Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/33

Всякiй комплексъ, имѣющiй ту же мощность, что и комплексъ $N$, называется исчислимымъ комплексомъ.

5. Если комплексъ $M$ содержитъ въ себѣ безконечный комплексъ $A$, то онъ и самъ представляетъ собой безконечный комплексъ.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть $\alpha$ будетъ элементъ, не входящiй въ составъ комплекса $M$; составимъ комплексъ $M'=M+\alpha$. Такъ какъ по условiю комплексъ $A$ безконеченъ, то онъ можетъ быть связанъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ комплексомъ $A+\alpha$. Если мы затѣмъ отнесемъ каждый изъ остальныхъ элементовъ комплекса $M$ (т. е. элементы комплекса $M-A$) самому себѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между $M'$ и $M$. Если поэтому $\omega$ есть число комплекса $M$, то оно совпадаетъ съ $\omega +1$, и потому безконечно.

6. Если мощность какого либо комплекса $M$ не совпадаетъ съ мощностью ни одного изъ чиселъ натуральнаго ряда, то онъ содержитъ въ себѣ часть, имѣющую мощность натуральнаго ряда, а потому онъ безконеченъ.

Комплексъ $M$, какъ всякiй комплексъ, содержитъ въ себѣ часть $M_{1}$ мощности $1$. Выдѣлимъ такую часть и отнесемъ къ ней число $1$.

Теперь допустимъ, что комплексъ $M$ имѣетъ часть $M_{a}$ мощности натуральнаго числа $a$, содержащую въ себѣ $M_{1}$. Такъ какъ самый комплексъ $M$ не имѣетъ мощности натуральнаго числа, то комплексъ $M_{a}$ представляетъ собою правильную часть комплекса $M$, — иначе говоря, въ комплексѣ $M$ имеются элементы, которыхъ нѣтъ въ комплексѣ $M_{a}$. Выбравъ одинъ опредѣленный изъ этихъ элементовъ, отнесемъ ему число $a+1$ и присоединимъ его къ комплексу $M_{a}$. Такимъ образомъ мы составимъ комплексъ $M_{a+1}$, заключающiй въ себѣ комплексъ $M_{a}$ и представляющiй собой часть комплекса $M$. Въ силу закона индукцiи мы отсюда заключаемъ, что такое построенiе возможно для каждаго числа $a$, — иными словами, что каждому числу натуральнаго ряда можно отнести элементъ комплекса $M$, что и требовалось доказать.

Изъ всего сказаннаго вытекаетъ, что понятiе о натуральномъ числѣ совпадаетъ съ понятiемъ о конечномъ числѣ, какъ оно было установлено въ § 3, 3.

7. Во всякомъ конечномъ числовомъ комплексѣ $S_{a}$, содержащемъ $a$ натуральныхъ чиселъ, имѣется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумѣется, что теорема справедлива при $a=1$; въ этомъ случаѣ комплексъ $A$ состоитъ изъ одного только числа, которое само можетъ быть разсматриваемо, какъ самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустимъ теперь, что теорема доказана для нѣ-

Тот же текст в современной орфографии

Всякий комплекс, имеющий ту же мощность, что и комплекс $N$, называется исчислимым комплексом.

5. Если комплекс $M$ содержит в себе бесконечный комплекс $A$, то он и сам представляет собой бесконечный комплекс.

В самом деле, пусть $\alpha$ будет элемент, не входящий в состав комплекса $M$; составим комплекс $M'=M+\alpha$. Так как по условию комплекс $A$ бесконечен, то он может быть связан однозначным соответствием с комплексом $A+\alpha$. Если мы затем отнесём каждый из остальных элементов комплекса $M$ (т. е. элементы комплекса $M-A$) самому себе, то этим будет установлено однозначное соответствие между $M'$ и $M$. Если поэтому $\omega$ есть число комплекса $M$, то оно совпадает с $\omega +1$, и потому бесконечно.

6. Если мощность какого-либо комплекса $M$ не совпадает с мощностью ни одного из чисел натурального ряда, то он содержит в себе часть, имеющую мощность натурального ряда, а потому он бесконечен.

Комплекс $M$, как всякий комплекс, содержит в себе часть $M_{1}$ мощности $1$. Выделим такую часть и отнесём к ней число $1$.

Теперь допустим, что комплекс $M$ имеет часть $M_{a}$ мощности натурального числа $a$, содержащую в себе $M_{1}$. Так как сам комплекс $M$ не имеет мощности натурального числа, то комплекс $M_{a}$ представляет собою правильную часть комплекса $M$, — иначе говоря, в комплексе $M$ имеются элементы, которых нет в комплексе $M_{a}$. Выбрав один определённый из этих элементов, отнесём ему число $a+1$ и присоединим его к комплексу $M_{a}$. Таким образом мы составим комплекс $M_{a+1}$, заключающий в себе комплекс $M_{a}$ и представляющий собой часть комплекса $M$. В силу закона индукции мы отсюда заключаем, что такое построение возможно для каждого числа $a$, — иными словами, что каждому числу натурального ряда можно отнести элемент комплекса $M$, что и требовалось доказать.

Из всего сказанного вытекает, что понятие о натуральном числе совпадает с понятием о конечном числе, как оно было установлено в § 3, 3.

7. Во всяком конечном числовом комплексе $S_{a}$, содержащем $a$ натуральных чисел, имеется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумеется, что теорема справедлива при $a=1$; в этом случае комплекс $A$ состоит из одного только числа, которое само может быть рассматриваемо, как самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустим теперь, что теорема доказана для не-