Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/32

У этой страницы нет проверенных версий, вероятно, её качество не оценивалось на соответствие стандартам.

Эта страница была вычитана

Вмѣстѣ съ тѣмъ предложенiе § 3, 10^* можетъ быть дополнено слѣдующимъ образомъ.

2. Если число $a$ меньше, нежели $b$ , а $b$ меньше, нежели $c$ , то число $a$ меньше, нежели $c$ .

3. Если число $a$ меньше, нежели $b$ , то $a+1$ меньше, нежели $b+1$ .

Въ самомъ дѣлѣ,

N_{a+1}=N_{a}-(a+1)

и

N_{b+1}=N_{b}-(b+1)

.

(2)

Если теперь $a<b$ , то комплексъ $N_{b}$ представляетъ собой правильную часть комплекса $N_{a}$ , при чемъ число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{b}$ ; слѣдовательно, комплексъ $N_{b}$ , входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$ ; комплексъ-же $N_{b}-(b+1)$ составляетъ часть комплекса $N_{a+1}$ . Это и составляетъ содержанiе доказываемаго предложенiя ^[1].

4. Bcѣ комплексы $N_{a}$ имѣютъ одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплексъ $N$ .

Дѣйствительно, если отнесемъ каждый элементъ $a$ комплекса $N$ числу $a+1$ комплекса $N_{1}$ , то между комплексами $N$ и $N_{1}$ , будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе; они имѣютъ, слѣдовательно, одинаковую мощность. Точно такъ же мы получаемъ однозначное соотвѣтствiе между комплексами $N_{a}$ и $N_{a+1}$ , если мы отнесемъ каждый элементъ $n$ комплекса $N_{a}$ элементу $n+1$ комплекса $N_{a+1}$ вслѣдствiе этого комплексъ $N_{a+1}$ имѣетъ ту-же мощность, что и комплексъ $N_{a}$ . Въ силу закона индукцiи, мы отсюда заключаемъ, что комплексы $N_{a}$ и $N$ имѣютъ одну и ту-же мощность. Если мы обозначимъ мощность всѣхъ этихъ комплексовъ черезъ $\omega$ , то число $\omega$ совпадаетъ съ $\omega +1$ , а потому $\omega$ есть безконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.

↑ Это доказательство также изложено очень сжато.
Прежде всего покажемъ, что при $b>a$ число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{b}$ . Такъ какъ $b>a$ , то число $b$ принадлежитъ комплексу $N_{a}$ (опр. § 3,11). Соотношенiе (1) обнаруживаетъ, что число $b$ либо совпадаетъ при этомъ съ $a+1$ , либо содержится въ комплексѣ $N_{a+1}$ . Если число $b$ совпадаетъ съ $a+1$ , то $N_{b}$ есть $N_{a+1}$ , а потому число $a+1$ въ его составъ не входитъ (§ 3,9). Если же число $b$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$ , то и въ этомъ случаѣ число $a+1$ не входитъ въ составъ комплекса $N_{b}$ (3,11).

По условiю $b>a$ , т. е. число $b$ принадлежитъ комплексу $N_{a}$ , а потому комплексъ $N_{b}$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a}$ (§ 3, 10). Но такъ какъ число $a+1$ въ комплексѣ $N_{b}$ не содержится, то мы можемъ исключить изъ комплекса $N_{a}$ число $(a+1)$ , и комплексъ $N_{b}$ будетъ все же содержаться въ оставшемся комплексѣ. Но оставшiйся комплексъ [соотн. (2)] есть $N_{a+1}$ ; слѣдовательно, комплексъ $N_{b}$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$ , а потому въ составъ комплекса $N_{a+1}$ входитъ и число $b+1$ , принадлежащее комплексу $N_{b}$ . Иными словами, $b+1>a+1$ (опр. § 3, 11).

Тот же текст в современной орфографии

Вместе с тем предложение § 3, 10^* может быть дополнено следующим образом.

2. Если число $a$ меньше, нежели $b$ , а $b$ меньше, нежели $c$ , то число $a$ меньше, нежели $c$ .

3. Если число $a$ меньше, нежели $b$ , то $a+1$ меньше, нежели $b+1$ .

В самом деле,

N_{a+1}=N_{a}-(a+1)

и

N_{b+1}=N_{b}-(b+1)

.

(2)

Если теперь $a<b$ , то комплекс $N_{b}$ представляет собой правильную часть комплекса $N_{a}$ , причём число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$ ; следовательно, комплекс $N_{b}$ , входит в состав комплекса $N_{a+1}$ ; комплекс же $N_{b}-(b+1)$ составляет часть комплекса $N_{a+1}$ . Это и составляет содержание доказываемого предложения ^[1].

4. Bcе комплексы $N_{a}$ имеют одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплекс $N$ .

Действительно, если отнесём каждый элемент $a$ комплекса $N$ числу $a+1$ комплекса $N_{1}$ , то между комплексами $N$ и $N_{1}$ , будет установлено однозначное соответствие; они имеют, следовательно, одинаковую мощность. Точно так же мы получаем однозначное соответствие между комплексами $N_{a}$ и $N_{a+1}$ , если мы отнесём каждый элемент $n$ комплекса $N_{a}$ элементу $n+1$ комплекса $N_{a+1}$ вследствие этого комплекс $N_{a+1}$ имеет ту же мощность, что и комплекс $N_{a}$ . В силу закона индукции, мы отсюда заключаем, что комплексы $N_{a}$ и $N$ имеют одну и ту же мощность. Если мы обозначим мощность всех этих комплексов через $\omega$ , то число $\omega$ совпадает с $\omega +1$ , а потому $\omega$ есть бесконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.

↑ Это доказательство также изложено очень сжато.
Прежде всего покажем, что при $b>a$ число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$ . Так как $b>a$ , то число $b$ принадлежит комплексу $N_{a}$ (опр. § 3,11). Соотношение (1) обнаруживает, что число $b$ либо совпадает при этом с $a+1$ , либо содержится в комплексе $N_{a+1}$ . Если число $b$ совпадает с $a+1$ , то $N_{b}$ есть $N_{a+1}$ , а потому число $a+1$ в его состав не входит (§ 3,9). Если же число $b$ входит в состав комплекса $N_{a+1}$ , то и в этом случае число $a+1$ не входит в состав комплекса $N_{b}$ (3,11).

По условию $b>a$ , т. е. число $b$ принадлежит комплексу $N_{a}$ , а потому комплекс $N_{b}$ входит в состав комплекса $N_{a}$ (§ 3, 10). Но так как число $a+1$ в комплексе $N_{b}$ не содержится, то мы можем исключить из комплекса $N_{a}$ число $(a+1)$ , и комплекс $N_{b}$ будет всё же содержаться в оставшемся комплексе. Но оставшийся комплекс [соотн. (2)] есть $N_{a+1}$ ; следовательно, комплекс $N_{b}$ входит в состав комплекса $N_{a+1}$ , а потому в состав комплекса $N_{a+1}$ входит и число $b+1$ , принадлежащее комплексу $N_{b}$ . Иными словами, $b+1>a+1$ (опр. § 3, 11).

[1] Это доказательство также изложено очень сжато.
Прежде всего покажемъ, что при $b>a$ число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{b}$ . Такъ какъ $b>a$ , то число $b$ принадлежитъ комплексу $N_{a}$ (опр. § 3,11). Соотношенiе (1) обнаруживаетъ, что число $b$ либо совпадаетъ при этомъ съ $a+1$ , либо содержится въ комплексѣ $N_{a+1}$ . Если число $b$ совпадаетъ съ $a+1$ , то $N_{b}$ есть $N_{a+1}$ , а потому число $a+1$ въ его составъ не входитъ (§ 3,9). Если же число $b$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$ , то и въ этомъ случаѣ число $a+1$ не входитъ въ составъ комплекса $N_{b}$ (3,11).

По условiю $b>a$ , т. е. число $b$ принадлежитъ комплексу $N_{a}$ , а потому комплексъ $N_{b}$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a}$ (§ 3, 10). Но такъ какъ число $a+1$ въ комплексѣ $N_{b}$ не содержится, то мы можемъ исключить изъ комплекса $N_{a}$ число $(a+1)$ , и комплексъ $N_{b}$ будетъ все же содержаться въ оставшемся комплексѣ. Но оставшiйся комплексъ [соотн. (2)] есть $N_{a+1}$ ; слѣдовательно, комплексъ $N_{b}$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$ , а потому въ составъ комплекса $N_{a+1}$ входитъ и число $b+1$ , принадлежащее комплексу $N_{b}$ . Иными словами, $b+1>a+1$ (опр. § 3, 11).

[2] Это доказательство также изложено очень сжато.
Прежде всего покажем, что при $b>a$ число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$ . Так как $b>a$ , то число $b$ принадлежит комплексу $N_{a}$ (опр. § 3,11). Соотношение (1) обнаруживает, что число $b$ либо совпадает при этом с $a+1$ , либо содержится в комплексе $N_{a+1}$ . Если число $b$ совпадает с $a+1$ , то $N_{b}$ есть $N_{a+1}$ , а потому число $a+1$ в его состав не входит (§ 3,9). Если же число $b$ входит в состав комплекса $N_{a+1}$ , то и в этом случае число $a+1$ не входит в состав комплекса $N_{b}$ (3,11).

По условию $b>a$ , т. е. число $b$ принадлежит комплексу $N_{a}$ , а потому комплекс $N_{b}$ входит в состав комплекса $N_{a}$ (§ 3, 10). Но так как число $a+1$ в комплексе $N_{b}$ не содержится, то мы можем исключить из комплекса $N_{a}$ число $(a+1)$ , и комплекс $N_{b}$ будет всё же содержаться в оставшемся комплексе. Но оставшийся комплекс [соотн. (2)] есть $N_{a+1}$ ; следовательно, комплекс $N_{b}$ входит в состав комплекса $N_{a+1}$ , а потому в состав комплекса $N_{a+1}$ входит и число $b+1$ , принадлежащее комплексу $N_{b}$ . Иными словами, $b+1>a+1$ (опр. § 3, 11).

[1]

[1]