.: 1922. Источник: Математический сборник, т. 31, вып. 1 (1922), 7–34

К теории Кремоновых преобразований.

Б. К. Млодзеевский.

(Читано 19 января 1916 года.)

1. Рассмотрим две плоскости $P,Q$, связанные между собою определенным Кремоновым преобразованием $n$-го порядка. Известно, что при таких преобразованиях сети прямых на каждой из двух плоскостей соответствует на другой плоскости гомалоидная сеть уникурсальных кривых, т.-е. сеть кривых, из которых каждые две имеют только одну подвижную общую точку. Такая сеть вполне определяется своими основными точками, или центрами, — неподвижными общими точками всех кривых сети. Как показал еще в 1863 году Cremona, число $p$ этих основных точек на обеих плоскостях одинаково, и если мы обозначим их кратности для плоскости $P$ через

$r_{1}\geq r_{2}\geq \dots \geq r_{p}$,

а для плоскости $Q$ через

$s_{1}\geq s_{2}\geq \dots \geq s_{p}$,

то между этими $2p$ числами имеют место соотношения

$\sum \limits _{k=1}^{p}r_{k}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{k=1}^{p}r_{k}=3(n-1)$

(1.)

$\sum \limits _{l=1}^{p}s_{s}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{l=1}^{p}s_{l}=3(n-1)$

(2.)

Далее, Cremona показал, что каждой основной точке первой плоскости $A_{k}$ с кратностью $r_{k}$ соответствуют на второй плоскости все точки некоторой основной кривой $a_{k}$ порядка $r_{k}$; точно так же каждой основной точке второй плоскости $B_{l}$ кратности $s_{l}$ соответствуют на первой плоскости все точки основной кривой $b_{l}$ порядка $s_{l}$, причем все основные кривые обеих сетей — уникурсальные. При этом кривая $a_{k}$ на плоскости $Q$ имеет в каждой основной точке $B_{l}$ этой плоскости точку такой же кратности, какую на плоскости $P$ имеет кривая $b_{l}$ в точке $A_{k}$. Мы обозначим эту общую кратность кривых $a_{k},b_{l}$ соответственно в точках $B_{l},A_{k}$ через $\alpha _{kl}$. Известно, что числа $\alpha _{kl}$ удовлетворяют следующим соотношениям:

$\sum \limits _{k}r_{k}\alpha _{kl}=ns_{l},\quad \sum \limits _{l}s_{l}\alpha _{kl}=nr_{k}$,

(3.)

$\sum \limits _{k}\alpha _{kl}^{2}=s_{l}^{2}+1,\quad \sum \limits _{l}\alpha _{kl}^{2}=r_{k}^{2}+1$,

(4.)

$\sum \limits _{k}\alpha _{kl}\alpha _{kl'}=s_{l}s_{l'},\quad \sum \limits _{l}\alpha _{kl}\alpha _{k'l}=r_{k}r_{r'}$

(5.)

$\sum \limits _{k}\alpha _{kl}=3s_{l}-1,\quad \sum \limits _{l}\alpha _{kl}=3r_{k}-1$.

(6.)

Эти соотношения выражают, что основные кривые уникурсальные и пересекаются как между собою, так и со всеми кривыми Кремоновой сети только в основных точках.

2. Clebsch показал (Math. Annalen, Bd. 4, 1871), что детерминант

$N={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}\end{vmatrix}}$

(7.)

всегда равен $\pm n$, где $n$ — порядок данной Кремоновой сети. Мы покажем, что это предложение представляет одно из следствий одного более общего свойства Кремоновых сетей. Рассмотрим детерминант

$M_{0}={\begin{vmatrix}-n&is_{1}&is_{2}&\cdots &is_{p}\\ir_{1}&\alpha _{11}&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\ir_{2}&\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ir_{p}&\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}\end{vmatrix}}$,

(8.)

где $i{\sqrt {-1}}$. Соотношения (1), (3), (4), (5), могут быть представлены в следующем виде:

$(-n)^{2}+\sum (is_{l})^{2}=1,\quad (ir_{k})^{2}+\sum \alpha _{kl}^{2}=1,$

$n.ir_{k}+\sum is_{l}.\alpha _{kl}=0,\quad ir_{k}.ir_{k'}+\sum _{l'}\alpha _{kl'}\alpha _{kl'}=0$.

Отсюда видно, что $M_{0}$ есть детерминант прямоугольного преобразования. Так как в таком детерминанте каждый элемент равен своему дополнительному минору, умноженному на $\pm 1$, то отсюда следует не только теорема Clebsch'a, но и ряд других аналогичных соотношений между Кремоновыми числами.

Умножая в детерминанте (8) первый столбец и первую строку на $-i$, мы получим новый детерминант, не содержащий мнимых элементов

$M_{1}={\begin{vmatrix}n&s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{p}\\r_{1}&\alpha _{11}&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\r_{2}&\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{p}&\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}\end{vmatrix}}$,

(9.)

Этот детерминант уже не ортогональный, но его числовое значение остается по-прежнему равным $\pm 1$, и его элементы точно также равны по абсолютной величине своим дополнительным минорам.

3. Как показал Cayley (Crelle, Bd. 32, 1846), элементы ортогонального детерминанта $(p+1)$-го порядка могут быть выражены рационально через ${\tfrac {p(p+1)}{2}}$ произвольных количеств. Естественно было бы искать соответствующие выражения и для детерминанта $M_{0}$. Оказывается, однако, что к детерминанту $M_{0}$ метод Cayley неприложим. Именно, Frobenius заметил, что если в положительном ортогональном детерминанте

$|c_{kl}|\quad (k,l=0,1,\dots p)$ мы имеем

${\begin{vmatrix}c_{00}+1&c_{01}&\cdots &c_{0p}\\c_{10}&c_{11}+1&\cdots &c_{1p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{p0}&c_{p1}&\cdots &c_{pp}+1\end{vmatrix}}=0,$

то к такому детерминанту формулы Cayley неприменимы. Легко видеть, что детерминант $M_{0}$ находится именно в этих условиях. Действительно, если в детерминанте

${\begin{vmatrix}-n+1&is_{1}&is_{2}&\cdots &is_{p}\\ir_{1}&\alpha _{11}+1&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\ir_{2}&\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ir_{p}&\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}+1\end{vmatrix}}$

мы вычтем из элементов первого столбца соответственные элементы остальных столбцов, умноженные на ${\tfrac {i}{3}}$, то, как видно из формул (2), (6) получим в первом столбце всюду нули.

4. Детерминант $M_{0}$ является основным в теории Кремоновых преобразований. Как видно из его выражения (8), все его элементы суть целые числа; некоторые из них мнимые; первая строка и первый столбец отличаются по своему составу от остальных. Мы покажем здесь, каким образом из $M_{0}$ можно получить другой ортогональный детерминант, свободный от мнимых элементов и вполне однородный по своему составу; но элементы его уже не будут целыми числами. Я останавливаюсь здесь на этом преобразовании детерминанта $M_{0}$ потому, что оно основано на одном небезынтересном свойстве ортогональных детерминантов. Возьмем ортогональный детерминант $(p+1)$-го порядка

$|c_{kl}|=0,\quad (k,l=0,1\dots p);$

будем рассматривать элементы $c_{kl}$ как взаимные угловые коэффициенты двух прямоугольных систем осей $(x_{0},x_{1},\dots x_{p})$, $(y_{0},y_{1},\dots y_{p})$ в пространстве $p+1$ измерений. Если мы повернем систему осей $(y_{0},y_{1},\dots y_{p})$ около $(p-1)$-мерной оси, перпендикулярной к осям $x_{0},y_{0}$ так, чтобы ось $y_{0}$ пришла в совпадение с осью $x_{0}$, то угловыми коэффициентами новых направлений осей $(y_{0},y_{1},\dots y_{p})$ но отношению к осям $(x_{0},x_{1},\dots x_{p})$ будут элементы следующего ортогонального детерминанта $p$-го порядка

$\left|c_{kl}-{\frac {c_{k0}c_{0l}}{c_{00}\pm 1}}\right|,\quad (k,l=1,2,\dots p)$,

где двойной знак соответствует двум противоположным направлениям вращения. В самом деле, так как вращение происходит параллельно плоскости осей $(x_{0},y_{0})$, и ось $y_{0}$ приходит после вращения в совпадение с осью $x_{0}$, то угловые коэффициенты $c_{kl}'$ оси $y_{l}$ относительно оси $x_{k}$ после вращения выразятся следующим образом

$c_{00}'=1,\,c_{k0}'=0,\,c_{0l}'=0,\,c_{kl}'=c_{kl}+\theta _{l}c_{k0},\quad (k,l=1,2,\dots p)$,

где $\theta _{l}$ — числовые множители.

Так как $\sum \limits _{k=0}^{p}{c_{kl}'}^{2}=1$, то отсюда имеем

$\sum \limits _{k=1}^{p}c_{kl}^{2}+2\theta _{l}\sum c_{kl}c_{k0}+\theta _{l}^{2}\sum c_{k0}^{2}=1$,

или

$(1-c_{ol}^{2})-2c_{0l}c_{00}\theta _{l}+(1-c_{00}^{2})\theta _{l}^{2}=1$,

откуда

$\theta _{l}=-{\frac {c_{0l}}{c_{00}\pm 1}}$

и, следовательно,

$c_{kl}'=c_{kl}-{\frac {c_{k0c_{0l}}}{c_{00}\pm 1}}$.

Применяя это преобразование к детерминанту (8), получим следующий ортогональный детерминант $p$-го порядка

$\left|\alpha _{kl}-{\frac {r_{k}s_{l}}{n\pm 1}}\right|\quad (k,l=1,2,\dots p).$

В этом детерминанте все элементы — числа действительные и имеют одинаковый вид; но это уже не целые числа.

5. Расположим в детерминанте (8) ряды в определенном порядке. Известно, что все основные точки Кремоновой сети можно распределить в группы, причисляя к одной группе основные точки одинаковой кратности. При этом число групп в обеих плоскостях, связанных данным Кремоновым преобразованием, будет одно и то же; точно так же и числа основных точек, входящих в различные группы, будут в обеих плоскостях одни и те же. Так, например, в одном из Кремоновых преобразований 11-го порядка мы имеем в одной плоскости сеть с одною основною точкою 7-го порядка, двумя точками 4-го порядка, тремя — 3-го и тремя — 2-го; в другой плоскости мы имеем сеть, сопряженную с первою, имеющую три основных точки 5-го порядка, одну — 4-го, три 3-го и две — 1-го.

Clebsch заметил, что если мы возьмем в одной плоскости одну из групп основных точек одинаковой кратности $r_{k}$, число которых пусть будет $\mu$, а в другой плоскости также какую-нибудь группу основных точек одинаковой кратности $s_{l}$ число которых обозначим через $\nu$, то все $\mu \nu$ чисел $\alpha _{kl}$, соответствующие различным парам основных точек обеих групп, будут равны между собою, с тем исключением, что каждой группе первой плоскости $P$ будет соответствовать на второй плоскости группа $Q$, равная ей по числу входящих в нее точек, где каждой основной точке $A_{k}$ первой плоскости будет соответствовать одна определенная точка $B_{l}$ второй плоскости так, что соответствующие этим парам точек $\mu$ чисел $\alpha _{kl}$ будут отличаться от остальных $\mu (\mu -1)$ чисел и притом, как это заметил впервые Bertini, непременно на единицу. Ниже мы поясним на примере указанный здесь закон распределения чисел $\alpha _{kl}$.

В дальнейшем мы введем для Кремоновых сетей другие обозначения. Будем обозначать через $r_{1},r_{2},\dots ,s_{1},s_{2},\dots$ не кратности отдельных основных точек или центров сети, как мы это делали до сих пор, а кратности точек отдельных групп. Пусть в плоскости $P$ будет $q$ различных групп основных точек; пусть в первую группу входят $p_{1}$ основных точек кратности $r_{1}$ и т. д. Тогда мы будем иметь $p_{1}+p_{2}+\dots +p_{q}=p$, где $p$ — общее число центров Кремоновой сети на плоскости $P$. Согласно сказанному выше, мы будем иметь и на второй плоскости $Q$ такое же число групп основных точек, при чем первой группе плоскости $P$ будет соответствовать на плоскости $Q$ группа также из $p_{1}$ центров определенной кратности $s_{1}$, второй — группа из $p_{2}$ центров кратности $s_{2}$ и т. д. Каждой паре основных точек $A_{k},B_{l}$ обеих плоскостей, из которых $A_{k}$ принадлежит к $k$-той группе первой плоскости, а $B_{l}$ — к $l$-той группе второй плоскости, будет соответствовать по-прежнему определенное число $\alpha _{kl}$; при этом, если указатели $k$ и $l$ различны, то для всех основных точек с кратностями $r_{k}$ и $s_{l}$ число $\alpha _{kl}$ будет одно и то же; если же указатели $k$ и $l$ равны между собою и, следовательно, точки $A_{k}$ и $B_{l}$ принадлежат двум группам соответствующим одна другой в указанном выше смысле, то каждой из основных точек $k$-той группы первой плоскости будет соответствовать в $k$-той группе второй плоскости одна основная точка, для которой число $\alpha _{kk}$ заменится через $\alpha _{kk}+\varepsilon _{k}$, где $\varepsilon _{k}=\pm 1$.

Располагая в детерминанте Clebsch'a (7) ряды так, чтобы элементы, соответствующие членам одной и той же группы, стояли рядом, мы дадим ему в новых обозначениях следующий вид:

$N={\begin{vmatrix}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{12}&\alpha _{12}&\cdots \\\alpha _{11}&\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&\cdots &\alpha _{12}&\alpha _{12}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\alpha _{21}&\alpha _{21}&\cdots &\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\alpha _{22}&\cdots \\\alpha _{21}&\alpha _{21}&\cdots &\alpha _{22}&\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}$

(10.)

Этот детерминант $p$-го порядка состоит из групп строк и столбцов по $p_{1},p_{2},\dots p_{q}$ рядов в каждой группе. Таким образом все элементы распадаются на $q^{2}$ прямоугольников, среди которых могут быть и квадраты. В каждом прямоугольнике все элементы $\alpha _{kl}$ равны между собою; исключение представляют квадраты, расположенные по главной диагонали детерминанта, в них диагональные элементы различаются от остальных на единицу.

Поясним сказанное на приведенном выше детерминанте 11-го порядка.

В нем мы имеем 9 основных точек, распадающихся на четыре группы. Таким образом в нашем случае

$n=11,\,p=9,q=4.$

Далее, имеем число центров в каждой группе и их кратности

$p_{1}=1,$	$p_{2}=2,$	$p_{3}=3,$	$p_{4}=3,$
$r_{1}=7,$	$r_{2}=4,$	$r_{3}=3,$	$r_{4}=2,$
$s_{1}=4,$	$s_{2}=1,$	$s_{3}=5,$	$s_{4}=3.$

По способу, который будет изложен в следующей статье, мы находим

$\alpha _{11}=2,$	$\alpha _{12}=1,$	$\alpha _{13}=3,$	$\alpha _{14}=2,$
$\alpha _{21}=1,$	$\alpha _{22}=0,$	$\alpha _{23}=2,$	$\alpha _{24}=1,$
$\alpha _{31}=1,$	$\alpha _{32}=0,$	$\alpha _{33}=1,$	$\alpha _{34}=1,$
$\alpha _{41}=1,$	$\alpha _{42}=0,$	$\alpha _{43}=1,$	$\alpha _{44}=0,$
$\varepsilon _{1}=+1,$	$\varepsilon _{2}=+1,$	$\varepsilon _{3}=+1,$	$\varepsilon _{4}=+1.$

Так как первая группа содержит только один центр, то мы могли бы положить не $\alpha _{11}=2,\,\varepsilon _{1}=+1$, а $\alpha _{11}=4,\,\varepsilon _{1}=-1$. Точно так же во вторую группу входят только два центра; поэтому мы могли бы положить не $\alpha _{22}=0$, $\varepsilon =+1$, а $\alpha _{22}=1$, $\varepsilon =-1$. Заметим еще, что в нашем примере на каждой из двух плоскостей имеется по две группы из трех центров, но соответственными в указанном выше смысле мы должны считать группу центров кратности 3 в первой плоскости с группою центров кратности 5 во второй плоскости и точно так же группу центров кратности 2 в первой плоскости и группу с кратностью 3 во второй плоскости, потому что только в числах соответствующих этим парам групп некоторые из чисел отличаются от остальных.

Составляя для данного примера детерминант (7), получим

3	1	1	3	3	3	2	2	2
1	1	0	2	2	2	1	1	1
1	0	1	2	2	2	1	1	1
1	0	0	2	1	1	1	1	1
1	0	0	1	2	1	1	1	1
1	0	0	1	1	2	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	1	1	0	0	1

Цветом показано разбиение членов $\alpha _{kl}$ на группы, соответствующие центрам одинаковой кратности. Мы видим, что в квадратах, расположенных по главной диагонали, диагональные элементы отличаются от остальных на единицу, тогда как в остальных прямоугольниках все элементы одинаковы.

6. Детерминант Clebsch'a (10) может быть преобразован в детерминант низшего порядка, что бывает полезно при его вычислении.

Рассмотрим в детерминанте (10) ряд столбцов, принадлежащих к одной и той же $l$-той группе, соответствующей $p_{l}$ основным точкам второй сети

${\begin{array}{llll}\alpha _{1l}&\alpha _{1l}&\cdots &\alpha _{1l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1l}&\alpha _{1l}&\cdots &\alpha _{1l}\\\alpha _{2l}&\alpha _{2l}&\cdots &\alpha _{2l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2l}&\alpha _{2l}&\cdots &\alpha _{2l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&\alpha _{ll}&\cdots &\alpha _{ll}\\\alpha _{ll}&\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&\cdots &\alpha _{ll}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}&\alpha _{ll}&\cdots &\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{array}}{\begin{array}{l}\left\}{\begin{array}{c}\\p_{1}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{2}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{3},\dots p_{l-1}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{l}\\\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{l+1},\dots p_{q}\right.\\\end{array}}$

Эта полоса разбивается на прямоугольники по $p_{1},\,p_{2},\,\dots p_{q}$ строк, при чем в каждом прямоугольнике все элементы равны, и только в $l$-том квадрате диагональные элементы отличаются от остальных на положительную или отрицательную единицу. Вычитая элементы первого столбца из остальных, мы дадим им следующий вид

${\begin{array}{llll}\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&-\varepsilon _{l}&\cdots &-\varepsilon _{l}\\\alpha _{ll}&\varepsilon _{l}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}&0&\cdots &\varepsilon _{l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{array}}{\begin{array}{l}\left\}{\begin{array}{c}\\p_{1}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{2}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{3},\dots p_{l-1}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{l}\\\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{l+1},\dots p_{q}\right.\\\end{array}}$

Будем теперь в каждом прямоугольнике прикладывать элементы всех строк к элементам первой строки. Получим

${\begin{array}{llll}p_{1}\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\p_{2}\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\p_{l}\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&0&\cdots &0\\\alpha _{ll}&\varepsilon _{l}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}&0&\cdots &\varepsilon _{l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{array}}{\begin{array}{l}\left\}{\begin{array}{c}\\p_{1}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{2}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{3},\dots p_{l-1}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{l}\\\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{l+1},\dots p_{q}\right.\\\end{array}}$

Если мы выполним такое преобразование над всеми полосами детерминанта (10), то мы дадим ему такой вид

${\begin{vmatrix}p_{1}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&0&\cdots &0&p_{1}\alpha _{12}&0&\cdots &0&p_{1}\alpha _{13}&\cdots \\\alpha _{11}&\varepsilon _{1}&\cdots &0&\alpha _{12}&0&\cdots &0&\alpha _{13}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\alpha _{11}&0&\cdots &\varepsilon _{1}&\alpha _{12}&0&\cdots &0&\alpha _{13}&\cdots \\p_{2}\alpha _{21}&0&\cdots &0&p_{2}\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&0&\cdots &0&p_{2}\alpha _{23}&\cdots \\\alpha _{21}&0&\cdots &0&\alpha _{22}&\varepsilon _{2}&\cdots &0&\alpha _{23}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\alpha _{21}&0&\cdots &0&\alpha _{22}&0&\cdots &\varepsilon _{2}&\alpha _{23}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}$

Полученный детерминант имеет следующее строение. Он состоит из $q$ вертикальных полос по $p_{1},\,p_{2},\dots p_{q}$ столбцов; в каждой полосе только первый столбец состоит целиком из элементов отличных от нуля; в каждом из остальных столбцов все члены, кроме одного — нули, а этот последний член равен соответственно $\varepsilon _{1},\,\varepsilon _{2},\dots \varepsilon _{q}$. Поэтому последний детерминант может быть приведен окончательно к следующему виду

$\varepsilon _{1}^{p_{1}-1}\varepsilon _{2}^{p_{2}-1}\dots \varepsilon _{q}^{p_{q}-1}{\begin{vmatrix}p_{1}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&p_{1}\alpha _{12}&\cdots &p_{1}\alpha _{1q}\\p_{2}\alpha _{21}&p_{2}\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\cdots &p_{2}\alpha _{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\p_{q}\alpha _{q1}&p_{q}\alpha _{q2}&\cdots &p_{q}\alpha _{qq}+\varepsilon _{q}\\\end{vmatrix}}$ Таким образом мы преобразовали детерминант Clebsch'a порядка $p$ в детерминант низшего порядка $q$. Отсюда, между прочим, получается соотношение

${\begin{vmatrix}p_{1}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&p_{1}\alpha _{12}&\cdots &p_{1}\alpha _{1q}\\p_{2}\alpha _{21}&p_{2}\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\cdots &p_{2}\alpha _{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\p_{q}\alpha _{q1}&p_{q}\alpha _{q2}&\cdots &p_{q}\alpha _{qq}+\varepsilon _{q}\\\end{vmatrix}}=\pm n.$

Для разобранного выше примера это равенство принимает вид

${\begin{vmatrix}1.2+1&1.1&1.3&1.2\\2.1&2.0+1&2.2&2.1\\3.1&3.0&3.1+1&3.1\\3.1&3.0&3.1&3.0+1\end{vmatrix}}=-11.$

7. В Кремоновых преобразованиях иногда бывает удобно присоединять к основным точкам сети другие дополнительные основные точки, взятые в той или другой точке плоскости. Так как кривые сети имеют кратные точки только в основных точках сети и сходятся все только в них, то эти новые основные точки мы должны рассматривать как точки нулевой кратности. Посмотрим, какие характеристические числа мы должны приписать каждому такому центру нулевой кратности. Пусть между плоскостями $P$, $Q$ установлено Кремоново преобразование, характеристические числа которых удовлетворяют соотношениям (1)—(6). Прибавим теперь на первой плоскости еще $\pi$ новых центров $A_{k}$, указатели которых изменяются от $p+1$ до $p+\pi$. Так как на обеих плоскостях должно быть одинаковое число центров, то и на плоскости $Q$ должно взять $\pi$ новых центров $B_{l}$ ($l=p+1,\dots p+\pi$). Будем обозначать по прежнему через $r_{k},s_{l}$ ($k,l=p+1,\dots p+\pi$) кратности новых основных точек и через $\alpha _{kl}$ их характеристические числа. Тогда формулы (1), (2) примут следующий вид

$\sum \limits _{k=1}^{p+\pi }r_{k}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{k=1}^{p+\pi }r_{k}=3(n-1)$

(1'.)

$\sum \limits _{l=1}^{p+\pi }s_{s}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{l=1}^{p+\pi }s_{l}=3(n-1)$

(2'.)

Вычитая (1) из (1'), имеем

$\sum \limits _{k=p+1}^{p+\pi }r_{k}^{2}=0,\quad \sum \limits _{l=p+1}^{p+\pi }s_{l}^{2}=0$

(3'.)

Отсюда видно, что все указатели $r_{k}$, $s_{l}$, соответствующие новым основным точкам, равны нулю, т.-е. что это основные точки нулевой кратности, как это мы видели выше.

Так как каждой основной точке Кремоновой сети в одной плоскости соответствует в другой плоскости основная линия, порядок которой равен кратности соответствующей ей основной точки, то, вводя в каждой сети $\pi$ основных точек нулевой кратности, мы вместе с тем должны ввести столько же основных линий нулевого порядка. Посмотрим, какие значения должны мы приписать характеристическим числам $\alpha _{kl}$ для этих линий. Давая в первой формуле (4) указателю $l$ значение, не превосходящее $p$, и распространяя суммирование на все значения $k$ от 1 до $p+\pi$, мы получим

$\sum \limits _{k=1}^{p+\pi }\alpha _{kl}^{2}=s_{l}^{2}+1$.

(4'.)

Вычитая отсюда первое равенство (4), будем иметь

$\sum \limits _{k=p+1}^{p+\pi }\alpha _{kl}^{2}=s_{l}^{2}+1$. Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/17 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/18 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/19 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/20 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/21 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/22 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/23 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/24 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/25 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/26 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/27 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/28 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/29 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/30 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/31 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/32 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/33 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/34 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/35

Примечания