Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 5

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава I. Натуральные числа. § 5. Расположение чисел натурального ряда по величине.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Индекс в Викитеке

§ 5. Расположение чисел натурального ряда по величине.

Пользуясь совершенной индукцией, мы можем доказать предложение, обратное тому, которое было приведено в § 3, 11.

1. Если число $a$ отлично от числа $b$ и не содержится в комплексе $N_{b}$, то число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$.

а) Предложение справедливо при $a=1$. В самом деле, мы получаем комплекс $N_{1}$, выключая из натурального ряда $N$ одно только число $1$ (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное от $1$, содержится в комплексе $N_{1}$.

b') Допустим теперь, что предложение 1 доказано для некоторого числа $a$. Пусть $b$ будет число отличное от $a$. Дано, что

число $a$ не содержится в комплексе $N_{b}$ и, следовательно, (согласно допущению) число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$.

Требуется доказать:

если число $b$ отлично от $a+1$ и число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$, то число $b$ содержится в комплексе $N_{a+1}$.

При доказательстве мы можем также принимать, что число $b$ отлично от $a$; если бы $b=a$, то число $a+1$ содержалось бы в комплексе $N_{b}$ (§ 3, 6).

Так как число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$, то в нём не содержится и число $a$: если бы последнее входило в состав комплекса $N_{b}$, то в его состав, согласно определению (§ 3, β'), должно было бы войти и число $a+1$.

Согласно заданию, число $b$ входит в состав комплекса $N_{a}$, так как при этом (§ 3, 7)

$N_{a}=N_{a+1}+(a+1)$,

(1)

число же $b$ отлично от $a+1$, то оно необходимо входит в состав комплекса $N_{a+1}$, что и требовалось доказать.

Таким образом, в силу теоремы о совершенной индукции, предложение 1 справедливо при $a=1$, а также для всех чисел $a$, содержащих в комплексе $N_{1}$, т. е. для всех чисел натурального ряда. Из всего сказанного (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекает следующий вывод: если числа $a$ и $b$ различны, то либо число $a$ содержится в комплексе $N_{b}$, либо же число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$; то и другое вместе не может иметь места. Это даёт возможность расположить числа натурального ряда по величине.

Дополним определение § 3, 11, именно: если число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$, то мы будем говорить, что число $b$ больше числа $a$, а число $a$ меньше числа $b$.

Следовательно, если число $a$ отлично от числа $b$; и не больше, нежели $b$, то оно меньше числа $b$. Относительно двух различных чисел $a$ и $b$ таким образом строго определено, которое из них больше, которое меньше. Если $b$ есть большее из этих двух чисел, то мы будем писать

$b>a$ и $a<b$;

одно из этих соотношений представляет собой следствие другого. Вместе с тем предложение § 3, 10^* может быть дополнено следующим образом.

2. Если число $a$ меньше, нежели $b$, а $b$ меньше, нежели $c$, то число $a$ меньше, нежели $c$.

3. Если число $a$ меньше, нежели $b$, то $a+1$ меньше, нежели $b+1$.

В самом деле,

$N_{a+1}=N_{a}-(a+1)$ и $N_{b+1}=N_{b}-(b+1)$.

(2)

Если теперь $a<b$, то комплекс $N_{b}$ представляет собой правильную часть комплекса $N_{a}$, причём число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$; следовательно, комплекс $N_{b}$, входит в состав комплекса $N_{a+1}$; комплекс же $N_{b}-(b+1)$ составляет часть комплекса $N_{a+1}$. Это и составляет содержание доказываемого предложения ^[1].

4. Bcе комплексы $N_{a}$ имеют одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплекс $N$.

Действительно, если отнесём каждый элемент $a$ комплекса $N$ числу $a+1$ комплекса $N_{1}$, то между комплексами $N$ и $N_{1}$, будет установлено однозначное соответствие; они имеют, следовательно, одинаковую мощность. Точно так же мы получаем однозначное соответствие между комплексами $N_{a}$ и $N_{a+1}$, если мы отнесём каждый элемент $n$ комплекса $N_{a}$ элементу $n+1$ комплекса $N_{a+1}$ вследствие этого комплекс $N_{a+1}$ имеет ту же мощность, что и комплекс $N_{a}$. В силу закона индукции, мы отсюда заключаем, что комплексы $N_{a}$ и $N$ имеют одну и ту же мощность. Если мы обозначим мощность всех этих комплексов через $\omega$, то число $\omega$ совпадает с $\omega +1$, а потому $\omega$ есть бесконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.

Всякий комплекс, имеющий ту же мощность, что и комплекс $N$, называется исчислимым комплексом.

5. Если комплекс $M$ содержит в себе бесконечный комплекс $A$, то он и сам представляет собой бесконечный комплекс.

В самом деле, пусть $\alpha$ будет элемент, не входящий в состав комплекса $M$; составим комплекс $M'=M+\alpha$. Так как по условию комплекс $A$ бесконечен, то он может быть связан однозначным соответствием с комплексом $A+\alpha$. Если мы затем отнесём каждый из остальных элементов комплекса $M$ (т. е. элементы комплекса $M-A$) самому себе, то этим будет установлено однозначное соответствие между $M'$ и $M$. Если поэтому $\omega$ есть число комплекса $M$, то оно совпадает с $\omega +1$, и потому бесконечно.

6. Если мощность какого-либо комплекса $M$ не совпадает с мощностью ни одного из чисел натурального ряда, то он содержит в себе часть, имеющую мощность натурального ряда, а потому он бесконечен.

Комплекс $M$, как всякий комплекс, содержит в себе часть $M_{1}$ мощности $1$. Выделим такую часть и отнесём к ней число $1$.

Теперь допустим, что комплекс $M$ имеет часть $M_{a}$ мощности натурального числа $a$, содержащую в себе $M_{1}$. Так как сам комплекс $M$ не имеет мощности натурального числа, то комплекс $M_{a}$ представляет собою правильную часть комплекса $M$, — иначе говоря, в комплексе $M$ имеются элементы, которых нет в комплексе $M_{a}$. Выбрав один определённый из этих элементов, отнесём ему число $a+1$ и присоединим его к комплексу $M_{a}$. Таким образом мы составим комплекс $M_{a+1}$, заключающий в себе комплекс $M_{a}$ и представляющий собой часть комплекса $M$. В силу закона индукции мы отсюда заключаем, что такое построение возможно для каждого числа $a$, — иными словами, что каждому числу натурального ряда можно отнести элемент комплекса $M$, что и требовалось доказать.

Из всего сказанного вытекает, что понятие о натуральном числе совпадает с понятием о конечном числе, как оно было установлено в § 3, 3.

7. Во всяком конечном числовом комплексе $S_{a}$, содержащем $a$ натуральных чисел, имеется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумеется, что теорема справедлива при $a=1$; в этом случае комплекс $A$ состоит из одного только числа, которое само может быть рассматриваемо, как самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустим теперь, что теорема доказана для некоторого определённого значения $a$, и пусть $z_{1}$, будет самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a}$. Каждый комплекс $S_{a+1}$ получается из некоторого комплекса $S_{a}$ путём присоединения одного нового числа $z_{0}$. Если теперь $z_{0}<z_{1}$, то $z_{0}$ представляет собою самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если $z_{0}>z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{0}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если, наконец, $z_{1}<z_{0}<z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$. В силу совершенной индукции, предложение таким образом доказано.

Примечания

1. Это доказательство также изложено очень сжато.

   Прежде всего покажем, что при $b>a$ число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$. Так как $b>a$, то число $b$ принадлежит комплексу $N_{a}$ (опр. § 3,11). Соотношение (1) обнаруживает, что число $b$ либо совпадает при этом с $a+1$, либо содержится в комплексе $N_{a+1}$. Если число $b$ совпадает с $a+1$, то $N_{b}$ есть $N_{a+1}$, а потому число $a+1$ в его состав не входит (§ 3,9). Если же число $b$ входит в состав комплекса $N_{a+1}$, то и в этом случае число $a+1$ не входит в состав комплекса $N_{b}$ (3,11).

   По условию $b>a$, т. е. число $b$ принадлежит комплексу $N_{a}$, а потому комплекс $N_{b}$ входит в состав комплекса $N_{a}$ (§ 3, 10). Но так как число $a+1$ в комплексе $N_{b}$ не содержится, то мы можем исключить из комплекса $N_{a}$ число $(a+1)$, и комплекс $N_{b}$ будет всё же содержаться в оставшемся комплексе. Но оставшийся комплекс [соотн. (2)] есть $N_{a+1}$; следовательно, комплекс $N_{b}$ входит в состав комплекса $N_{a+1}$, а потому в состав комплекса $N_{a+1}$ входит и число $b+1$, принадлежащее комплексу $N_{b}$. Иными словами, $b+1>a+1$ (опр. § 3, 11).