Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/30

такъ называемое предложенiе о совершенной индукцiи, или заключенiе отъ $n$ кь $n+1$. Предложенiе это заключается въ следующемъ.

Пусть ${\mathfrak {S}}_{n}$, представляетъ собой нѣкоторое утвержденiе относительно неопредѣленнаго натуральнаго числа $n$, т. е. предложенiе, содержащее неопредѣленное натуральное число $n$. Если это утвержденiе оказалось справедливымъ

a) для нѣкотораго частнаго значенiя неопредѣленнаго числа $n=a$.

b) а также для всякаго числа $n+1$ въ томъ случаѣ, если оно справедливо для числа $n$, то оно справедливо также для всѣхъ чиселъ комплекса $N_{a}$, т. е. для всѣхъ чиселъ $n$, которыя больше, нежели $a$.

Итакъ, примемъ условiя a) и b) и обозначимъ черезъ $S$ комплексъ тѣхъ чиселъ $n$, для которыхъ предложенiе ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо. Согласно условiямъ a) и b) число $a+1$ содержится въ комплексѣ $S$; этотъ комплексъ удовлетворяетъ, следовательно, требованiямъ α') и β') § 3. Слѣдовательно, комплексъ $N_{a}$ входитъ въ составъ комплекса $S$. Иначе говоря, каждое число комплекса $N_{a}$ (т. е. каждое число, которое больше, нежели $a$) принадлежитъ къ тѣмъ числамъ $n$, для которыхъ утвержденiе ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо, — что и требовалось доказать.

Индуктивный процессъ умозаключенiя, который представляетъ собою основу всѣхъ опытныхъ наукъ, заключается въ томъ, что нѣкоторый фактъ, который мы наблюдали въ отдѣльныхъ случаяхъ, принимается за общiй законъ. Дальнѣйшiя наблюденiя либо постоянно подтверждаютъ это допущенiе, либо опровергаютъ его. Въ математикѣ такого рода процессъ можетъ служить только указанiемъ того пути, которому нужно слѣдовать при разысканiи истины; для дѣйствительнаго же доказательства необходимо дополненiе, точное обоснованiе, которое во многихъ случаяхъ достигается примѣненiемъ доказаннаго сейчасъ предложенiя; оно называется поэтому предложенiемъ о совершенной индукции.

Если предложенiе или понятiе, содержащее неопредѣленное число $n$, приводится отъ случая $n+1$ къ случаю $n$, то такой прiемъ называютъ также рекуррентнымъ.

Тот же текст в современной орфографии

так называемое предложение о совершенной индукции, или заключение от $n$ кь $n+1$. Предложение это заключается в следующем.

Пусть ${\mathfrak {S}}_{n}$, представляет собой некоторое утверждение относительно неопределённого натурального числа $n$, т. е. предложение, содержащее неопределённое натуральное число $n$. Если это утверждение оказалось справедливым

a) для некоторого частного значения неопределённого числа $n=a$.

b) а также для всякого числа $n+1$ в том случае, если оно справедливо для числа $n$, то оно справедливо также для всех чисел комплекса $N_{a}$, т. е. для всех чисел $n$, которые больше, нежели $a$.

Итак, примем условия a) и b) и обозначим через $S$ комплекс тех чисел $n$, для которых предложение ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо. Согласно условиям a) и b) число $a+1$ содержится в комплексе $S$; этот комплекс удовлетворяет, следовательно, требованиям α') и β') § 3. Следовательно, комплекс $N_{a}$ входит в состав комплекса $S$. Иначе говоря, каждое число комплекса $N_{a}$ (т. е. каждое число, которое больше, нежели $a$) принадлежит к тем числам $n$, для которых утверждение ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо, — что и требовалось доказать.

Индуктивный процесс умозаключения, который представляет собою основу всех опытных наук, заключается в том, что некоторый факт, который мы наблюдали в отдельных случаях, принимается за общий закон. Дальнейшие наблюдения либо постоянно подтверждают это допущение, либо опровергают его. В математике такого рода процесс может служить только указанием того пути, которому нужно следовать при разыскании истины; для действительного же доказательства необходимо дополнение, точное обоснование, которое во многих случаях достигается применением доказанного сейчас предложения; оно называется поэтому предложением о совершенной индукции.

Если предложение или понятие, содержащее неопределённое число $n$, приводится от случая $n+1$ к случаю $n$, то такой прием называют также рекуррентным.

---

§ 5. Расположенiе чиселъ натуральнаго ряда по величинѣ.

Пользуясь совершенной индукцiей, мы можемъ доказать предложенiе, обратное тому, которое было приведено въ § 3, 11.

1. Если число $a$ отлично отъ числа $b$ и не содержится въ комплексѣ $N_{b}$, то число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

а) Предложение справедливо при $a=1$. Въ самомъ дѣлѣ, мы получаемъ комплексъ $N_{1}$, выключая изъ натуральнаго ряда $N$ одно только

Тот же текст в современной орфографии

§ 5. Расположение чисел натурального ряда по величине.

Пользуясь совершенной индукцией, мы можем доказать предложение, обратное тому, которое было приведено в § 3, 11.

1. Если число $a$ отлично от числа $b$ и не содержится в комплексе $N_{b}$, то число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$.

а) Предложение справедливо при $a=1$. В самом деле, мы получаем комплекс $N_{1}$, выключая из натурального ряда $N$ одно только