Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/10

мы имеем

${\begin{vmatrix}c_{00}+1&c_{01}&\cdots &c_{0p}\\c_{10}&c_{11}+1&\cdots &c_{1p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{p0}&c_{p1}&\cdots &c_{pp}+1\end{vmatrix}}=0,$

то к такому детерминанту формулы Cayley неприменимы. Легко видеть, что детерминант $M_{0}$ находится именно в этих условиях. Действительно, если в детерминанте

${\begin{vmatrix}-n+1&is_{1}&is_{2}&\cdots &is_{p}\\ir_{1}&\alpha _{11}+1&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\ir_{2}&\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ir_{p}&\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}+1\end{vmatrix}}$

мы вычтем из элементов первого столбца соответственные элементы остальных столбцов, умноженные на ${\tfrac {i}{3}}$, то, как видно из формул (2), (6) получим в первом столбце всюду нули.

4. Детерминант $M_{0}$ является основным в теории Кремоновых преобразований. Как видно из его выражения (8), все его элементы суть целые числа; некоторые из них мнимые; первая строка и первый столбец отличаются по своему составу от остальных. Мы покажем здесь, каким образом из $M_{0}$ можно получить другой ортогональный детерминант, свободный от мнимых элементов и вполне однородный по своему составу; но элементы его уже не будут целыми числами. Я останавливаюсь здесь на этом преобразовании детерминанта $M_{0}$ потому, что оно основано на одном небезынтересном свойстве ортогональных детерминантов. Возьмем ортогональный детерминант $(p+1)$-го порядка

$|c_{kl}|=0,\quad (k,l=0,1\dots p);$

будем рассматривать элементы $c_{kl}$ как взаимные угловые коэффициенты двух прямоугольных систем осей $(x_{0},x_{1},\dots x_{p})$, $(y_{0},y_{1},\dots y_{p})$ в пространстве $p+1$ измерений. Если мы повернем систему осей $(y_{0},y_{1},\dots y_{p})$ около $(p-1)$-мерной оси, перпендикулярной к осям $x_{0},y_{0}$ так, чтобы ось $y_{0}$ пришла в совпадение с осью $x_{0}$, то угловыми коэффициентами новых направлений осей $(y_{0},y_{1},\dots y_{p})$ но отношению к осям $(x_{0},x_{1},\dots x_{p})$ будут элементы следующего ортогонального детерминанта $p$-го порядка

$\left|c_{kl}-{\frac {c_{k0}c_{0l}}{c_{00}\pm 1}}\right|,\quad (k,l=1,2,\dots p)$,

где двойной знак соответствует двум противоположным направлениям вращения. В самом деле, так как вращение происходит параллельно плоскости осей $(x_{0},y_{0})$, и ось $y_{0}$ приходит после вращения в совпадение с осью $x_{0}$, то угловые коэффициенты $c_{kl}'$ оси $y_{l}$ относительно оси $x_{k}$ после вращения выразятся следующим образом

$c_{00}'=1,\,c_{k0}'=0,\,c_{0l}'=0,\,c_{kl}'=c_{kl}+\theta _{l}c_{k0},\quad (k,l=1,2,\dots p)$,

где $\theta _{l}$ — числовые множители.