Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/31

число $1$ (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное отъ $1$, содержится въ комплексѣ $N_{1}$.

b') Допустимъ теперь, что предложенiе 1 доказано для нѣкотораго числа $a$. Пусть $b$ будетъ число отличное отъ $a$. Дано, что

число $a$ не содержится въ комплексе $N_{b}$ и, слѣдовательно, (согласно допущенiю) число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

Требуется доказать:

если число $b$ отлично отъ $a+1$ и число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{b}$, то число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a+1}$.

При доказательствѣ мы можемъ также принимать, что число $b$ отлично отъ $a$; если бы $b=a$, то число $a+1$ содержалось бы въ комплексѣ $N_{b}$ (§ 3, 6).

Такъ какъ число $a+1$ не содержится въ комплексе $N_{b}$, то въ немъ не содержится и число $a$: если бы послѣднее входило въ составъ комплекса $N_{b}$, то въ его составъ, согласно опредѣленiю (§ 3, β'), должно было бы войти и число $a+1$.

Согласно заданiю, число $b$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a}$, такъ какъ при этомъ (§ 3, 7)

$N_{a}=N_{a+1}+(a+1)$,

(1)

число же $b$ отлично отъ $a+1$, то оно необходимо входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$, что и требовалось доказать.

Такимъ образомъ, въ силу теоремы о совершенной индукцiи, предложенiе 1 справедливо при $a=1$, а также для всѣхъ чиселъ $a$, содержащихъ въ комплексѣ $N_{1}$, т. е. для всѣхъ чиселъ натуральнаго ряда. Изъ всего сказаннаго (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекаетъ слѣдующiй выводъ: если числа $a$ и $b$ различны, то либо число $a$ содержится въ комплексѣ $N_{b}$, либо же число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$; то и другое вмѣстѣ не можетъ имѣть мѣста. Это даетъ возможность расположить числа натуральнаго ряда по величинѣ.

Дополнимъ опредѣленiе § 3, 11, именно: если число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$, то мы будемъ говорить, что число $b$ больше числа $a$, а число $a$ меньше числа $b$.

Следовательно, если число $a$ отлично отъ числа $b$; и не больше, нежели $b$, то оно меньше числа $b$. Относительно двухъ различныхъ чиселъ $a$ и $b$ такимъ образомъ строго опредѣлено, которое изъ нихъ больше, которое меньше. Если $b$ есть большее изъ этихъ двухъ чиселъ, то мы будемъ писать

$b>a$ и $a<b$;

одно изъ этихъ соотношенiй представляетъ собой слѣдствiе другого.

Тот же текст в современной орфографии

число $1$ (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное от $1$, содержится в комплексе $N_{1}$.

b') Допустим теперь, что предложение 1 доказано для некоторого числа $a$. Пусть $b$ будет число отличное от $a$. Дано, что

число $a$ не содержится в комплексе $N_{b}$ и, следовательно, (согласно допущению) число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$.

Требуется доказать:

если число $b$ отлично от $a+1$ и число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$, то число $b$ содержится в комплексе $N_{a+1}$.

При доказательстве мы можем также принимать, что число $b$ отлично от $a$; если бы $b=a$, то число $a+1$ содержалось бы в комплексе $N_{b}$ (§ 3, 6).

Так как число $a+1$ не содержится в комплексе $N_{b}$, то в нём не содержится и число $a$: если бы последнее входило в состав комплекса $N_{b}$, то в его состав, согласно определению (§ 3, β'), должно было бы войти и число $a+1$.

Согласно заданию, число $b$ входит в состав комплекса $N_{a}$, так как при этом (§ 3, 7)

$N_{a}=N_{a+1}+(a+1)$,

(1)

число же $b$ отлично от $a+1$, то оно необходимо входит в состав комплекса $N_{a+1}$, что и требовалось доказать.

Таким образом, в силу теоремы о совершенной индукции, предложение 1 справедливо при $a=1$, а также для всех чисел $a$, содержащих в комплексе $N_{1}$, т. е. для всех чисел натурального ряда. Из всего сказанного (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекает следующий вывод: если числа $a$ и $b$ различны, то либо число $a$ содержится в комплексе $N_{b}$, либо же число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$; то и другое вместе не может иметь места. Это даёт возможность расположить числа натурального ряда по величине.

Дополним определение § 3, 11, именно: если число $b$ содержится в комплексе $N_{a}$, то мы будем говорить, что число $b$ больше числа $a$, а число $a$ меньше числа $b$.

Следовательно, если число $a$ отлично от числа $b$; и не больше, нежели $b$, то оно меньше числа $b$. Относительно двух различных чисел $a$ и $b$ таким образом строго определено, которое из них больше, которое меньше. Если $b$ есть большее из этих двух чисел, то мы будем писать

$b>a$ и $a<b$;

одно из этих соотношений представляет собой следствие другого.