К теории Кремоновых преобразований (Б. К. Млодзеевский)

К теории Кремоновых преобразований
автор Болеслав Корнелиевич Млодзеевский
Дата создания: 1916, опубл.: 1922. Источник: Математический сборник, т. 31, вып. 1 (1922), 7–34
Википроекты: Wikidata-logo.svg Данные


[7]К теории Кремоновых преобразований.

Б. К. Млодзеевский.

(Читано 19 января 1916 года.)

1. Рассмотрим две плоскости , связанные между собою определенным Кремоновым преобразованием -го порядка. Известно, что при таких преобразованиях сети прямых на каждой из двух плоскостей соответствует на другой плоскости гомалоидная сеть уникурсальных кривых, т.-е. сеть кривых, из которых каждые две имеют только одну подвижную общую точку. Такая сеть вполне определяется своими основными точками, или центрами, — неподвижными общими точками всех кривых сети. Как показал еще в 1863 году Cremona, число этих основных точек на обеих плоскостях одинаково, и если мы обозначим их кратности для плоскости через

,

а для плоскости через

,

то между этими числами имеют место соотношения

(1.)
(2.)

Далее, Cremona показал, что каждой основной точке первой плоскости с кратностью соответствуют на второй плоскости все точки некоторой основной кривой порядка ; точно так же каждой основной точке второй плоскости кратности соответствуют на первой плоскости все точки основной кривой порядка , причем все основные кривые обеих сетей — уникурсальные. При этом кривая на плоскости имеет в каждой основной точке этой плоскости точку такой же кратности, какую на плоскости имеет кривая в точке . Мы обозначим эту общую кратность кривых соответственно в точках через . Известно, что числа удовлетворяют следующим соотношениям:

,
(3.)
,
(4.)
(5.)
.
(6.)

[8]Эти соотношения выражают, что основные кривые уникурсальные и пересекаются как между собою, так и со всеми кривыми Кремоновой сети только в основных точках.

2. Clebsch показал (Math. Annalen, Bd. 4, 1871), что детерминант

(7.)

всегда равен , где — порядок данной Кремоновой сети. Мы покажем, что это предложение представляет одно из следствий одного более общего свойства Кремоновых сетей. Рассмотрим детерминант

,
(8.)

где . Соотношения (1), (3), (4), (5), могут быть представлены в следующем виде:

.

Отсюда видно, что есть детерминант прямоугольного преобразования. Так как в таком детерминанте каждый элемент равен своему дополнительному минору, умноженному на , то отсюда следует не только теорема Clebsch'a, но и ряд других аналогичных соотношений между Кремоновыми числами.

Умножая в детерминанте (8) первый столбец и первую строку на , мы получим новый детерминант, не содержащий мнимых элементов

,
(9.)

Этот детерминант уже не ортогональный, но его числовое значение остается по-прежнему равным , и его элементы точно также равны по абсолютной величине своим дополнительным минорам.

3. Как показал Cayley (Crelle, Bd. 32, 1846), элементы ортогонального детерминанта -го порядка могут быть выражены рационально через произвольных количеств. Естественно было бы искать соответствующие выражения и для детерминанта . Оказывается, однако, что к детерминанту метод Cayley неприложим. Именно, Frobenius заметил, что если в положительном ортогональном детерминанте

[9]мы имеем

то к такому детерминанту формулы Cayley неприменимы. Легко видеть, что детерминант находится именно в этих условиях. Действительно, если в детерминанте

мы вычтем из элементов первого столбца соответственные элементы остальных столбцов, умноженные на , то, как видно из формул (2), (6) получим в первом столбце всюду нули.

4. Детерминант является основным в теории Кремоновых преобразований. Как видно из его выражения (8), все его элементы суть целые числа; некоторые из них мнимые; первая строка и первый столбец отличаются по своему составу от остальных. Мы покажем здесь, каким образом из можно получить другой ортогональный детерминант, свободный от мнимых элементов и вполне однородный по своему составу; но элементы его уже не будут целыми числами. Я останавливаюсь здесь на этом преобразовании детерминанта потому, что оно основано на одном небезынтересном свойстве ортогональных детерминантов. Возьмем ортогональный детерминант -го порядка

будем рассматривать элементы как взаимные угловые коэффициенты двух прямоугольных систем осей , в пространстве измерений. Если мы повернем систему осей около -мерной оси, перпендикулярной к осям так, чтобы ось пришла в совпадение с осью , то угловыми коэффициентами новых направлений осей но отношению к осям будут элементы следующего ортогонального детерминанта -го порядка

,

где двойной знак соответствует двум противоположным направлениям вращения. В самом деле, так как вращение происходит параллельно плоскости осей , и ось приходит после вращения в совпадение с осью , то угловые коэффициенты оси относительно оси после вращения выразятся следующим образом

,

где — числовые множители. [10]

Так как , то отсюда имеем

,

или

,

откуда

и, следовательно,

.

Применяя это преобразование к детерминанту (8), получим следующий ортогональный детерминант -го порядка

В этом детерминанте все элементы — числа действительные и имеют одинаковый вид; но это уже не целые числа.

5. Расположим в детерминанте (8) ряды в определенном порядке. Известно, что все основные точки Кремоновой сети можно распределить в группы, причисляя к одной группе основные точки одинаковой кратности. При этом число групп в обеих плоскостях, связанных данным Кремоновым преобразованием, будет одно и то же; точно так же и числа основных точек, входящих в различные группы, будут в обеих плоскостях одни и те же. Так, например, в одном из Кремоновых преобразований 11-го порядка мы имеем в одной плоскости сеть с одною основною точкою 7-го порядка, двумя точками 4-го порядка, тремя — 3-го и тремя — 2-го; в другой плоскости мы имеем сеть, сопряженную с первою, имеющую три основных точки 5-го порядка, одну — 4-го, три 3-го и две — 1-го.

Clebsch заметил, что если мы возьмем в одной плоскости одну из групп основных точек одинаковой кратности , число которых пусть будет , а в другой плоскости также какую-нибудь группу основных точек одинаковой кратности число которых обозначим через , то все чисел , соответствующие различным парам основных точек обеих групп, будут равны между собою, с тем исключением, что каждой группе первой плоскости будет соответствовать на второй плоскости группа , равная ей по числу входящих в нее точек, где каждой основной точке первой плоскости будет соответствовать одна определенная точка второй плоскости так, что соответствующие этим парам точек чисел будут отличаться от остальных чисел и притом, как это заметил впервые Bertini, непременно на единицу. Ниже мы поясним на примере указанный здесь закон распределения чисел .

В дальнейшем мы введем для Кремоновых сетей другие обозначения. Будем обозначать через не кратности отдельных основных точек или центров сети, как мы это делали до сих пор, а кратности точек отдельных групп. Пусть в плоскости будет различных групп основных точек; пусть в первую группу входят основных точек кратности и т. д. Тогда мы будем иметь , где — общее число центров Кремоновой сети [11]на плоскости . Согласно сказанному выше, мы будем иметь и на второй плоскости такое же число групп основных точек, при чем первой группе плоскости будет соответствовать на плоскости группа также из центров определенной кратности , второй — группа из центров кратности и т. д. Каждой паре основных точек обеих плоскостей, из которых принадлежит к -той группе первой плоскости, а — к -той группе второй плоскости, будет соответствовать по-прежнему определенное число ; при этом, если указатели и различны, то для всех основных точек с кратностями и число будет одно и то же; если же указатели и равны между собою и, следовательно, точки и принадлежат двум группам соответствующим одна другой в указанном выше смысле, то каждой из основных точек -той группы первой плоскости будет соответствовать в -той группе второй плоскости одна основная точка, для которой число заменится через , где .

Располагая в детерминанте Clebsch'a (7) ряды так, чтобы элементы, соответствующие членам одной и той же группы, стояли рядом, мы дадим ему в новых обозначениях следующий вид:

(10.)

Этот детерминант -го порядка состоит из групп строк и столбцов по рядов в каждой группе. Таким образом все элементы распадаются на прямоугольников, среди которых могут быть и квадраты. В каждом прямоугольнике все элементы равны между собою; исключение представляют квадраты, расположенные по главной диагонали детерминанта, в них диагональные элементы различаются от остальных на единицу.

Поясним сказанное на приведенном выше детерминанте 11-го порядка.

В нем мы имеем 9 основных точек, распадающихся на четыре группы. Таким образом в нашем случае

Далее, имеем число центров в каждой группе и их кратности

По способу, который будет изложен в следующей статье, мы находим

Так как первая группа содержит только один центр, то мы могли бы положить не , а . Точно так же во вторую группу входят [12]только два центра; поэтому мы могли бы положить не , , а , . Заметим еще, что в нашем примере на каждой из двух плоскостей имеется по две группы из трех центров, но соответственными в указанном выше смысле мы должны считать группу центров кратности 3 в первой плоскости с группою центров кратности 5 во второй плоскости и точно так же группу центров кратности 2 в первой плоскости и группу с кратностью 3 во второй плоскости, потому что только в числах соответствующих этим парам групп некоторые из чисел отличаются от остальных.

Составляя для данного примера детерминант (7), получим

3 1 1 3 3 3 2 2 2
1 1 0 2 2 2 1 1 1
1 0 1 2 2 2 1 1 1
1 0 0 2 1 1 1 1 1
1 0 0 1 2 1 1 1 1
1 0 0 1 1 2 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1 0 0 1

Цветом показано разбиение членов на группы, соответствующие центрам одинаковой кратности. Мы видим, что в квадратах, расположенных по главной диагонали, диагональные элементы отличаются от остальных на единицу, тогда как в остальных прямоугольниках все элементы одинаковы.

6. Детерминант Clebsch'a (10) может быть преобразован в детерминант низшего порядка, что бывает полезно при его вычислении.

Рассмотрим в детерминанте (10) ряд столбцов, принадлежащих к одной и той же -той группе, соответствующей основным точкам второй сети

Эта полоса разбивается на прямоугольники по строк, при чем в каждом прямоугольнике все элементы равны, и только в -том квадрате диагональные элементы отличаются от остальных на положительную или отрицательную [13]единицу. Вычитая элементы первого столбца из остальных, мы дадим им следующий вид

Будем теперь в каждом прямоугольнике прикладывать элементы всех строк к элементам первой строки. Получим

Если мы выполним такое преобразование над всеми полосами детерминанта (10), то мы дадим ему такой вид

Полученный детерминант имеет следующее строение. Он состоит из вертикальных полос по столбцов; в каждой полосе только первый столбец состоит целиком из элементов отличных от нуля; в каждом из остальных столбцов все члены, кроме одного — нули, а этот последний член равен соответственно . Поэтому последний детерминант может быть приведен окончательно к следующему виду

[14]Таким образом мы преобразовали детерминант Clebsch'a порядка в детерминант низшего порядка . Отсюда, между прочим, получается соотношение

Для разобранного выше примера это равенство принимает вид

7. В Кремоновых преобразованиях иногда бывает удобно присоединять к основным точкам сети другие дополнительные основные точки, взятые в той или другой точке плоскости. Так как кривые сети имеют кратные точки только в основных точках сети и сходятся все только в них, то эти новые основные точки мы должны рассматривать как точки нулевой кратности. Посмотрим, какие характеристические числа мы должны приписать каждому такому центру нулевой кратности. Пусть между плоскостями , установлено Кремоново преобразование, характеристические числа которых удовлетворяют соотношениям (1)—(6). Прибавим теперь на первой плоскости еще новых центров , указатели которых изменяются от до . Так как на обеих плоскостях должно быть одинаковое число центров, то и на плоскости должно взять новых центров (). Будем обозначать по прежнему через () кратности новых основных точек и через их характеристические числа. Тогда формулы (1), (2) примут следующий вид

(1'.)
(2'.)

Вычитая (1) из (1'), имеем

(3'.)

Отсюда видно, что все указатели , , соответствующие новым основным точкам, равны нулю, т.-е. что это основные точки нулевой кратности, как это мы видели выше.

Так как каждой основной точке Кремоновой сети в одной плоскости соответствует в другой плоскости основная линия, порядок которой равен кратности соответствующей ей основной точки, то, вводя в каждой сети основных точек нулевой кратности, мы вместе с тем должны ввести столько же основных линий нулевого порядка. Посмотрим, какие значения должны мы приписать характеристическим числам для этих линий. Давая в первой формуле (4) указателю значение, не превосходящее , и распространяя суммирование на все значения от 1 до , мы получим

.
(4'.)

[15]Вычитая отсюда первое равенство (4), будем иметь

. [16]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/17 [17]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/18 [18]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/19 [19]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/20 [20]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/21 [21]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/22 [22]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/23 [23]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/24 [24]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/25 [25]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/26 [26]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/27 [27]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/28 [28]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/29 [29]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/30 [30]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/31 [31]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/32 [32]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/33 [33]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/34 [34]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/35

Примечания