Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/11

Так как $\sum \limits _{k=0}^{p}{c_{kl}'}^{2}=1$, то отсюда имеем

$\sum \limits _{k=1}^{p}c_{kl}^{2}+2\theta _{l}\sum c_{kl}c_{k0}+\theta _{l}^{2}\sum c_{k0}^{2}=1$,

или

$(1-c_{ol}^{2})-2c_{0l}c_{00}\theta _{l}+(1-c_{00}^{2})\theta _{l}^{2}=1$,

откуда

$\theta _{l}=-{\frac {c_{0l}}{c_{00}\pm 1}}$

и, следовательно,

$c_{kl}'=c_{kl}-{\frac {c_{k0c_{0l}}}{c_{00}\pm 1}}$.

Применяя это преобразование к детерминанту (8), получим следующий ортогональный детерминант $p$-го порядка

$\left|\alpha _{kl}-{\frac {r_{k}s_{l}}{n\pm 1}}\right|\quad (k,l=1,2,\dots p).$

В этом детерминанте все элементы — числа действительные и имеют одинаковый вид; но это уже не целые числа.

5. Расположим в детерминанте (8) ряды в определенном порядке. Известно, что все основные точки Кремоновой сети можно распределить в группы, причисляя к одной группе основные точки одинаковой кратности. При этом число групп в обеих плоскостях, связанных данным Кремоновым преобразованием, будет одно и то же; точно так же и числа основных точек, входящих в различные группы, будут в обеих плоскостях одни и те же. Так, например, в одном из Кремоновых преобразований 11-го порядка мы имеем в одной плоскости сеть с одною основною точкою 7-го порядка, двумя точками 4-го порядка, тремя — 3-го и тремя — 2-го; в другой плоскости мы имеем сеть, сопряженную с первою, имеющую три основных точки 5-го порядка, одну — 4-го, три 3-го и две — 1-го.

Clebsch заметил, что если мы возьмем в одной плоскости одну из групп основных точек одинаковой кратности $r_{k}$, число которых пусть будет $\mu$, а в другой плоскости также какую-нибудь группу основных точек одинаковой кратности $s_{l}$ число которых обозначим через $\nu$, то все $\mu \nu$ чисел $\alpha _{kl}$, соответствующие различным парам основных точек обеих групп, будут равны между собою, с тем исключением, что каждой группе первой плоскости $P$ будет соответствовать на второй плоскости группа $Q$, равная ей по числу входящих в нее точек, где каждой основной точке $A_{k}$ первой плоскости будет соответствовать одна определенная точка $B_{l}$ второй плоскости так, что соответствующие этим парам точек $\mu$ чисел $\alpha _{kl}$ будут отличаться от остальных $\mu (\mu -1)$ чисел и притом, как это заметил впервые Bertini, непременно на единицу. Ниже мы поясним на примере указанный здесь закон распределения чисел $\alpha _{kl}$.

В дальнейшем мы введем для Кремоновых сетей другие обозначения. Будем обозначать через $r_{1},r_{2},\dots ,s_{1},s_{2},\dots$ не кратности отдельных основных точек или центров сети, как мы это делали до сих пор, а кратности точек отдельных групп. Пусть в плоскости $P$ будет $q$ различных групп основных точек; пусть в первую группу входят $p_{1}$ основных точек кратности $r_{1}$ и т. д. Тогда мы будем иметь $p_{1}+p_{2}+\dots +p_{q}=p$, где $p$ — общее число центров Кремоновой сети