Вторая эпоха: Роберваль.
[61]7. Начало второй трети XVII вѣка, къ которому мы теперь переходимъ, есть эпоха самыхъ важныхъ и блистательныхъ открытій. Почти одновременно являются Декартъ, Ферматъ и Роберваль и открываютъ новые пути для самыхъ глубокихъ соображеній.
Эти три знаменитые ученые раздѣляютъ между собою славу рѣшенія, каждый своимъ особымъ путемъ, той задачи, которую еще ни одинъ геометръ не рѣшался до тѣхъ поръ обнять во всей ея общности: именно общей задачи о касательныхъ къ кривымъ линіямъ, — задачи, которую Декартъ желалъ рѣшить, какъ «самую прекрасную и наиболѣе полезную», и которая дѣйствительно была необходимымъ подготовленіемъ къ изобрѣтенію дифференціальнаго исчисленія.
Древніе геометры опредѣляли касательную къ кривой линіи какъ прямую, имѣющую съ кривою только одну общую точку и чтобы притомъ между нею и кривою нельзя было провести другой прямой. На основаніи этого опредѣленія они нашли касательныя къ нѣкоторымъ извѣстнымъ въ то время кривымъ. Но изъ этого опредѣленія проистекаетъ немного средствъ для рѣшенія задачи, и потому новѣйшіе геометры принуждены были разсматривать касательныя съ иныхъ точекъ зрѣнія. Ихъ стали разсматривать, какъ сѣкущія, которыхъ точки пересѣченія сливаются; или какъ продолженія безконечно-малыхъ сторонъ кривой линіи, разсматриваемой, какъ многоугольникъ съ безконечно-большимъ числомъ сторонъ; или, какъ направленіе составнаго движенія, при которомъ описывается данная кривая.
[62]
Первое воззрѣніе принадлежитъ Декарту и Фермату, хотя ихъ рѣшенія весьма различны между собою; второе было ясно и опредѣленно выражено Барровомъ, который при помощи его упростилъ рѣшеніе Фермата; наконецъ третье принадлежитъ Робервалю[1].
Рѣшеніе Декарта основывается на началахъ его новой геометріи; о немъ мы будемъ говорить позднѣе при началѣ нашей третьей эпохи.
Теперь же бросимъ взглядъ на труды Роберваля, Фермата и нѣкоторыхъ другихъ, современныхъ имъ, геометровъ, способствовавшихъ вмѣстѣ съ ними къ неизмѣримому развитію въ то время чистой геометріи древнихъ.
8. Роберваль (1602—1675). Способъ Роберваля для проведенія касательныхъ основанъ на ученіи о составныхъ движеніяхъ, которое за нѣсколько лѣтъ было уже открыто и введено въ механику Галилеемъ, но не было еще прилагаемо къ геометріи.
Роберваль ясно выражаетъ свой способъ слѣдующими словами:
Общее правило. По отличительнымъ признакамъ кривой линіи (которые даны) изслѣдуйте различныя (простыя) движенія, которыя должна имѣть точка, описывающая кривую, въ томъ мѣстѣ, гдѣ вы хотите провести касательную; опредѣлите направленіе движенія, составленнаго изъ всѣхъ этихъ составляющихъ движеній: это направленіе и будетъ касательная къ кривой.
Съ метафизической точки зрѣнія этотъ способъ замѣчательно сходенъ съ способомъ флюксій, установленнымъ гораздо позднѣе Ньютономъ. Но въ рукахъ Роберваля онъ не могъ повести ко всѣмъ послѣдствіямъ, къ которымъ онъ былъ способенъ, и честь открытія которыхъ принадлежитъ Ньютону, потомучто въ то время не было еще необходимаго для этого однообразнаго аналитическаго пріема. Тѣмъ не менѣе мысль Роберваля, во многихъ
[63]отношеніяхъ новая и по истинѣ философская, даетъ этому геометру почетное мѣсто въ исторіи математическихъ открытій.
Дѣйствительно, въ принципѣ Роберваля открывается новый способъ разсматривать величины и находить между ними соотношенія. До этихъ поръ въ геометріи величины предполагались окончательно сложившимися; эти величины, или ихъ части, сравнивались между собою. Роберваль, восходя къ самому происхожденію количествъ, вводитъ въ геометрію причины, которыя по его воззрѣнію ихъ образуютъ, и изъ соотношеній между этими причинами выводитъ заключеніе о соотношеніяхъ между самими количествами. Причина, производящая количества, по его представленію, есть движеніе.
Составленіе движеній было извѣстно уже древнимъ, какъ мы это видимъ въ механическихъ вопросахъ у Аристотеля[2]; притомъ они уже прилагали его къ геометріи при образованіи нѣкоторыхъ кривыхъ. Доказательствомъ служитъ способъ Архимеда описывать спираль чрезъ составленіе круговаго и прямолинейнаго движенія и способъ образованія сферической спирали Паппа. Но геометры эти примѣняли понятіе о движеніе только къ отдѣльныхъ кривымъ; они не имѣли даже мысли основать на этомъ, какъ Роберваль, способъ образованія всѣхъ кривыхъ и, главное, не употребляли этого принципа для открытія свойствъ кривыхъ линій.
То обстоятельство, что способъ Роберваля обладалъ совершенною общностію, заслуживаетъ особаго вниманія, потомучто въ ту эпоху геометрія приводилась еще къ отдѣльному изученію кривыхъ,
[64]разсматриваемыхъ порознь. Это былъ одинъ изъ первыхъ примѣровъ перехода отъ конкретныхъ идей къ абстрактнымъ въ наукѣ о пространстеѣ.
Изъ способа Роберваля было сдѣлано нѣсколько ошибочныхъ примѣненій, вслѣдствіе несоблюденія правилъ составленія движеній, какъ это случалось также нѣсколько разъ и въ вопросахъ механики. Но эти ошибки, происходившія отъ недостатка вниманія, нисколько не касаются самаго метода, главное правило котораго выражено
Робервалемъ совершенно строго, (хотя доказательство его изложено и довольно трудно) и тринадцать приложеній къ весьма разнообразнымъ кривымъ[3], сдѣланныхъ самимъ авторомъ, вполнѣ точны.
Теорія Роберваля стояла на одной высотѣ съ воззрѣніями Декарта и Фермата и уступала имъ только потому, что они пользовались могущественнымъ пособіемъ анализа, безъ котораго они были бы безплодны. Роберваль умѣлъ оцѣнить это преимущество въ способахъ своихъ знаменитыхъ соперниковъ. Мнѣніе, которое онъ высказалъ по этому поводу въ письмѣ къ Фермату, намъ кажется, можно считать справедливымъ. Говоря о различныхъ приложеніяхъ своего метода, Роберваль прибавляетъ:
Этотъ методъ изобрѣтенъ не на основаніи той возвышенной и столь глубокой геометріи, какъ вашъ способъ и способъ Декарта, и потому онъ представляется не столь искуснымъ; въ замѣнъ этого онъ кажется мнѣ болѣе простымъ, естественнымъ и болѣе короткимъ; такъ что для всѣхъ касательныхъ, о которыхъ я говорилъ, мнѣ не было даже надобности браться за перо. (Oeuvres de Fermat. р. 165).
9. Роберваль былъ соперникомъ Фермата также во всѣхъ вопросахъ о размѣрахъ фигуръ и о ихъ центрахъ тяжести, — въ вопросамъ,
[65]которые близко касались современнаго намъ интегральнаго исчисленія. Для рѣшенія такихъ вопросовъ онъ изобрѣлъ способъ, сходный съ способомъ Каваллери, но обработанный болѣе согласно съ геометрическою строгоcтію. Этотъ способъ, почерпнутый имъ, по его словамъ, изъ внимательнаго чтенія сочиненій Архимеда, онъ назвалъ Traité des indivisibles. Почти достовѣрно, что онъ имъ уже владѣлъ прежде появленія способа Каваллери, но хранилъ его in petto, чтобы имѣть передъ своими соперниками лестное преимущество, разрѣшая при помощи его весьма трудныя задачи. Отъ этого вся честь столь полезнаго открытія досталась на долю Каваллери[4].
Примѣчанія.
- ↑ Впослѣдствіи Маклоренъ въ своей теоріи флюксій возвратился къ опредѣлевію древнихъ, какъ наиболѣе удовлетворяющему геометрической строгости, которую онъ хотѣлъ сохранить въ этомъ сочиненіи. Лагранжъ также принялъ его въ основаніе въ прекрасной теоріи соприкосновеній въ Traité des fonctions analytiques.
- ↑ Patet igitur, quotiescumque aliquid per diametrum duplice vi, in diversa. tendente, impellatur, illud necessario ferri secundum rationem laterum. Quaest-mechan. cap. II.
Аристотель возвращается къ этому принципу въ 23 вопросѣ и показываетъ, что количество и направленіе составнаго движенія можетъ быть весьма различно, смотря по тому, составляютъ ли направлсвія слагающихъ движеній большій или меньшій уголъ.
Знаменитый философъ говоритъ еще довольно опредѣлительно о томъ же принципѣ въ VIII главѣ 12-й книги своей Метафизики.
- ↑ Парабола, гипербола, эллипсъ, конхоида Никомеда, различныя другія конхоиды, улиткообразная Паскаля, спираль Архимеда, квадратрикса Динострата, циссоида Діоклеса, циклоида, сопутствующая циклоиды (cyolotdis socia) и парабола Декарта (кривая третьяго порядка, которую Декартъ производилъ непрерывнымъ движеніемъ и употреблялъ въ своей геометріи для построенія уравненій шестой степени).
- ↑ Traité des indivisibles, также какъ и большая часть сочиненій Роберваля, появилась только черезъ двадцать лѣтъ послѣ его смерти въ Сборникѣ: Divers ouvrages de mathématiques et de physique par M.M. de l'Academie royale des sciences; in fol. 1693, и потомъ въ VI томѣ прежнихъ Mémoires de l'Academie des sciences.
|
Сканы, размещённые на Викискладе