Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/8

Эта страница была вычитана

К теории Кремоновых преобразований.

Б. К. Млодзеевский.

(Читано 19 января 1916 года.)

1. Рассмотрим две плоскости $P,Q$ , связанные между собою определенным Кремоновым преобразованием $n$ -го порядка. Известно, что при таких преобразованиях сети прямых на каждой из двух плоскостей соответствует на другой плоскости гомалоидная сеть уникурсальных кривых, т.-е. сеть кривых, из которых каждые две имеют только одну подвижную общую точку. Такая сеть вполне определяется своими основными точками, или центрами, — неподвижными общими точками всех кривых сети. Как показал еще в 1863 году Cremona, число $p$ этих основных точек на обеих плоскостях одинаково, и если мы обозначим их кратности для плоскости $P$ через

r_{1}\geq r_{2}\geq \dots \geq r_{p}

,

а для плоскости $Q$ через

s_{1}\geq s_{2}\geq \dots \geq s_{p}

,

то между этими $2p$ числами имеют место соотношения

\sum \limits _{k=1}^{p}r_{k}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{k=1}^{p}r_{k}=3(n-1)

(1.)

\sum \limits _{l=1}^{p}s_{s}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{l=1}^{p}s_{l}=3(n-1)

(2.)

Далее, Cremona показал, что каждой основной точке первой плоскости $A_{k}$ с кратностью $r_{k}$ соответствуют на второй плоскости все точки некоторой основной кривой $a_{k}$ порядка $r_{k}$ ; точно так же каждой основной точке второй плоскости $B_{l}$ кратности $s_{l}$ соответствуют на первой плоскости все точки основной кривой $b_{l}$ порядка $s_{l}$ , причем все основные кривые обеих сетей — уникурсальные. При этом кривая $a_{k}$ на плоскости $Q$ имеет в каждой основной точке $B_{l}$ этой плоскости точку такой же кратности, какую на плоскости $P$ имеет кривая $b_{l}$ в точке $A_{k}$ . Мы обозначим эту общую кратность кривых $a_{k},b_{l}$ соответственно в точках $B_{l},A_{k}$ через $\alpha _{kl}$ . Известно, что числа $\alpha _{kl}$ удовлетворяют следующим соотношениям: