Физика (1831 г.)/ДО/Об общих законах движения и в особенности твердых тел

Объ общихъ законахъ движенія и въ особенности твердыхъ тѣлъ —
Физика 1831 г. изд. Часть 1, отдѣленiе 3, глава 1

См. Оглавленiе и таблицы. Опубл.: 1831. Источникъ: Физика. Часть 1. § 266-335. Санктпетербургъ, в типографiи департамента народнаго просвѣщенiя, 1831.

<Введенiе>

266. Всякое измѣненіе мѣста называется движеніемъ, а пребываніе на одномъ мѣстѣ называется покоемъ. Поелику каждое мѣсто можетъ быть собственнымъ или относительнымъ, смотря по тому, относится ли оно къ безпредѣльному пространству или къ нѣкоторой опредѣленной части его, то и каждое движеніе можно разсматривать, какъ совершенное или какъ относительное. Движеній перваго рода наблюдать мы не можемъ; о движеніи же втораго рода судимъ мы по измѣненіямъ положенія, въ отношеніи къ системѣ тѣлъ, принимаемой нами за неподвижную.

Какъ одно и то же тѣло не можетъ быть вдругъ въ двухъ разныхъ мѣстахъ, то оно требуетъ для движенія своего извѣстнаго времени; и какъ оно не можетъ изъ одного мѣста перейти въ другое, не прошедши прежде всѣхъ промежуточныхъ точекъ между оными, то посему въ движеніи оно слѣдуетъ всегда по нѣкоторому пути или описываетъ извѣстное пространство.

Движеніе называется прямолинѣйнымъ или криволинѣннымъ, ежели путь онаго есть прямая или кривая линія. Криволинѣйное движеніе, въ которомъ тѣло обращается около оси, называется вращательнымъ; всякое же другое поступательнымъ.

267. Свойство движенія, по которому какое либо тѣло описываетъ въ извѣстное время извѣстное пространство, называется скоростію. Когда всѣ части тѣла имѣютъ одинакую скорость, то довольно будетъ разсматривать оную въ одной какой либо части его, дабы можно было опредѣлить движеніе цѣлаго тѣла.

Когда въ движеніи скорость остается постоянна, то движеніе будетъ равномѣрное; въ противномъ случаѣ неравномѣрное; и сіе послѣднее называется ускореннымъ или укосненнымъ, смотря по тому, какъ скорость его возрастаеть или уменьшается.

268. Въ природѣ существуютъ двоякаго рода силы, существенно различныя между собою по способу дѣйствія ихъ; именно: однѣ дѣйствуютъ мгновенно, оставляя потомъ самому себѣ движущееся тѣло; другія же дѣйствуютъ безпрестанно въ продолженіи извѣстнаго времени. Сіи послѣднія опять, бываютъ постоянныя, когда онѣ дѣйствуютъ съ одинакимъ напряженіемъ; и перемѣнныя, когда напряженіе дѣйствія ихъ бываетъ различно.

О движеніи производимомъ силами мгновенно дѣйствующими

269. Сила, дѣйствующая мгновенно, можетъ производить движеніе только прямолинѣйное и равномѣрное; поелику движимое тѣло, по причинѣ своей недѣйственности, не можетъ перемѣнить ни направленія, ни скорости, которыя сообщены оному отъ мгновеннаго дѣйствія силы.

Когда въ семъ движеніи пространство, равно какъ и время употребляемое на описаніе онаго, означаются отвлеченными числами, посредствомъ извѣстной единицы, особой для каждаго рода; то сіи двѣ величины можно будетъ сравнивагаь между собою, и взаимное отношеніе между ими дастъ скорость движенія. Единицею скорости будетъ нѣкоторое извѣстное пространство, взятое за единицу, описываемое тѣломъ, во время, взятое также за единицу. А посему когда означимъ пространство чрезъ $s$, время чрезь $t$, и скорость чрезъ $c$, то для равномѣрнаго движенія получимъ формулы:

$c={\frac {s}{t}}$; слѣдов. $s=ct$ и $t={\frac {s}{c}}$.

270. Поелику мы получаемъ понятіе о силахъ, въ смыслѣ динамическомъ, только по пути, который описывается движущимся отъ дѣйствія ихъ тѣломъ въ извѣстное время, то естественно можно принимать величину сего пути за мѣру оныхъ силъ, по которой онѣ различаются между собою. Но для сего потребно знать отношеніе, въ какомъ находятся сіи пути (или переходимыя пространства) къ силамъ, коихъ величина опредѣлена по статическому ихъ дѣйствію. Сіе можемъ мы узнать только изъ опыта, ибо сущность силъ для насъ вовсе непостижима.

Для сей цѣли опытъ научаетъ насъ, что относительныя движенія системы тѣлъ, производимыя какими бы то ни было силами, вовсе независимы отъ общаго движенія цѣлой системы. Такъ на пр. извѣстно, что земля со всѣми тѣлами, къ ней принадлежащими, обращаетея около солнца; но при всемъ томъ, какая либо иная сила сообщаетъ на ней движеніе какому либо тѣлу одно и то же, какой бы уголъ ни составляло направленіе онаго съ направленіемъ движенія земли. На кораблѣ плывущемъ какой либо шаръ катится точно такъ, какъ и на кораблѣ въ покоѣ находящемся, ежели только въ обоихъ сихъ случаяхъ будутъ на него дѣйствовать одна и та же сила.

Отсюда сдѣдуетъ, что силы можно почитать пропорціональными скоростямъ, ими производимымъ; ибо когда двѣ равныя массы $M$ побуждаются двумя силами $P$ и $Q$, изъ коихъ $Q$ равна $mP$; то силу $Q$ можно себѣ представлять разложенною на $m$ силъ, равныхъ силѣ $P$, которыя дѣйствуютъ не вдругъ , но послѣдовательно. И когда сила $P$ сообщаетъ массѣ $M$ скорость $c$, то она должна увеличивать скорость уже движущейся масы, также на величину $c$. А потому масса будетъ имѣть скорость $2c$, когда на оную подѣйствуютъ 2 силы $P$; или скорость $3c$ или $mc$, когда число силъ будетъ 3 или $m$, такъ что $mc=C$, а потому будетъ:

$P:Q=1:m$,

$c:C=1:m$,

слѣдовательно

$P:Q=c:C$.

Сей же законъ легко распространить и на силы несоизмѣримыя.

271. Но законъ сей справедливъ только для равныхъ массъ. Силы же, дѣйствующія на разныя массы, при необходимости должны состоять въ другомъ отношеніи. Положимъ, что сила $P$, дѣйствуя мгновенно, приводитъ въ движеніе массу $M$, такъ что всѣ части оной пріобрѣтаютъ одинакую скорость $C$, и движутся по направленіямъ взаимно параллельнымъ: пусть другая сила $p$ одинакого свойства съ силою $P$, приводитъ также въ движеніе массу $m$ со скоростію $c$; и вообразимъ себѣ, что масса $M$ раздѣлена на столько равныхъ частей, сколько въ $M$ включается единицъ, и что сила $P$ разложена на столько же параллельныхъ силъ, и каждая изъ сихъ силъ будетъ равна ${\frac {P}{M}}$. Представляя себѣ также и массу $m$ на такія же части раздѣленную, какъ и масса $M$, равно какъ и силу $p$ разложенною на столько равныхъ и параллелыіыхъ между собою силъ, сколько въ $m$ будетъ частей; то каждая изъ сихъ силъ будетъ также равна ${\frac {p}{m}}$; и будетъ

${\frac {P}{M}}:{\frac {p}{m}}=C:c$ (§ 270)

или

$P:p=CM:cm$,

для $P=p$, было 6ы $CM=cm$, и $M:m=c:C$.

Произведеніе изь массы на ея скорость называется количествомъ движенія (собственно количествомъ движущей силы). Оно вмѣстѣ есть мѣрою силы $P$, называемой движущею силою, въ отличеніе отъ силы ${\frac {P}{M}}$ дѣйствующей на массу равную единицѣ, называемой ускорительною силою; ибо полагая въ предъидущей пропорціи

$P=1,\quad c=1,\quad m=1$,

т. е. принимая за единицу силу сообщающую нѣкоторой массѣ = 1, скорость также = 1, получаемъ:

$P:1=CM:1$ , и $P=CM$.

272. Основываясь на пропорціональности силъ со скоростями, ими производимыми, можно и самыя скорости слагать и разлагать точно такъ, какъ силы. Такъ наприм. когда силы $P$ и $Q$ (фиг. 84) приложены къ одной точкѣ $A$, и, дѣйствуя по направленіямъ $Ax$ и $Ay$, производятъ скорости $C=AB$ и $c=AC$; то скорость соотвѣтствующая равнодѣйствующей имъ силѣ $R$ будетъ $AD$, діагональ параллелограма $ABCD$; ибо назвавъ сію скорость чрезъ $X$ имѣемъ:

$P:R=C:X$

$P:R=AB:AD$.

А потому и $C:X=AB:AD$, или $X=AD$ (ибо $C=AB$).

273. Если уголъ $xAy$ будетъ острый, то $AC$ можно разложить на $AE$ и $AF$, изъ коихъ бы первая совпадала съ направленіемъ $Ax$, а другая была къ ней пернендикулярна. И потому можно представлять, что будто бы отъ силы $Q$ скорость точки $A$ по направленію $Ax$ увеличивается на $AE$.

Если же $\angle xAy$ будетъ тупой (фиг. 85), то подобное же разложеніе $AC$ на $AF$ и на $AE$ покажет, что скорость точки $A$ по нанравленію $Ax$ уменьшается на $AF$. Только при движеніяхъ, направленія коихъ взаимно перпендикулярны, нельзя сдѣлать подобнаго разложенія; откуда видно, что такія только движенія не обнаруживаютъ никакого вліянія одного на другое, или независимы между собою.

О движеніи, производнмомъ силами непрерывно дѣйствующими

274. Сила, дѣйствующая непрерывно, производитъ движеніе ускоренное. Свойство ускоренія, равно какъ и свойство самаго движенія, зависитъ отъ закона, опредѣляющаго дѣйствіе оной силы.

Здѣсь разсмотримъ подробно только такое движеніе, которое производится дѣйствіемъ постоянной ускорительной силы.

275. Чтобы составить ясное понятіе о движеніи, производимомъ такою силою, вообразимъ, что время $t$ движенія, раздѣлено на $n$ равныхъ частей $={\frac {t}{n}}$ и что ускорительная сила дѣйствуетъ съ одинаковымъ напряженіемъ только при началѣ каждой таковой частички времени. Очевидно, что движеніе будетъ единообразно въ продолженіи времени ${\frac {t}{n}}$; но что скорость онаго должна увеличиваться, при каждой слѣдующей частичкѣ времени. Назвавъ скорость, пріобрѣтенную при началѣ первой частички времени, чрезъ $\gamma$, будетъ скорость во 2-й $2\gamma$, въ 3-й $3\gamma$, ... въ $n$-й $n\gamma =c$.

Чѣмъ меньше ${\frac {t}{n}}$ или чѣмъ больше $n$, тѣмъ быстрѣе будутъ слѣдовать ускоренія дѣйствія силы, и тѣмъ больше будетъ сила сія приближаться къ силѣ дѣйствующей непрерывно. Предѣлъ увеличенія $n$ есть $n=\infty$, и предѣлъ послѣдовательнаго дѣйствія силы есть непрерывность; слѣдовательно при $n=\infty$ дѣйствіе силы должно будетъ почитать за непрерывное. Но въ семъ случаѣ скорости будутъ пропорціональны временамъ, въ которыя онѣ пріобрѣтены. Движеніе, коего скорость возрастаетъ въ прямыхъ отношеніяхъ со временемъ называется равномѣрно-ускореннымъ, и очевидио, что отъ дѣйствія постоянной непрерывной силы должно произходить равномѣрно-ускоренное движеніе.

Никогда не должно забывать, что подъ скоростію сего движенія разумѣется понятіе различное отъ скорости равномѣрнаго движенія. Тамъ скорость означала пространство дѣйствительно проходимое въ единицу времени; здѣсь же подъ скоростію разумѣется пространство, которое описывало бы движимое тѣло, по причинѣ его само-недѣйственности, въ единицу времени, если бы дѣйствіе силы на него прекратилось въ то мгновеніе, въ которое разсматриваемъ его скорость.

276. Чтобы вывесть законъ равномѣрно-ускореннаго движенія, употребимъ тѣ же сужденія, что и въ § 275. И такъ если $s$ есть пространство, описываемое во время $t$, и $\gamma$ скорость при началѣ первой частички времени ${\frac {t}{n}}=\tau$;

• пространство описываемое въ 1 частичку времени будетъ $=\gamma \tau$,
• ... 2 ... $2\gamma \tau$,
• ... 3 ... $3\gamma \tau$,
• ... $n$ ... $n\gamma \tau$,

и слѣдовательно:

$S=\gamma \tau +2\gamma \tau +3\gamma \tau +\dots +n\gamma \tau =\gamma \tau (1+2+3+\dots +n)=$

$=\gamma \tau {\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n\gamma \tau }{2}}+{\frac {n^{2}\gamma \tau }{2}}={\frac {n^{2}\gamma \tau }{2n}}+{\frac {n^{2}\gamma \tau }{2}}$.

Но $n\gamma$ равно окончательной скорости $c$, и $n\tau =t$, слѣдовательно

$s={\frac {ct}{2n}}+{\frac {ct}{2}}$.

Въ семъ выраженіи 2-й членъ не зависитъ отъ $n$; а первый будетъ тѣмъ меньше, чѣмъ $n$ больше, т. е. чѣмъ быстрѣе послѣдуютъ ускоренія дѣйствія силы. А потому величина $s$ приближается тѣмъ больше къ ${\frac {ct}{2}}$, чѣмъ непрерывнѣе будетъ дѣйствіе силы, или чѣмъ ближе будетъ движеніе подходить къ равномѣрно-ускоренному. Для предѣла обоюднаго приближенія будетъ:

$s={\frac {ct}{2}}$,

(1.)

гдѣ $s$ означаетъ пространство, описываемое равномѣрно ускореннымъ движеніемъ во время $t$, съ окончательною скоростію $c$ онаго.

Если $g$ есть скорость, пріобрѣтенная въ 1-ю секунду времени, то

$g:c=1:t$ и $c=gt$.

(2.)

Изъ формулы (1) и (2) имѣемъ

$s={\frac {gt^{2}}{2}}$;

(3.)

а изъ формулы (3)

$t={\sqrt {\frac {2s}{g}}}$,

(4.)

также изъ формулы (2 и 3)

$c={\sqrt {2gs}}$.

(5.)

Здѣсь $g$ есть мѣра ускорительной силы, или двойное пространство, описываемое въ первую секунду времени, какъ то видно изъ (3), полагая тамъ $t=1$.

Сіи формулы показываютъ, что въ равномѣрно ускоренномъ движеніи:

1. Пространства относятся, какъ квадраты временъ, или
2. что пространства, проходимыя въ послѣдовательныя равныя времена, увеличиваются въ прогрессіи нечетныхъ чиселъ. Означивъ именно чрезъ $s'$ пространство, соотвѣтствующее времени $(t+1)$, будетъ

   $s-s'={\frac {g}{2}}(2t+2)$.

Въ оныхъ же формулахъ заключаются вмѣстѣ законы и равномѣрно-укосненнаго движенія, въ которомъ скорости въ такомъ отношеніи уменьшаются, въ какомъ времена увеличиваются.

О свободномъ паденіи тѣлъ

277. Изъ того, что говорено было прежде о тяжести, можно заключить, что тяжелыя тѣла, падающія съ высотъ чрезвычайно малыхъ въ сравненіи съ радіусомъ земли, движутся равномѣрно-ускорительно, предполагая, что тяжесть равно дѣйствуетъ какъ на тѣла движущіяся, такъ и на тѣла въ покоѣ находящіяся. И дѣйствительно опытъ показываетъ, что при упомянутыхъ обстоятельствахъ, тѣла свободно падающія проходятъ пространства, пропорціональныя квадратамъ временъ, и что слѣдовательно движутся онѣ равномѣрно-ускорительно. Опытовъ сихъ нельзя повѣрить при свободномъ паденіи тѣлъ, по причинѣ значительной высоты, потребной для нихъ; но для сего употребляется особый приборъ, называемый Атвудовою машиною, посредствомъ котораго можно произвольно уменьшать пространство, проходимое въ одну секунду паденія, и изъ опытовъ, на ономъ производимыхъ , можно уже заключать и о законахъ свободнаго паденія тѣлъ. Приборъ сей въ простѣйшемъ устроеніи своемъ состоитъ изъ неподвижнаго блока (фиг. 86), обнимаемаго нитью, къ концамъ которой прикрѣплены чашечки для вкладыванія разныхъ гирекъ. Блокъ сей утверждается на вертикальной стойкѣ, раздѣленной на дюймы, по которой можно измѣрять пространство, пробѣгаемое чашечкою, и потомъ сравнивать оное со временемъ движенія.

Ежели $M$ означаетъ вѣсъ блока, веревки и чашечекъ, $P$ грузъ положенный въ одну чашечку, а $P+p$ грузъ положенный въ другую чашечку; $g$ ускореніе производимое тяжестію въ свободномъ паденій, $g'$ величину онаго ускоренія въ Атвудовой машинѣ; то ускорительныя силы можно почитать пропорціональными движимымъ ими массамъ; и тогда получимъ

$M+2P+p:p=g:g'$

и

$M+2P:p=g-g':g'$,

откуда

$p=(M+2P){\frac {g'}{g-g'}}$.

Чтобы чашечка переходила только одинъ дюймъ въ первую секунду, т. е. чтобы она пріобрѣла скорость въ 2 дюйма, то было бы:

$g'=2$ и $p={\frac {M+2P}{185}}$,

принимая $g=$ 31 футъ = 372 дюймамъ.

Сей выводъ есть только приближенный, по причинѣ вращательнаго движенія блока; собственно надлежало бы принимать только половину массы его въ разсмотрѣніе.

278. Если въ формулахъ (§ 276) равномѣрно-ускореннаго движенія вставимъ вмѣсто $g$ его дѣйствительную величину, то формулы сіи будутъ годны для свободнаго наденія, и потому могутъ быть приложены къ рѣшенію всѣхъ задачъ, къ оному относящихся.

Здѣсь должно помнить, что $g$ имѣетъ разное значеніе для разныхъ широтъ; и изъ опыпіовъ найдено, что ежеди $g$ есть ускореніе тяжести подъ широтою 45°, и $g'$ есть величина онаго подъ иною широтою $\phi$, то имѣетъ мѣсто слѣдующее уравненіе:

$g'=g(1-0,002837.\cos {2\phi })$.

Въ Петербургѣ величина для $g=$ 32,2154 русск. фут., а подъ Экваторомъ $g=$ 32,08601.^[1]

О паденіи тѣлъ по наклонной плоскости

279. Разсматривая тяжедое тѣло на наклонной плоскости, увидимъ, что оно также побуждается внизъ постоянно и непрерывно дѣйствующею силою, и потому должно двигаться также равномѣрно ускоренно, когда не будетъ ни какихъ препятствій въ движеніи, и когда высота наклонной поскости не очень значительна. Пусть на пр. $ABC$ (фиг. 87) представляетъ разрѣзъ наклонной плоскости вертикально перпендикулярною къ ней плоскостію, $AB$ высоту, $AC$ длину, $BC$ основаніе, $\angle ABC=\alpha$ уголъ наклоненія оной, и наконецъ $G$ центръ тяжести тѣла, $Gx$ направленіе тяжести, и $GD$ величину оной $g$; то $GD$ можно разложить на силы $GE$ перпендикудярную къ $AC$, и $ED$ параллелыіую съ $AC$; изъ коихъ первая уничтожается противодѣйствіемъ наклонной плоскости, между тѣмъ какъ вторая производитъ полное свое дѣйствіе по длинѣ наклонной плоскости, и называется относительною тяжестію.

Поелику $Gx\perp$ къ $BC$, и $GE\perp$ къ $AC$; то $\angle EGD=\angle ACB=\alpha$; и слѣдов. $ED=GD\sin \alpha =g\sin \alpha$ будетъ означать силу постоянную при одномъ и томъ же $\alpha$ и при постоянномъ $g$.

Первые опыты для открытія законовъ паденія тяжелыхъ тѣлъ произведены были Галилеемъ помощію наклонной плоскости.

280. Если въ формулахъ равномѣрно ускореннаго движенія, поставимъ $g\,\sin \alpha$, вмѣсто $g$, разумѣя подъ $g$ двойное пространство въ свободномъ паденіи въ 1ю секунду времени пройденное, то онѣ сдѣдаются годны для паденія по наклонной плоскости. А потому означивъ чрезъ $s'$, $t'$, $c'$ величины одноимянныя въ наклонной плоскости съ величинами $s$, $t$ и $c$ въ свободномъ паденіи, находимъ:

$c'=gt'\sin \alpha$,

(1bis.)

$s={\frac {g(t')^{2}\sin \alpha }{2}}$;

(3bis.)

$t'={\sqrt {\frac {2s'}{g\sin \alpha }}}$,

(4bis.)

$c'={\sqrt {2gs'\sin \alpha }}$.

(5bis.)

<Ср. формулы (1-5) § 276.>

281. Когда тѣло пришло по наклонной плоскости въ точку $D$ (фиг. 88), и желаемъ знать, какое пространство прошло бы оно въ то же время, падая свободно; для сего въ точкѣ $D$ возставимъ $DE$ перпендикуляръ къ $AC$, то $AE$ будетъ искомымъ пространствомъ. Ибо означивъ чрезъ $\alpha$ уголъ $ABC$, и чрезъ $x$ искомое пространство, имѣли бы:

$AD={\frac {gt^{2}}{2}}\sin \alpha$, и $x={\frac {gt^{2}}{2}}$,

а потому и

$AD=x\,\sin \alpha$, или ${\frac {AD}{\sin \alpha }}=x$.

Но $\angle EAD=\angle BAC$, $\angle ADE=\angle ABC$, и $\angle AED=\alpha$, слѣдовательно

${\frac {AD}{\sin \alpha }}=AE$ и $x=AE$.

282. Прилагая предъидущее къ отвѣсному діаметру $AB$ (фиг. 89) круга и къ хордамъ онаго $AC$ и $BC$, увидимъ, что пространства $AB$, $AC$ и $CB$, будутъ проходимы тѣломъ въ равныя времена. Сіе очевидно для $AB$ и $AC$; ибо уголъ $C$ есть прямой, но въ отношеніи къ $AB$ и $CB$, должно провести напередъ $BD$ перпендикулярно къ $CB$, и $CD$ отвѣсно; тогда увидимъ, что пространства $CB$ и $CD$ будутъ проходимы въ одно время, равно какъ и $AB$ и $CB$; ибо $CD=AB$.

283. Очевидно, что всѣ хорды, проводимыя изъ $A$ и $B$, будутъ проходимы въ одно время: ибо каждая изъ нихъ есть одновременна съ $AB$. И какъ отъ обращенія круга происходитъ шаръ, то всѣ хорды, выходящія изъ самой высшей точки шара или сходящіяся въ самой нижней точкѣ его, будутъ пространства одновременныя.

284. Тѣло пріобрѣтаетъ одинакую скорость, будетъ ли оно описывать длину наклонной плоскости $AC$ (фиг. 88), или высоту оной $AB$; ибо

$c={\sqrt {2g.AB}}$ и $c'={\sqrt {2g.AC\sin \alpha }}$.

Но $AC.\sin \alpha =AB$; слѣдовательно $c=c'$.

Сіе положеніе есть только частный случай общаго динамическаго начала, извѣстнаго подъ названіемъ начала наименьшаго дѣйствія.^[2]

285. Изъ сего положенія необходимо слѣдуетъ, что тѣло, падая по двумъ наклоннымъ плоскостямъ, различно наклоннымъ, но имѣющимъ одинакую высоту, какъ на пр. по $AB$ и $AC$ (фиг. 90), пріобрѣтетъ въ концѣ паденія одинакую скорость.

286. Если $AB$ и $BC$ (фиг. 91) будутъ двѣ наклонныя плоскости, встрѣчающіяся подъ угломъ $ABC$, то тяжелое тѣло, движущееся отъ $A$ до $C$, пріобрѣтаетъ здѣсь такую же скорость, какую 6ы оно пріобрѣло и по линіи $AE$АЕ, предполагая, что оно въ $B$ не претерпѣваетъ ни какой потери въ скорости; ибо какъ оно получаетъ одинакую скорость, когда оно будетъ двигаться отъ $B$ или по $BC$ или по $BE$, то и приращеніе скорости по $BC$ или по $BE$ должно быть одннаково, ежели тѣло приходитъ въ $B$ уже съ нѣкоторою скоростію, а потому оно должно имѣть одинакую скорость и при паденіи по $ABE$ и по $ABC$.

287. Но сіе тѣло претерпѣваетъ потерю въ скорости въ $B$; ибо оно со скоростію, пріобрѣтенною имъ при достиженіи въ $B$, стремится слѣдовать по направленію $BE$. Ежели сію скорость означаетъ $c=EB$, то разложивъ оную на $EF$ пернендикулярную въ $BC$, и на $BF$ параллельную оной, увидимъ, что только сею послѣднею тѣло побуждастся къ движенію по $BC$.

Но $BF=BE\cos \angle EBF=c\cos \beta$, если $\angle EBF=\beta$; и потому потеря въ скорости будетъ:

$BE-BF=c-c\cos \beta =c(1-\cos \beta )$.

Ежели бы $ABC$ была непрерывная кривая линія, то $\beta$ было бы безконечно мало, и слѣдов. $\cos \beta =1$, а потому и потеря въ скорости была бы $=0$.

О движеніи маятника

288. Всякое тѣло, которое можетъ обращаться около оси, не проходящей чрезъ центръ тяжести его, называется маятникомь, и притомъ физическимъ или сложнымь. Когда же вообразимъ себѣ тяжелую точку $B$ (фиг. 92), привязанную къ негибкой и нетяжелой линіи $AB$, которая можетъ обращаться около точки А, то сіе составить маятникъ простой или математической. Впрочемъ, безъ значительной погрѣшности, получимъ также простой маятникъ, привязавъ небольшой шарикъ къ тонкой нити, которой длина была бы не меніе шести разъ взятаго поперечника шарика.

289. Когда простой маятникъ $AB$ изъ вертикальнаго положенія $AB$ приведется въ положеніе $AC$, и потомъ предоставится самому себѣ, то онъ, побуждаемъ будучи тяжестію, опишетъ дугу круга $CB$, лежащую съ нимъ въ одной вертикальной плоскости. Чтобы найти силу, его побуждающую, пусть $Cx$ будетъ направленіе силы тяжести и $CE=g$ ускореніе оной; уголъ возвышенія $\angle CAB=\alpha$; разложимъ $CE$ на $CF$ перпендикулярную къ $AC$, и на $CD$ ей параллельную; то сія послѣдняя уничтожится противодѣйствіемъ линіи $CA$; а для движенія маятника останется только сила $CF=CE\sin \angle CEF=g\sin \alpha$; ибо $\angle CEF=\angle CAB=\alpha$.

Какъ сила сія при одной и той же величинѣ $g$ зависитъ отъ $\sin \alpha$, который тѣмъ меньше становится, чѣмъ ближе маятникъ къ отвѣсному положенію $AB$, то движеніе его отъ $C$ къ $B$ должно быть не равномѣрноускоренное, т. е. такое, въ коемъ скорости растутъ не въ такомъ же отношеніи, какъ времена. Въ точкѣ $B$ скорость маятника будетъ наибольшая, и потому онъ по своей самонедѣйственности долженъ будетъ итти далѣе по дугѣ $BH$, и притомъ по причинѣ неравномѣрнаго противодѣйствія тяжести, движеніемъ неравномѣрно - укосненнымъ. Очевидно, что $BH$ должно быть равно $CB$. Въ точкѣ $H$ будетъ онъ находиться въ такомъ же состояніи, какъ и въ $C$, то есть, онъ будетъ опускаться по $BH$, и потомъ подниматься опять до $C$, и сіи качанія его продолжались бы безпрерывно, ежели бы не было никакихъ препятствій.

290. Движеніе маятника, выведенное изъ выраженія его ускорительной силы, еще лучше познается изъ формулы, опредѣляющей скорость его въ каждой точкѣ его пути. Пусть будетъ простой маятникъ $AB=l$ (фиг. 93) выведенъ изъ вертикальнаго положенія на уголъ $CAB=\alpha$; и потомъ придетъ въ положеніе $D$, такъ что $\angle DAB=\beta$. Сіе движеніе маятника можно разсматривать, такъ, какъ будто бы какое либо тѣло двигалось въ кругломъ желобѣ $CD$; ибо очевидно, что противодѣйствіе прута $AB$ претерпѣваетъ столько же, сколько и противодѣйствіе желоба. По § 287 здѣсь не можетъ произходить потери въ скорости, а потому маетникъ при движеніи по $CD$ пріобрѣтаетъ ту же самую скорость, какую оно <т.е. тѣло того же вѣса> имѣло бы свободно падая съ высоты $EF$, которая найдется, когда проведемъ $CE$ и $DF$ перпендикулярно къ $AB$. — И такъ для скорости $c$ въ точкѣ $B$ имѣемъ выраженіе:

$c={\sqrt {2g.EF}}$;

или какъ $EF=AF-AE$ и $AF=l\cos \beta$, $AE=l\cos \alpha$, то

$c={\sqrt {2gl(\cos \beta -\cos \alpha )}}$.

Откуда видно, что $c$ будетъ тѣмъ болѣе, чѣмъ меньше $\beta$, а потому движеніе ускоряется, и притомъ неравномѣрно, поелику $\cos .\beta$ возрастаетъ не пропорцонально дугамъ $\beta$.

Когда маятникъ находится въ положеніи $AB$, то $\beta =0$; и

$c={\sqrt {2gl(1-\cos \alpha )}}$.

Для $+\beta$ и $-\beta$ величина $c$ остается также, а потому при возхожденіи маятника движеніе будетъ замедляться точно такъ, какъ оно ускорялось при его нисхожденіи. Но $\beta$ не можетъ быть больше $\alpha$, ибо въ семъ случаѣ $\cos \beta -\cos \alpha$ было бы отрицательнымъ, и $c$ сдѣлалось бы мнимою величиною.^[3]

291. Для физики наиболѣе важно въ маятникѣ время, въ которое онъ описываетъ дугу $CH$СН (фиг. 92), или время его размаха. Назвавъ сіе время чрезъ $t$, длину маятника чрезъ $l$, отношеніе окружности къ діаметру чрезъ $\pi$, въ высшей Механикѣ находится для размаховъ маятника, отдаляющагося отъ вертикальнаго положенія, не болѣе 10°, формула:

$t=\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Для большаго же угла $\alpha$ отдаленія, или въ точнѣйшихъ вычисленіяхъ надлежитъ употреблять выраженіе:

$t=\pi \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{16}}\right){\sqrt {\frac {l}{g}}}$.^[4]

Означивъ подобныя величины для другаго маятника чрезъ $T,\,L,G$, получаемъ:

$T=\pi {\sqrt {\frac {G}{L}}}$ и $T:t={\sqrt {\frac {G}{L}}}:{\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Формула

$t=\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

годна собственно только въ циклоидѣ, въ коей $l$ было бы діаметромъ круга производящаго, и такъ она вовсе не закиситъ отъ угла отдаленія маятника, поелику сія кривая линія имѣетъ то особое свойство, что въ ней какъ малыя, такъ и большія дуги описываются въ одно и то же время.

292. Ежели $n$ означать будетъ число размаховъ, совершаемыхъ маятникомъ, коеіо ддина $l$, во время $T'$; и $N$ число качаній въ тоже время совершаемыхъ маятникомъ, коеіо длина $L$; то удерживая предъидущія значенія для $T$, $G$, и $g$ будетъ $T'=NT$, и $T'=nt$; слѣдовательно $NT=nt$, или $n:N=T:t$, т.е.

$n:N={\sqrt {\frac {L}{G}}}:{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ или $n^{2}:N^{2}={\frac {L}{G}}:{\frac {l}{g}}$.

Для $l=L$ было бы $n^{2}:N^{2}=g:G$; а для $g=G$ было бы $n^{2}:N^{2}=L:l$.

293. Когда извѣстна длина $L$ маятника, дѣлающаго $N$ размаховъ въ одну секунду; то длина секунднаго маятника $l$ найдется изъ пропорціи:

$N^{2}:1=l:L$, т.е. $l=N^{2}L$.

Сіи законы качаній маятника открыты также знаменитымъ Галилеемъ, который еще на восемпадцатомъ году жизни своей былъ приведенъ къ изслѣдованію оныхъ качаніями лампады въ соборной церквѣ сь Пизахъ.

294. Хотя законы сіи выведены только для простаго маятника, но ихъ можно также приложить и къ сложному маятнику, обращающемуся около горизонтальной оси; ибо таковой сложной маятникъ можно разсматривать какъ систему простыхъ маятниковъ различной длины , совершающихъ качанія свои въ плоскостяхъ вертикальныхъ. Качанія кратчайшихъ изъ нихъ замелляются длиниѣйшими; а качанія сихъ послѣднихъ ускоряются кратчайшими, между тѣмъ какъ точки онаго маятника, находящіяся на извѣстной прямой и паралелной съ осью линіи, совершаютъ свои качанія точно такъ, какъ будто бы онѣ не были (зависимы) или соединены неизмѣняемымъ образомъ съ другими точками маятника. Точки сіи называющся центрами качанія, и разстояніе каждой изъ нихъ отъ оси даетъ длину сложнаго маятника, которую должно принимать въ разсмотрѣніе, ежели пожелаемъ примѣнить здѣсь данныя выше формулы. Линія, содержащая въ себѣ центры качанія, называется осью качанія, которая имѣетъ то замѣчательное свойство, что можно ее замѣнять осью вращенія, такъ, что принявъ ее за ось вращенія, получимъ для оси качанія маятника прежнюю ось вращенія его. Если къ пруту маятника придѣлать двѣ оси такія, чтобы маятникъ, привѣшиваемый въ одной изъ нихъ, совершалъ качанія свои въ одну секунду, то разстояніе между сими осями покажетъ довольно точно длину простаго маятника. На семъ основано было строеніе маятника Капитана Катера (Philosophical transactions of the royal society of London. 1858 pag 33 etc.). Само собого разумѣется, что при семъ должно обращать вниманіе на дугу размаха и на потерю вѣса маятника въ воздухѣ (§ 239, п. 4). Длину простаго маятника, который совершалъ бы въ одно время качанія свои съ качаніями сложнаго маятника, можно удобно опредѣлить такимъ образомъ: если простой маятникъ повѣсить близъ сложнаго маятника и длину его увеличивать или укорачивать дотолѣ, пока качанія обоихъ маятниковъ будутъ одновременны. Длина сего простаго маяінника означитъ тогда длину сложнаго таятника, или разстояніе центра качанія его отъ оси. Точнѣе же опредѣляется сіе вычисленіемъ.

Объ употребленіи маятника

295. Единовременность всѣхъ качаній маятника, имѣющаго постоянную длину, даетъ способъ унотреблять его съ выгодою къ точному измѣренію времени. Для сего стоитъ его соединить съ особымъ механизмомъ, въ которомъ при каждомъ ударѣ маятника колесо подвигалось бы на одинъ или нѣсколько зубцовъ, обращая вмѣстѣ стрѣлку, которая показывала бы число качаній маятника. Вѣрнѣе для сей цѣли употребить секундный маятникъ, котораго размахи легко подраздѣлять на ¼ секунды.

296. Пока еще не знали сего употребленія маятика, употребляли для измѣренія времени очень недостаточные приборы, называемые водяными или песочными часами, въ которыхъ по количеству воды или песка, вытекающаго изъ большаго сосуда малымъ отверстіемъ, судили о времени. Съ перваго взгляда уже можно видѣть, сколько былъ невѣренъ сей способъ и сколько мы обязаны благодарностію Гюйгенсу, который первый употребилъ маятникъ для измѣренія времени.

Chiist. Hugenii horologium oscillatorium. Paris 1673.

На семъ основано также строеніе музыкальнаго метронома, центробѣжнаго маятника (описывающаго при одномъ размахѣ коническую поверхность) и приложеніе онаго къ маятнику для терцій.

297. Чтобы маятникъ могъ измѣрять съ соверщенною точностію дленіе времени, то онъ долженъ быть устроенъ такъ, чтобы разширительная сила теплоты сколько возможно меньше на него дѣйствовала. А потому онъ долженъ быть всегда сохраняемъ въ такихъ мѣстахъ, гдѣ измъненіе температуры было бы не весьма велико. Но какъ совершенно сего избѣгнуть нельзя, то для прута маятника избирается также вещество, которое мало разширяется отъ теплоты, такъ на прим. хорошо высушенное, папитанное масломъ и покрытое лакомъ дерево; или онъ составляется искусственнымъ образомъ, такъ чтобы дѣйствіе теплоты въ немъ взаимно уничтожалось. Таковой маетникъ называется уравнивательнымъ (компенсаторомъ).

Самое простое и замысловатое, а потому нынѣ наиболѣе употребительное устроеніе уравнительнаго маятника состоитъ въ томъ, что прутъ онаго оканчивается внизу сосудомъ со ртутью (фиг. 94.) Прутъ $AB$ отъ теплоты дѣлается длиннѣе, а ртуть $CED$ разширяясь займетъ все пространство $C'ED'$. И когда ртуть взята будетъ въ надлежащемъ количествѣ, то отъ сего центръ качанія маятника отъ увеличенія длины прута его понижается на столько же, на сколько отъ разширенія ртути онъ поднимется, такъ что длина маятника всегда остается одна и та же.

Сей же цѣли можно еще достигнуть помощію рѣшіетчатаго маятника (фиг. 95.) Въ немъ прутъ маятника $AB$ дѣлается изъ желѣза, равно какъ и прутья $CD$ и $cd$, а прутья $EF$ и $ef$ дѣлаются изъ цинка. Ежели теперь разширеніе цинка въ два раза больше, нежели разашреніе желѣза, то въ маятникѣ привѣшенномь въ $O$, пониженіе центра качанія, произходящее отъ увеличенія длины прута его $AB$ и боковыхъ прутьевъ $CD$ и $cd$, будетъ уничтожаться тѣмъ количествомъ, на которое оный центръ возвысится отъ разширенія цинковыхъ прутьевъ $EF$ и $ef$.

Замѣчательно также устроеніе уравнивательнаго маятника, придуманное Мартиномъ (фиг. 96 ). $AB$ означаетъ длину прута маятника; $CD$ поперечную пластинку, оканчивающуюся шариками въ $C$ и $D$ , которые посредствомъ винтовъ можно приближать или отдалять отъ $AB$. Перекладина $CD$ составлена изъ двухъ пластинокъ, плотно привинченныхъ одна къ другой, которыя различно разширяются отъ теплоты, и болѣе разширлющаяся изъ нихъ находится внизу. Теперь когда $CD$ выпримится при нѣкоторой температурѣ, то при высшей температурѣ она приметь видъ $C'D'$, а при нижней температурѣ видъ $C''D''$ и такимъ образомъ удерживаетъ центръ качанія маятника почти на одинаковомъ разстояніи отъ оси, не смотря на измѣненіе длины прута $AB$АВ.

298. Маятникъ еще важнѣе для Физики потому, то онъ непосредственно показываетъ законы земной тяжести, выведенные въ § 118 изъ всеобщаго закона природы, именно:

1. Положеніе маятника, въ покоѣ находящагося, означаетъ направленіе тяжести.
2. Равновременность малыхъ качаній въ маятникахъ, одинакую длину имѣющихъ, показываетъ всегдашнее и неизмѣнное дѣйствіе тяжести въ одномъ и томъ же мѣстѣ.
3. Обстоятельство, что маятники, составленные изъ разныхъ веществъ, совершаютъ однако же одновременныя качанія, когда они надлежащимъ образомъ устроены, указываетъ, что всѣ вещества одинаково побуждаются тяжестію.
4. Полагая $t=1$ въ $t=\pi {\sqrt {\tfrac {l}{g}}}$, находимъ отсюда, $g=\pi ^{2}l=9,86960\,l$, т. е. величину ускоренія тяжести въ частяхъ длины секунднаго маятника; въ Петербургѣ $l=3,260102$ Росс. фута.^[5]
5. Тотъ же маятникъ совершаетъ меньшее число качаній на вершинѣ горы нежели при подошвѣ оной; по сему тяжесть должна уменьшаться по мѣрѣ удаленія отъ центра земли.

   Бугеръ и Кондаминъ замѣтили, что маятникъ, сдѣлавшій въ 24 часа на берегу морскомъ 98770 качаніи, совершалъ только 98748 въ Квито (на высотѣ 8796 футовъ), а на Пихинхѣ (14604 фута выше поверхности морской) только 98720. Отсюда Бугеръ вычислилъ уменьшеніе тяжести, и нашелъ, что означивъ величину оной при поверхности морской $=1$, въ Квито она составляетъ только 0,999249, а на Пихинхѣ 0,998816.^[6]

6. Изъ наблюденій маятника подтвердился еще болѣе законъ, открытый Ньютономъ, что тяжесть уменьшается къ Экватору, а увеличивается къ полюсу; ибо Ришерь нашелъ (въ 1672) что маятникъ, бившій секунды въ Парижѣ, на островѣ Каеннѣ должно было укоротить, чтобы онъ и тамъ означалъ секунды.

   Можно принимать за истину, подтвержденную опытомъ, что длина $l$ секунднаго маятника надъ широтою $\phi$ выражается чрезъ:

   $l=990,$ м.м. $879644+0,005304799.\sin \phi$,

   гдѣ 990,879644 миллиметра означаетъ длину секунднаго шестидесятнаго маятника подъ Экваторомъ; и = 39,36079 Росс. или Англ. дюймовъ.^[7]

7. Равнымъ образомъ на маятникѣ дѣлается для насъ ощутительнымъ взаимное притяженіе всѣхъ тѣлъ на землѣ. Имянно замѣчается, что маятникъ вблизи большихъ горъ оными притягивается.

Подробнѣе о движеніи маятника смотри въ Механикѣ Крафта, Dresden. стран. 260 — 350, или Recueil d'observationes géodésiques, astronomiques et physiques par Biot et Arago. 1821.

О движеніи тѣла, подверженнаго совокупному дѣйствію какой либо мгновенной и непрерывной силы

299. Движенія, производимыя совокупнымъ дѣйствіемъ мгновеной и друіой непрерывно дѣйствующей силы, не могутъ быть во всей обширности иначе представлены, какъ только посредствомъ высшаго анализиса. А какъ сего здѣсь сдѣлать нельзя, то и разсмотримъ только нѣкоторыя изъ сихъ движеній.

300. Когда сообщится тяжелому тѣлу мгновенный толчекъ по вертикальному направленію вверхъ или внизъ, со скоростію равною $h$, то для времени $t$, описанное пространство $s$ и скорость онаго $c$ найдутся по формуламъ:

$s=ht\pm {\frac {gt^{2}}{2}}$; $c=h\pm gt$.

Здѣсь знакъ $+$ соотвѣтствуетъ направленію удара внизъ; а знакъ $-$ направленія онаго вверхъ.

Очевидно, что въ послѣднемъ случаѣ тѣло будетъ восходить дотолѣ, пока скорость его сдѣлается $=0$.

Означивъ чрезъ $t'$ и $s'$ время и пространство, сему условію соотвѣтсшвующія, будетъ:

$h=gt'$; или ${\frac {h}{g}}=t'$, и $s'=ht'-{\frac {g(t')^{2}}{2}}={\frac {h^{2}}{2g}}$.

301. Когда тяжелое тѣло будешъ брошено горизонтально, то оно опишетъ параболу; ибо какъ оно только отъ дѣйствія одной силы верженія описало бы въ одну единицу времени пространство $AB$ (фиг. 97), въ двѣ единицы времени пространство $AC$, въ три единицы времени пространство $AD$, ежели бы тяжесть на него не дѣйствовала; а отъ дѣйствія одной только тяжести оно прошло бы въ первое время пространство $AE$, въ двойное время пространство $AF$, а въ тройное время пространство $AG$; то, <согласно § 273> отъ совокупнаго дѣйствія сихъ двухъ силъ, оно должно по истеченіи перваго времени придти на конецъ діагонали $H$ въ параллелограмѣ $ABHE$; послѣ втораго времени придти въ точку $I$, и послѣ третьяго времени придти въ точку $K$; и слѣдовательно описать путь $AHIK$. Но

$AB:FI:GK=1:2:3$,

а потому

$AB^{2}:FI^{2}:GK^{2}=1:4:9$,

также

$AE:AF:AG=1:4:9$,

и слѣдовательно

$AB^{2}:FI^{2}:GK^{2}=AE:AF:AG$,

сіе свойство принадлежитъ только параболѣ.

302. Когда тѣло будетъ брошено наклонно кь горизонту $AK$ (фиг. 98) такъ , что направленіе силы верженія $AE$ съ АК составляетъ уголъ $AEK=\alpha$, то представимъ себѣ , что оно проходитъ только отъ дѣйствія силы верженія во время $t$ пространство $AB$, въ двойное время пространство $AC$, въ тройное время пространство $AC$ и т. д., такъ чтобы было

$AB:AC:AD=1:2:3$.

Когда каждое изъ сихъ пространствъ разложится на два $AF$ и $FB$, $AG$ и $GC$, $AD$ и $HD$ взаимно перпендикулярныя, то очевидно, что отъ дѣйствія тяжести уменьшаться будутъ только пространства $BF$, $CG$ и $DH$. Означивъ чрезъ $BL$, величину ускоренія тяжести во время $t$ и чрезъ $h$ скорость сообщенную силою верженія, имѣемъ:

$AB=ht$; $AF=ht\cos \alpha$; $FB=ht\sin \alpha$; $BL={\frac {gt^{2}}{2}}$;

а потому

$FL=ht\sin \alpha -{\frac {gt^{2}}{2}}$.

Формула сія показываетъ, что путь, описанный брошеннымъ тѣломъ, будетъ кривая линія, обращенная вогнутостію своею къ горизонту, къ которой $AE$ есть касательная, и которая пресѣчетъ горизонтъ въ двухъ точкахъ $A$ и $K$; ибо для $t=0$, и для $t={\tfrac {2ht.\sin \alpha }{g}}$, $FL=0$.

Величина $t={\tfrac {2ht.\sin \alpha }{g}}$ означаетъ вмѣстѣ и продолженіе движенія.

Когда въ $ht.\cos \alpha$ поставимъ вмѣсто $t$ сію величину, то найдемъ величину:

$AK={\frac {2h^{2}.\sin \alpha \cos \alpha }{g}}={\frac {h}{g}}\sin {2\alpha }=\mathrm {A}$,

означающую дальносщь полета.

Очевидно такжа что $AK$, при однѣхъ и тѣхъ же величинахъ $h$ и $g$, будетъ наибольшимъ, когда $\alpha =$ 45°, и что оно имѣетъ одинакую величину, будетъ ли $\alpha =45^{\circ }+\beta$, или $\alpha =45^{\circ }-\beta$. Поелику движимое тѣло по одному и тому же закону возвышается и опускается, слѣд. оно достигнетъ наибольшей высоты своей во время $={\tfrac {h}{g}}\sin \alpha$. Поставляя величину сію въ

$ht\sin \alpha -{\frac {gt^{2}}{2}}$

получимъ наибольшую высоту полета:

$\mathrm {A} '={\frac {h^{2}\sin ^{2}\alpha }{g}}-{\frac {h^{2}\sin ^{2}\alpha }{2g}}={\frac {h^{2}\sin ^{2}\alpha }{2g}}$.

303. Кривая линіи $ALMNK$ будетъ парабола: ибо

$BL:CM:DN={\frac {gt^{2}}{2}}:{\frac {4gt^{2}}{2}}:{\frac {9gt^{2}}{2}}=1:4:9$.

$AB:AC:AD=AF:AG:AH=1:2:3$, или $AB^{2}:AC^{2}:AD^{2}=1:4:9$,

слѣдовательно

$BL:CM:DN=AB^{2}:AC^{2}:AD^{2}$,

свойство сіе принадлежитъ параболѣ.

Законы метательнаго движенія открыты также первоначально Галилеемъ.

О центральномъ движеніи

304. Когда тѣло будетъ притягиваемо къ одной и той же точкѣ силою, непрерывно на него дѣйствующею въ то время, какъ оно получило движеніе отъ мгновенной силы по иному направленію, то отъ того произоидетъ центальное движеніе. Обѣ сіи силы называются центральными, и притомъ одна центростремительною, а другая касательною силою.

305. Пусть центростремительная сила дѣйствуетъ на точку $A$ (фиг. 99) по $AC$, а сила касательная по $Ax$, и положимъ, что дѣйствіе первой изъ сихъ силъ не есть непрерывное, но повторяется чрезь каждое время $t$ и пусть точка $A$ въ сіе время оть дѣйствія только одной касательной силы можетъ пройти пространство $AB$, между тѣмъ какъ отъ дѣйствія одной центростремительной силы прошла бы пространство $AD$; то отъ совокуннаго дѣйствія обѣихъ сихъ силъ она пройдеть пространство равное діагонали $AE$ параллелограма $ABED$. Ежели бы потомъ не послѣдовало никакого дѣйствія отъ центростремительной силы, то $A$ продолжала бы двигаться по $Ay$, описывая въ каждое время $t$ пространство $EF=AE$. Но какъ въ $E$ дѣйствуетъ опять центростремительная сила, заставляя точку $A$ во время $t$ проходить пространство $EG$, ежели бы она въ $E$ не имѣла ни какого движенія; посему она придетъ въ точку $H$. Здѣсь повторяется тоже обстоятельство, какое и въ $E$; изъ сего очевидно слѣдуетъ, что путь $AEH$ не можетъ быть прямолинейнымъ; онъ былъ бы многоугольникомъ лежащимъ въ плоскости силъ, ежели бы предположили дѣйствіе центростремительной силы повторяющимся въ видѣ толчковь; сей многоугольникъ тѣмъ больше приближался бы къ непрерывной кривой линіи, чѣмъ меньше было бы $t$, и для $t=0$, т. е. въ случаѣ непрерывнодѣйствующей центростремительной силы, путь сей дѣлается дѣйствительно криволинѣйнымъ, и свойство его зависитъ отъ напряженія касательной силы, отъ напряженія и закона увеличенія или уменьшенія силы центростремительной, и отъ положенія центра силъ, и можетъ быть кратчайшимъ путемъ выведено только помощію высшаго анализа.

306. Секторы $ACE$ и $ECH$, описываемые въ одинакія времена, будуть между собою равны, ибо проведя $CF$ получимъ $\triangle ACE=\triangle ECF$, какъ имѣющіе оданакое основаніе и одинакую высоту; также $\triangle ECF=\triangle ECH$ по параллелизму $EC$ и $FH$, а потому и $\triangle ACE=\triangle ECH$.

И обратно, когда въ какомъ либо движеніи въ равныя времена описываются равные секторы, то одна изь силъ производящихъ оное должна быть непремѣнно направлена къ одной и той же точкѣ, или движеніе будетъ центральное. Ибо пусть во время $t$ описывается секторъ $ABC$ (фиг. 100), и въ такое же время еще такой же секторъ $BCD$. Ежели бы въ $B$ на движимое тѣло не дѣйствовала больше ни какая сила, то оно должно бы слѣдовать по прямой $ABE$, описывая въ каждое слѣдующее время пространство $BE=AB$. Но какъ оно отклоняется къ $BD$, то можно найти величину и направленіе отклоняющей силы; для сего проведемъ $DE$, и построимъ параллелограмъ $BFDE$; то $BF$ и будетъ искомая величина. Проведя же $CE$ получимъ $\triangle ACB=\triangle BCE$ и какъ по положенію $\triangle ACB=\triangle BCD$, то и $\triangle BCD=\triangle BCE$, но сіи треугольники имѣютъ одно и то же основаніе $CB$, слѣдовательно $BC$ должно быть параллельно $ED$, или $BF$ должно совпадать съ направленіемъ $BC$.

Положеніе сіе есть только частный случай динамическаго начала сохраненія площадей, т. е. пропорціональности площадей со временами.

307. Когда тѣло движется по кривой линіи $AB$ (фиг. 101) отъ дѣйствія центральныхъ силъ, то отношеніе между скоростями его въ разныхъ точкахъ $A$ и $B$ его пути найдется такимъ образомъ. Пусть въ чрезвычайно малую единицу времени движущееся тѣло придетъ изъ $A$ въ $a$ и въ такое же время изъ $B$ въ $b$; то $Aa$ и $Bb$ будутъ скорости его въ $A$ и въ $B$.^[8] Когда проведутся теперь къ центру притяженія $C$ линіи $AC$, $aC$ и $BC$, $bC$, то $\triangle ACa=\triangle BCb$. Пусть $Ax$ и $By$ будутъ касательны въ $A$ и въ $B$, а $CD$ и $CE$ перпендикулярны къ $Ax$ и $By$, то

$\triangle ACa=Aa.{\frac {CD}{2}}$; $\triangle BCb=Ba.{\frac {CE}{2}}$; и $Aa:Bb=CE:CD$,

т. е. скорости будутъ содержаться между собою въ обратномъ омношеніи длины пернендикуляровъ опущенныхъ изъ центра силъ на касательныя линіи въ тѣхъ точкахъ, въ коихъ тѣло находится.

Отсюда явствуетъ, что движеніе по кругу, коего центръ есть вмѣстѣ центромъ притяженія, будетъ равномѣрное, а напротивъ въ эллипсисѣ, въ фокусѣ коего предполагается центръ притяженія, оно будетъ то ускоряться, то замедляться.

308. Когда движеніе производится центральными силами по кругу, то величину центростремительной силы $p$ можно найти такимъ образомъ: пусть (фиг. 102) $AB$ будетъ очень малая дуга круга, описанная отъ дѣйствія центральныхъ силъ, то можно предположить, что по всей дугѣ $AB$, центростремительная сила дѣйствуетъ съ одинакимъ напряженіемъ и по направляніямъ параллельнымъ. Почему имѣемъ (по § 276)

${\frac {2s}{t^{2}}}$,

(a.)

гдѣ $s$ означаетъ пространство, описываемое тѣломъ во время $t$, только отъ дѣйствія одной центростремительной силы. Проведя изъ $B$ линію $FB$ перпендикуляриую къ радіусу $AC=r$, отрѣжемъ оною на $AC$ часть $AF=s$. Но какъ $AB$ составляетъ весьма малую часть круга, то можно принять ее за хогду; и тогда $AF:AB=AB:2AC$; или $AF={\tfrac {AB^{2}}{2AC}}$, или $s={\tfrac {AB^{2}}{2r}}$.

Слѣдовательно изъ (a)

$p={\frac {AB^{2}}{rt^{2}}}$.

(b.)

Но также $AB=ct$, ежели $c$ есть скорость движенія по кругу; и потомъ имѣемъ изъ (b)

$p={\frac {c^{2}}{r}}$.

(c.)

Означивъ чрезъ $t$ время полнаго обращенія по кругу, и чрезъ $\pi$ отношеніе окружности къ діаметру, имѣемъ $c={\tfrac {2r\pi }{t}}$; и потомъ изъ (c)

$p={\frac {4r\pi ^{2}}{t^{2}}}$.

Означивъ для другаго круга одноимянныя величины съ сими, чрезъ $P$, $R$, $T$, имѣемъ:

$P:p={\frac {R}{T^{2}}}:{\frac {r}{t^{2}}}$.

Сіи выраженія выведены хотя для круга, но онѣ могутъ быть приложены и ко всякой иной кривой линіи, когда вмѣсто $R$ возьмемъ радіусъ кривизны въ той точкѣ оной, въ которой находится тѣло.

309. Принимая, что

$P:p={\frac {1}{R^{2}}}:{\frac {1}{r^{2}}}$,

находимъ посредствомъ

$P:p={\frac {R}{T^{2}}}:{\frac {r}{t^{2}}}$

сдѣдующую пропорцію:

${\frac {1}{R^{2}}}:{\frac {1}{r^{2}}}={\frac {R}{T^{2}}}:{\frac {r}{t^{2}}}$

или

$T^{2}:t^{2}=R^{3}:r^{3}$, то есть:

когда центростремительныя силы содержатся между собою обратно какъ квадраты разстояній, то квадраты временъ обращеній содержаться будутъ какъ кубы оныхъ разстояній.

Сіе положеніе справедливо и на оборотъ; ибо предполагая, что

$T^{2}:t^{2}=R^{3}:r^{3}$,

находимъ посредствомъ

$P:p={\frac {R}{T^{2}}}:{\frac {r}{t^{2}}}$

пропорцію

$P:p={\frac {1}{R^{2}}}:{\frac {1}{r^{2}}}$.

Законъ сей называется Кеплеровымъ, по имени великаго Астронома, открывшаго его въ 1618 году, равно какъ и законъ § 306, и еще извѣстный третій законъ въ движеніяхъ тѣлъ небесныхъ.

Теоретическія же изслѣдованія надъ центральнымъ движеніемъ произведены были безсмертнымъ Ньютономъ.

310. Когда тѣло побуждается къ движенію по кривой линіи центральными силами, или одною силою и противодѣйствіемъ, то по само-недѣйственности своей оно получаетъ стремленіе отдаляться отъ описываемаго имъ криволинѣйнаго пути; сіе стремленіе называется центробѣжною силою. Пусть на прим. $Ax$ будетъ криволинѣйный путь, описываемый тѣломъ (фиг. 103), который для простоты примемъ за круговой. Когда оно придетъ по немъ въ точку $B$, то по своей недѣйственности оно стремится идти по касательной $BC$. Положимъ, что оно дѣйствительно по ней идетъ со скоростію $BC$; то можно представлять себѣ сію скорость $BC$ разложенною на двѣ $BD$ и $BE$, изъ коихъ первая идетъ по направленію радіуса, а другая почти совпадаетъ съ дугою $BE$; ежели теперь тѣло движется дѣйствительно по дугѣ $BE$, то должно непремѣнно существовать препятствіе или сила, уничтожающая силу $BD$. Сила $BD$ и есть центробѣжная въ движеніи по кругу, она совершенно равна и прямо противоноложна силѣ центростремительной, и потому можетъ быть сею послѣднею выражаема. Назвавъ чрезъ $p$ центробѣжную силу для массы $=1$, а чрезъ $p'$ величину оной для массы $m$, то $p'=mp$; и какъ

$p={\frac {4r\pi ^{2}}{t^{2}}}$ (§ 308),

то

$p'={\frac {4mr\pi ^{2}}{t^{2}}}$.

Означимъ одноименныя величины для другаго круга, по коему движется масса $M$, чрезъ $P'$, $M$, $R$, $T$, то

$P'={\frac {4MR\pi ^{2}}{T^{2}}}$ и $P':p'={\frac {MR}{T^{2}}}:{\frac {mr}{t^{2}}}$.

Поелику по изъясненіямъ астрономовъ, земля обращается около своей оси, то въ каждой точкѣ ея, лежащей внѣ оси, должна также происходить центробѣжная сила. Она будетъ на Экваторѣ самая большая, ибо здѣсь описывается точкою самый большій кругъ, и доказывается, что подъ Экваторомъ она содержится къ тяжести какъ $1:288,4$. Здѣсь центробѣжная сила прямо противна силѣ тяжести, и тѣла побуждаются въ паденіи ихъ къ поверхности земной разностію оныхъ силъ. Означивъ величину тяжести, безъ центробѣжной силы, чрезъ 1, уменьшеніе оной отъ центробѣжной силы выразится чрезъ ${\tfrac {1}{289}}$. Когда бы земля стала обращаться въ 17 разъ скорѣе около своей оси, то центробѣжная сила уничтожила бы ссвершенно тяжесть.

Въ мѣстахъ, лежащихъ внѣ Экватора, уменьшеніе тяжести центробѣжною силою было бы слабѣе, поелику центробѣжная сила становится меньше и она тамъ не прямо противоположна тяжести.

311. По дѣйствію центробѣжной силы объясняются:

• брызги летящія отъ мокрыхъ колесъ, или шлифовальвыхъ камней, при обращеніи ихъ;
• кусяи далеко отскакивающіе отъ разломавшихся колесъ или жернововъ при движеніи ихъ;
• частое соскакиваніе молотка съ рукоятки при размахахъ его;
• измѣненіе фигуры въ шарѣ сдѣланномъ изъ мягкаго вещества, и обращаемомъ около оси;
• насосъ Гессена (состоящій изъ нѣсколькихъ открытыхъ трубокъ, наклонныхъ къ вертикальный оси, съ которою онѣ обращаются, бывъ нижними концами своими погружены въ воду, а на верьху загнуты въ желобъ (фиг. 104);
• действіе вентилаторовъ, и множество явленій, производимыхъ такъ называемою центральною машиною.

Объ ударѣ тѣль

312. Когда какое либо тѣло встрѣтится съ движущеюся массою, то какъ само оно, такъ и ударившая масса получитъ измѣненія въ своемъ движеній. Величина и свойство сего измѣненія зависятъ отъ направленія движущагося и ударяемаго тѣла, отъ скорости, массы и вида ихъ, равно какъ и отъ упругости и ихъ состоянія скопленія. Ударъ называется прямымъ, когда направленіе движенія тѣлъ перпендикулярно къ плоскости, въ которой онѣ касаются при началѣ удара; въ противномъ случаѣ косвеннымъ. Онъ также называется центральнымъ, когда направленіе тѣлъ до удара проходитъ чрезъ центры тяжести ихъ, и эксцентрическимъ вѣ противномъ случаѣ. Въ тѣлахъ шарообразныхъ и однородныхъ, которыя въ особенности здѣсь будетъ разсматриваемы, каждый прямый ударъ будетъ вмѣстѣ центральнымъ.

313. Какого бы вида ударъ ни былъ, всегда произойдетъ перемѣна въ движеніи тѣла. Поелику часто, при таковой перемѣнѣ, скорость всѣхъ частей тѣла должна увеличиться до извѣстной степени, что мгновенно произойти не можетъ, и потому для сего потребно всегда извѣстное время. Ежели какое ни есть тѣло подѣйствуетъ на другое такъ скоро, что сообщаемая имъ скорость не можетъ быть передана всѣмъ частямъ другаго до извѣстной степени, то непосредственно встрѣчаемыя точки ударяемаго тѣла должны будутъ выдерживать всю силу удара. А когда сцѣпленія частей сего тѣла недостаточно для того, чтобъ оно могло выдержать сію силу, то тѣло разбивается.

Сіе подтверждается безчисленными явленіями; напр. доска, поставленная такъ, что она можетъ опрокинуться (упасть) отъ слабѣйшаго толчка, останется неподвижна, хотя и пробивается насквозь выстрѣломъ изъ ружья пулею; оконничное стекло также прострѣливается пулею не разтрескиваясь, хотя оно всегда разбивается въ куски отъ меньшаго давленія; нить, къ которой привязанъ камень можетъ поднимать оный, когда будемъ тянуть ее медленно, но разрывается при скоромъ натягиваніи оной; порохъ, положенный въ отверстіе, сдѣланное въ каменной скалѣ, и покрытый не много пескомъ, бывъ зазженъ, разрываетъ скалу, и такъ далѣе.

О прямомъ центральномъ ударѣ неупругихъ тѣлъ

314. Когда двѣ неупругія массы $M$ и $m$, ударятся по направленію прямому и центральному со скоростями $C$ и $c$; то $MC$ будетъ количество движенія для первой массы, а $mc$ количество движенія для второй. Когда $P$ есть сила сообщающая массѣ $M$ скорость $C$, и $p$ сила сообщающая скорость $c$ массѣ $m$; то $MC$ будетъ мѣрою силы $P$, $mc$ мѣрою силы $p$; и потому все равно, будетъ ли масса $M$ дѣйствовать на $m$ со скоростію С, или сила $P$ непосредственно дѣйствовать на $m$. Итакъ когда $M$ и $m$ будутъ двигаться на встрѣчу, и $MC=mc$, то послѣ удара обѣ массы останутся въ покоѣ. Когда же $MC>mc$, то отъ силъ $MC$ и $mc$ останется послѣ удара сила $MC-mc$, которая будетъ побуждать массу $M+m$ въ сторону движенія массы $M$. Пусть $x$ будетъ скорость сего движенія; то

$MC-mc=(M+m)x$, или $x={\frac {MC-mc}{M+m}}$.

Когда обѣ массы будутъ двигаться въ одну сторону, то ударяющая масса $M$ должна сообщать скорость ударяемой массѣ $m$, терня сама часть своей скорости до тѣхъ поръ, пока обѣ массы станутъ двигаться съ одинакою скоростію. Назовемъ сію послѣднюю скорость $x$; то $MC+mc$ есть мѣра равнодѣйствующей силы до удара, а $(M+m)x$ послѣ удара, такъ что $M(C-x)$ означитъ потерю движущей силы въ массѣ $M$, и $m(x-c)$ приращеніе оной въ массѣ $m$, и

$M(C-x)=m(x-c)$ или $x={\frac {MC+mc}{M+m}}$,

(i.)

и для $c=0$ былобы

$x={\frac {MC}{M+m}}$.

Всѣ три случая содержагася въ формулѣ

$x={\frac {MC+mc}{M+m}}$,

гдѣ $c$ должно брать положительнымъ или отрицательнымъ, смотря по тому, идетъ ли она съ $C$ въ одну или въ протйвную сторону, т. е. будутъ ли обѣ массы до удара двигаться по одному или по противоположнымъ направленіямъ.

О прямомъ центральномъ ударѣ упругихъ тѣлъ

315. Изъ законовъ удара неупругихъ массъ легко можно вывесть законы удара упругихъ тѣлъ; надобно только вмѣстѣ принимать въ разсмотрѣніе вліяніе упругости. Чтобы понять свойство сего вліянія, то довольно разсмотрѣть, что происходитъ, когда упругое тѣло ударяетъ въ стѣну неупругую и неподвижную. При началѣ удара оно сжимается, такъ что діаметръ его, перпендикулярный къ встрѣчаемой стѣнѣ, дѣлается короче; сверхъ того оно претерпѣваетъ такое же измѣненіе, какъ будгао бы оно было неупругое, т. е. постепенно теряетъ свое движеніе. По мѣрѣ уменьшенія его скорости, и напоръ его на стѣну становится слабѣе, и когда скорость его совершенно истощится, то оно начинаетъ приходитъ опять въ свой первоначальный видъ, разширяясь. Присемъ оно пріобрѣтаетъ опять все потерянное прежде количество движенія, но въ противоноложную сторону, ежели оно совершенно упруго, въ противномъ случаѣ оно пріобрѣло бы только часть потеряннаго количества движенія.

Когда встрѣчаются двѣ упругія массы $M$ и $m$, (фиг. 105), то очевидно, что каждая изъ нихъ должна претерпѣть вышеописанное измѣненіе. Положимъ, что массы $M$ и $m$ имѣли до удара скорости $C$ и $c$, гдѣ $c$ надлежитъ принимать отрицательнымъ, когда $m$ движется въ противную сторону, или къ $M$. Положимъ, что при началѣ удара обѣ массы встрѣчаются въ $A$, и пусть $BAC$ будетъ твердая неупругая плоскость, перпендикулярная къ направленію движенія тѣлъ $M$ и $m$, къ которой нанравленъ ударъ обоихъ тѣлъ. Очевидно, что здѣсь всѣ тѣже обстоятельства, что и прежде, съ тою только разностію, что и плоскость $BAC$ должно воображать подвижною. А потому и скорость ударяющаго тѣла, при переходѣ отъ сжиманія его къ разширенію, теряется только до той степени, пока она сдѣлается равна скорости движенія плоскости $BAC$, или скорости ударяемаго тѣла^[9]; ибо въ семъ случаѣ происходитъ точно тоже, какъ будто бы ударяющая масса и плоскость $BAC$ были, относительно одна къ другой, въ покоѣ. Когда при сжиманіи тѣла, $C$ обратится въ $x$, то величина потери количества движенія массы $M$, будетъ $M(C-x)$, и количество движенія оной послѣ удара будеть $Mx-M(C-x)=MC'$, гдѣ $C'$ означаетъ скорость ея послѣ удара; и потому будетъ:

${\frac {Mx-M(C-x)}{M}}=2x-C=C'$.

(6.)

Подобнымъ образомъ находится скорость $c'$ массы $m$ послѣ удара:

$2x-c=c'$.

(7.)

Поставивъ вмѣсто $x$ его величину изъ (§ 314), получимъ

${\frac {(M-m)C+2mc}{M+m}}=C'$,

(8.)

${\frac {(M-m)c+2mC}{M+m}}=c'$.

(9.)

316. Изъ сихъ формулъ выводятся весьма важныя слѣдствія. Полагая $M=m$, находимъ $C'=c$ и $c'=C$, т. е. упругія тѣла одинаковой массы послѣ удара мѣняются скоростями, и отражаются назадъ, въ случаѣ ихъ движенія на встрѣчу одно другому. Изъ значенія $C'$ и $c'$ въ (6) и (7) видно, что $C'-c'=c-C$; т. е. что относительная скорость обоихъ тѣлъ остается одинакова до и послѣ удара ихъ, но только обращена въ противныя стороны.

Сіи же величины $C'$ и $c'$ въ (6) и (7) показываютъ, что

$M{C'}^{2}+m{c'}^{2}=4x^{2}(M+m)-4x(MC+mc)+MC^{2}+mc^{2}$

или вставивъ на мѣсто $x$ его величину,

$M{C'}^{2}+m{c'}^{2}=MC^{2}+mc^{2}$,

т. е. при ударѣ совершенно упругихъ тѣлъ, сумма живыхъ силъ ихъ остается одинакова до и послѣ удара. — Сіе послѣднее слѣдствіе есть только частный случай особаго закона, называемаго началомъ сохраненія живыхъ силъ.

Законы удара тѣлъ почти въ одно время были открыты Валлисомъ, Гюйгенсомъ и Вреномъ.

317. Чтобы доказать на опытѣ справедливость сихъ законовъ, или лучше, чтобъ показать, сколько приближаются извѣстныя намъ тѣла кь состоянію совершенной упругости или не упругости, употребляютъ для сего особую машину, изобрѣтенную Ноллетомъ и Гравезандомъ. Машина сія состоитъ изъ нѣсколькихъ шариковъ, привѣшенныхъ къ нитямъ одинакой длины $AB$ и $CD$ (фиг. 106), такъ что они касаются между собою, и что центы ихъ $B$ и $D$ лежатъ на одинакой высотѣ. Позади ихъ находится дуга круга $EF$, раздѣленная отъ самой низшей точки ея въ обѣ стороны на градусы. Когда одинъ изъ сихъ шариковъ отведется къ $G$, и потомъ опустится, то онъ, падая по дугѣ $GB$, пріобрѣтетъ извѣстную скорость, которую можно найти (по § 284) и обозначить однажды на всегда на дугѣ раздѣлеяной на градусы.

Для опытовъ надъ твердыми неупругими тѣлами беругася шарики изъ сухой глины или мучнаго тѣста, а для опытовъ надъ упругими тѣлами берутъ шарики изъ слоновой кости или изъ дерева гваяковаго.

Когда нѣсколько упругихъ шариковъ одинакаго діаметра повѣсятся одинъ послѣ другаго, и потомъ, сколько ни есть изъ нихъ, бывъ приподняты, опустятся; то при ударѣ ихъ съ остальными шариками отскочитъ съ противной стороны столькоже изъ сихъ послѣднихъ, сколько шариковъ было приподнято. Причина сего изъяснена въ § 316.

Когда возмется рядъ шаровъ такихъ, что бы величина перваго была болѣе втораго, втораго болѣе третьяго, и т. д., и потомъ сообщится большему изъ нихъ извѣстная скорость, то второй шарикъ пріобрѣтетъ отъ сего скорость большую, третій еще большую и такъ далѣе, до самаго меньшаго, котораго скорость будетъ наибольшею.

Гюйгенсъ въ своемъ сочиненіи: De motu corporum ex percussione (op. posth. tom 2. pag. 14) приводитъ слѣдующій примѣръ; когда повѣшены будутъ одинъ послѣ другаго 100 шариковъ, коихъ массы растутъ въ прогрессіи 1, 2, 4, 8, ... и большему изъ нихъ сообщится скорость равная единицѣ, то скорость самаго меньшаго шарика изобразится числомъ 2338500000000.

О косвенномъ ударѣ

318. При косвенномъ ударѣ всегда можно почитать направленіе движимаго тѣда разложеннымъ на два, изъ коихъ одно производитъ прямый ударъ, а другое вовсе никакого дѣйствія не производитъ. И такъ принимая въ разсмотрѣніе одно только первое направленіе, опредѣливъ въ немъ скорость и направленіе движенія послѣ удара, остается только сіе сложить съ другимъ нанравленіемъ; тогда и найдется истинное направленіе движенія и скорость онаго послѣ удара. Пусть напр. неупругая масса движется по направленію $AB$ (фиг. 107) къ неподвижной плоскости $CD$, и пусть $BE$ выражаетъ скорость движенія. Разлагая $BE$ на $BF$ параллельно $CD$, и на $BG$ къ ней перпендикулярно, увидимъ, что послѣдняя уничтожается противодѣйствіемъ плоскости, и что тѣло послѣ удара будетъ двигаться вдоль по $CB$ со скоростію $FB$. Если тѣло будетъ упругое, то во мгновеніе сжатія онаго $BC$ уничтожится; но во мгновеніе возстановленія фигуры его, оно произведетъ скорость въ противную сторону; сія скорость, при совершенной упругости тѣла, будетъ совершенно равна $BG$; въ противномъ же случаѣ будетъ меньше оной. Полагая въ первомъ случаѣ $HB=BG$, увидимъ, что тѣло послѣ удара пойдетъ по діагонали $BI$ параллелограмма $BHIF$; и легко можно доказать, что $\angle ABC=\angle IBD$. Еслибы ударъ былъ направленъ на криволинѣйную поверхность $KBL$, то произошло бы точно тоже, что и прежде, ежели $CD$ означаетъ плоскость касательную къ $KBL$ въ точкѣ удара $B$.

Пусть двѣ массы $M$ и $m$ (фиг. 108), изъ коихъ одна движется по направленію $Mx$, а другая по $my$, при началѣ удара имѣютъ относительное положеніе такое, какъ показано въ фигурѣ; и пусть $MA$ и $mB$ представдяютъ скорости ихъ до удара; то чрезь центры массъ $M$ и $m$ проведемъ прямую линію $CD$, и разложимъ $MA$ на $DA$ периендикулярно къ $MD$, и на $MD$ параллельно оной; а $mB$ на таковыя же $mC$ и $CB$. Тогда замѣтимъ, что $mC$ и $MD$ производятъ прямой ударъ, на который $CB$ и $DA$ не имѣютъ ни какого вліянія. Когда $M$ отъ удара пріобрѣтетъ скорость $ME$, то сложимъ оную съ $EF$, гдѣ $EF$ равно и параллельно съ $DF$; тогда $MF$ означитъ направленіе массы $M$ послѣ удара. Подобнымъ же образомъ найдется направленіе массы $m$.

Объ эксцентрическомъ ударѣ

319. Эксценптрическій ударъ производитъ, кромѣ, поступательнаго движенія подобно ценіпральному удару, еще вращательное движеніе около оси, проходящей чрезъ центръ массы ударяемаго тѣла, и перпендикулярной къ плоскости, которая проходитъ чрезъ оный центръ массы, и чрезъ направленіе удара. Чтобы въ семъ увѣриться, представимъ себѣ, что ударяемое тѣло разсѣчено плоскостію, проходящею чрезъ центръ массы его $G$ (фиг. 109) и чрезъ направленіе $Ax$ силы $P=CB$ производящей ударъ. Проведемъ $CG$ перпендикулярно къ $AB$, продолжимъ оное до $D$, такъ чтобы было $CG=GD$; приложижъ къ $D$ двѣ силы равныя и прямо противоположныя $DE$ и $DF$, изъ коихъ каждая есть ${\tfrac {P}{2}}$, и дѣйствующія параллельно съ $P$. Отъ сего не произойдетъ ни какой перемѣны. Теперь разложимъ еще силу $P$ на двѣ $CH$ и $HB$, дѣйствующія въ одну сторону, равныя по величинѣ, каждая $={\tfrac {P}{2}}$. Тогда будемъ имѣть 4 силы, изъ коихъ $HB$ и $DF$ производятъ равнодѣйствующую $=HB+DF=P$, проходящую чрезъ точку $G$, отъ которой раждается поступательное движеніе; между тѣмъ какъ $CH$ и $DE$ производятъ вращеніе около точки $G$. При семъ движеніи, точки тѣла, лежащія въ плоскости вращающихъ силъ, остаются всегда въ оной плоскости; а потому вращеніе будетъ происходить около оси перпендикулярной къ оной плоскости.

О препятствіяхъ въ движеніи

320. Опыты показываютъ, что часто движущія силы не производятъ движенія или отъ постороннихъ препятствій, или же отъ того, что движенія, ими производимыя, ослабляются препятствіями больше или меньше. Таковыя препятствія суть:

1. треніе,
2. препятствіе отъ средины, т. е. той жидкости, въ которой нроизходитъ движеніе,
3. жесткость веревокъ.

О треніи

321. Всякое тѣло, сколько бы оно гладко полировано ни было, имѣетъ всегда на поверхности своей неровности. Когда два таковыхъ тѣла будутъ положены одно на другое, то отъ давленія (вѣса) верхняго тѣла, возвышенія его входятъ въ углубленія другаго тѣла, такъ, чтобы верхнее тѣло могло двигатьса, надобно ему сломить, или стереть сіи неровности, или же быть приподняту надъ оными. Само собою разумѣется, что для сего потребна особая сила. Сила сія можетъ быть употреблена двоякимъ образомъ; или она непосредственно дѣйствуетъ въ томъ мѣстѣ, гдѣ произходитъ треніе, или же она помощью машинъ (рычага), захватываетъ тѣ части въ коихъ треніе происходитъ. Въ первомъ случаѣ сила, содержащая треніе въ равновѣсіи, измѣряетъ совершенное треніе; во второмъ же случаѣ она измѣряетъ относительное треніе.

322. Куломбъ въ особенности производилъ весьма точные и поучительные опыты касательно тренія. Для сего онъ употребляль приборъ, еще до него придуманный для сей же цѣли Мушенбрёкомъ, только гораздо совершеннѣе устроенный, называемый трибометромъ (тромѣръ). Онъ сотоитъ (фиг. 110) изъ толстаго горизонтальнаго стола, на которомъ по длинѣ его утверждены два бруска, на одномъ концѣ держащіе блокъ, а на другомъ вороть. На упомянутые два бруска кладется доска сколько возможно гладкая, такъ чтобъ верхняя сторона ея была совершенно горизонтальна. На доску же налагался волокъ (влачимое тѣло), съ обѣихъ сторонъ по длинѣ своей имѣвшій крючки, изъ коихъ къ одному привязывался снурокъ, переходящій чрезъ блокъ, и поддерживающій вѣсовую чашку, въ которую полагались гири, потребныя для приведенія въ движеніе волока по доскѣ; а къ другому другой снурокъ, помощію котораго можно было подвигать волокъ назадъ посредствомъ упомянутаго выше ворота.

Чтобы произвести опыты для всевозможно различныхъ случаевъ тренія, Куломбъ бралъ доски изъ различныхъ тѣлъ, и въ особенности деревянныя и металлическія, по которымъ двигались волоки также изъ разныхъ веществъ устроенные; заставляя сіи тѣла, или оба изъ одного и того же, или изъ разныхъ веществъ, двигаться одно по другому, увеличивая грузъ волока, измѣняя число точекъ прикосновенія, разсматривая движеніе по гладкой поверхности, или покрытой слоемъ жира, опредѣляя между ими треніе или тотчасъ послѣ прикосновенія ихъ, или давая разные времена имъ находиться въ прикосновеніи, при началѣ и во время движенія измѣняя различно скорость сего послѣдняго. При каждомъ опытѣ онъ замѣчалъ величину тренія, т. е. отношеніе давленія къ силѣ, при котором тѣло начинало двигаться. Куломбъ такъ же производилъ опыты надъ треніемъ въ обоймицахъ, подражая и въ семъ случаѣ Мушенбрёку въ выборѣ прибора. Именно онъ бралъ для сего блокъ, концы оси коего были хорошо округлены, и заставлялъ его оборачиваться въ обоймицахъ, сдѣланныхъ изъ различныхъ веществъ, замѣчая каждый разъ величину тренія.

323. Многіе предшественники Куломбъ, какъ то Амонтонъ, Бильфингенъ, употребляли наклонную плоскость, давая ей различные углы возвышенія. Испытуемое тѣло они полагали на сію плоскость, и увеличивали уголъ наклоненія оной дотолѣ, пока тѣло начинало по ней двигаться. Назвавъ сей уголъ чрезъ $\alpha$, величину тренія чрезъ $m$ и вѣсъ тѣла чрезъ $P$, имѣли они $P.\sin .\alpha =m.P.\cos .\alpha$, или

$m={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan .\alpha$;

т. е. опредѣляли величину $m$ посредствомъ тангенса угла наклоненія, при которомъ тѣло начинало двигаться.

324. Опыты сіи показали, что:

1. Величина тренія, при всѣхъ прочихъ одинакихъ обстоятельствахъ, пропорциональна давленію, находится ли тѣло въ покоѣ, или движется съ какою либо скоростію.
2. Она увеличиваегася со временемъ прикосновенія, но такъ, что послѣ извѣстнаго времени достигаетъ до наибольшей величины. Въ прикосновеніи металловъ съ металлами сіе происходитъ почти мгновенно; въ прикосновеніи дерева съ деревомъ чрезъ нѣсколько минутъ; а въ прикосновеніи дерева съ металломъ чрезъ нѣсколько дней.
3. Треніе бываетъ тѣмъ больше, чѣмъ шероховатѣе трущіяся поверхности; но оно также можетъ увеличиваться и отъ излишней полировки. При средственной гладкости поверхностей, отношеніе тренія къ давленію $={\tfrac {1}{3}}$.
4. Величина трущейся поверхности не имѣетъ ощутительнаго вліянія на треніе, хотя при большой поверхности число точекъ прикосновенія больше, но зато придавливаются онѣ меньшею силою.
5. Треніе бываетъ больше при переходѣ отъ покоя къ движенію, нежели во время движенія.
6. Посредственная скорость двйженія не имѣетъ примѣтнаго вліянія на треніе, когда металлы или дерева движугася одно по другому безъ подмазыванія; но въ разнородныхъ тѣлахъ, какъ напр. при движеніи дерева по металлу, треніе увеличивается почти въ прогрессіи геометрической, когда скоростъ движенія возрастаетъ въ прогрессіи ариѳметической.
7. Однородныя тѣла имѣютъ треніе больше, нежели разнородныя; но и между треніемъ сихъ послѣднихъ находится большая разность. Такъ на пр. треніе стали наименьше обнаруживается при движеніи оной по цинку; при движеніи по мѣди оно становится болѣе, по свинцу еще болѣе, и дѣдается самымъ большимъ по олову.
8. Въ цилиндрическихъ и круглыхъ тѣлахъ треніе бываетъ меньше, нежели въ плоскихъ, и можеть, быть еще уменьшено, когда онѣ не будутъ придавливаемы.
9. Треніе дерева по дереву бываетъ меньше, когда волокна ихъ пересѣкаются, нежели когда онѣ идутъ параллельно однѣ другимъ.
10. Треніе деревъ увеличивается отъ влажности, а у металловъ отъ теплоты.
11. Треніе уменьшается чрезъ смазываніе, производимое надлежащимъ образомъ, и часто повторяемое. Для разныхъ тѣлъ выгоднѣе употреблять разныя смазки.

325. Изъ сихъ законовъ можно извлечь также средства, которыя должно употреблять для уменьшенія тренія.

Для сего съ пользою могутъ служить полировка поверхностей, уменьшеніе вѣса движущагося тѣла, сколько то другія обстоятельства дозволяютъ; употребленіе разнородныхъ тѣлъ, избираемыхъ для тренія; превращеніе скользящаго тренія въ катящееся, и надлежащее употребленіе смазыванія. На семъ основано употребленіе цилиндровъ, катковъ, Горнетовыхъ колесъ, и такъ далѣе.

Сколько треніе представляетъ неудобства, столько же оно и выгодно въ разныхъ случаяхъ. Посредствомъ тренія могутъ тѣла твердо стоять на наклонной плоскости, можно гвоздями сколачивать тѣла, свинчиватъ ихъ вмѣстѣ, уменьшать быстрыя движенія, какъ то бываетъ на пр. при обыкновенной привязкѣ кораблей безъ помощи якоря, при опусканіи въ погреба тяжелыхъ бочекъ, и проч.

О препятствіи срединъ

326. Всѣ движенія почти совершаются въ воздухѣ или въ водѣ. И потому вездѣ встрѣчается прерятствіе отъ воздуха иди отъ воды, состоящее въ томъ, что движущееся тѣло должно вытѣснять часть жидкости изъ мѣста, ею занимаемаго; отъ сего чамть движущей его силы какъ будто бы совершенно уничитожается, и его можно считать движущимся какъ бы въ пустотѣ, съ остающеюся въ немъ частію силы. Величайшіе Математики^[10] занимались вычисленіемъ сего препятствія. Они предполагаютъ дла сего, что нѣтъ и не будетъ никакой разности въ томъ, будетъ ли тѣло твердое двигаться внутри жидкости, или оно будетъ находиться въ покоѣ, и выдерживать напоръ отъ жидкости, на него съ тою же скоростію ударяющей.

Отсюда слѣдуетъ, что препятствіе средины можетъ быть почитаемо равнымъ вѣсу столба той жидкости, коего основаніемъ есть передняя поверхность движущагося тѣла, а высотою, высота паденія, соотвѣтствующею скорости движенія его.

Согласно съ симъ, препятствіе отъ средины зависитъ:

1. отъ плотности ея,
2. отъ величины и вида передней поверхности движущагося тѣла,
3. отъ квадрата его скорости.

Впрочемъ наблюденія согласуются съ сими законами только при среднихъ скоростяхъ, а при большихъ и очень малыхъ скоросшяхъ онѣ весьма много отъ нихъ разнятся.

327. Препятствіе средины при всемъ своемъ неудобствѣ , представляетъ однако же и нѣкоторыя выгоды. Безъ него летаніе птицъ, дѣйствіе веселъ, и искусство плаванія были бы невозможны; равно какъ и распусканіе зонтиковъ при паденіи съ высоты было бы безнолезно.

О жесткости веревокъ

328. Необходимость часто заставляетъ обвивать веревки около валовъ и блоковъ. Но для сего надобно употребить извѣстную силу, по причинѣ противодѣйствія, происходящаго отъ жесткости веревокъ. Пусть (фиг. 111) $BDA$ будетъ валъ, около коего обогнута веревка $BDA$; $P$ и $Q$ вѣсы, привязанные къ концамъ веревки; и пусть валъ обращается отъ $B$ къ $D$, переводя но окружности своей обогнутую веревку $BDA$. Поелику веревка несовершенно гибка, то часть оной $PB$ при навиваніи отдалится отъ вертикальнаго направленія $BP$ВР, и придетъ въ положеніе $BP'$; ежели теперь $P'E$ проведется вертикально чрезъ центръ тяжести вѣса $P'$, то очевидно, что $Q$ должно быть больше нежели $P$, ибо разстояніе $P'$ отъ оси вращенія $C$ есть $CE$; и разстояніе $Q$ отъ той же оси есть $AC$. И сила $Q-P'$ будетъ величиною жесткости веревки. Собственно говоря и $AQ$ также должно выходить изъ вертикальнаго направленія, ибо веревка въ А должна распрямляться, чего не можетъ въ точности произойти по причинѣ несовершенной ея гибкосши; но сіе отклоненіе оной столь мало, что можно оное пренебречь и принимапть $AQ$ за вертикальную линію.

329. Если въ семъ предположеніи будемъ вычислять жесткость веревокъ, и сличать выводы съ опытами, произведенными многими физиками, и въ особенности Амонтономъ и Куломбомъ, то увидимъ, что ее можно выразить формулою ${\tfrac {285,98R}{D^{2}Q}}$, гдѣ $D$ есть толщина веревки, $Q$ грузъ ее обременяющій, или напряженіе оной, и $R$ радіусъ вала или блока, около коего она обвивается.

О вліяніи сихъ препятствій на вышеразсмотрѣнныя движенія

330. Упомянутыя теперь противодѣйствующія силы <являются> причиною того, что движенія тѣль на самомъ дѣлѣ часто весьма значительно разнятся отъ законовъ, выше для нихъ найденныхъ. Когда въ какой либо машинѣ находится равновѣсіе между силою и сопротивленіемъ, то, судя по теоріи, отъ малѣйшаго увеличенія силы должно произойти къ оной движеніе. Но сего на самомъ дѣлѣ не бываетъ, по причинѣ выше исчисленныхъ препятствій. И движеніе послѣдуетъ тогда только, когда сила будетъ увеличена такъ, чтобы по отнятіи отъ ней части ея, потребной для уравновѣшенія сопротивленія и всѣхъ препятствій, все еще оставалась часть оной. Хотя сія часть силы, называемая перевѣсомъ, дѣйствуетъ непрерывно, однако же машина не получаетъ равномѣрно ускореннаго движенія, но вскорѣ послѣ начаіа движенія ея, припимаетъ равномѣрный ходъ. Причиною сего очевидно то, что съ увеличеніемъ скорости движенія и препятствія увеличиваются.

331. Когда какая либо сила подѣйствуетъ на тѣло мгновенно, то оно не будетъ двигаться равномѣрно и постоанно, но придеть послѣ нѣкотораго времени въ покой, причемъ скорость постепенно теряется.

332. Свободное паденіе тяжелыхъ тѣлъ также не есть движеніе равномѣрно-ускоренное, но приближается къ таковому болѣе и боліе въ какой бы то ни было срединѣ, имѣющей постоянную плотность, никогда не доетигая онаго. Въ срединахъ, коихъ ппотность возрастаетъ, какъ на прим. въ воздухѣ, сіе движеніе можетъ сдѣлаться равномѣрнымъ и даже укосненнымъ, какъ то можно видѣть надъ паденіемъ кусковъ бумаги или перьевъ. На семъ основано дѣйствіе парашютовъ. Препятствію же воздуха должно и то приписывать, что не всѣ тѣла достигают земли съ одинаковой высоты равно скоро; плотнѣйшее тѣло удобнѣе можетъ преодолѣвать оное препятствіе, нежеле тѣло легчайшее; ибо оно при одномъ и томъ же объемѣ, слѣдовательно и для одного и того же препятствія средины, имѣетъ больше движущей силы.

332. Движеніе тяжелаго тѣла по наклонной плоскости должно очевидно еще значительнѣе разниться отъ равномѣрно ускореннаго двіжены; ибо кромѣ препятствія средины еще дѣйствуетъ треніе.

333. Маятникъ, который безъ препятствій движенію могъ бы представлять настоящее вѣчно движимое тѣло (perpertuum mobile), теряетъ сіе свойство свое отъ оныхъ. Именно оть препятствія воздуха и отъ тренія около оси, происходитъ то, что онъ (фиг. 92), нисходя отъ точки $C$, не возходитъ опять до $H$, а тѣмъ меньше возвращаетса опять къ $C$. Такимъ образомъ онъ описываетъ дуги всё меньше и меньше, пока наконецъ совершенно остановится. Впрочемъ, при надлежащемъ устроеніи, все еще движенія его можно продолжить на нѣсколько часовъ.

334. Такъ же наблюденія показываютъ, что кривыя линіи, описываемыя брошеннымъ тѣломъ, имѣютъ видъ совсѣмъ различный отъ тѣхъ, какія выводятся по теоріи. Но здѣсь весьма затруднительно принять надлежащимъ образомъ въ вычисленіе всѣ препятствія, какъ на прим. треніе при выстрѣлѣ пулею, или ядромъ о стѣны орудія, и препятствіе воздуха. Однако же легко убѣдиться, что нисходящая вѣтвь сей линіи должна быть больше изогнута, нежели восходящая вѣтвь оной; что высота и дальность полета должны быть меньше вычисляемыхъ; и только развѣ при весьма тяжелыхъ массахъ можетъ опытъ доволбно близко сходствовать съ теоріею.

Примѣчанія

1. Если вслед за ЭСБЕ принять, что 1 метр составляет 3,280892 рус. футов, то для ускорения свободного падения на экваторе здесь предлагеается значение 9.77966 м/с², против принятых ныне 9.78033 м/с². В тексте не приведено значение для среднего ускорения, вычислив его из ускорения на экваторе, и приняв за широту Петербурга 59° 57' 00", получим что ускорение в Петербурге составляет 32.22281 фут/с² против указанных в тексте 32.2154 фут/с².
2. Для установления отмеченного в тексте равенства скоростей вполне достаточно одного закона сохранения энергии. Принцип же наименьшего действия, предложенный в 1744 г. Мопертюи в несколько неопределенной форме, получил строгую формулировку в «Аналитической механике» Лагранжа (Динамика, отдел первый, § 17) именно благодаря соединению его с принципом живых сил (законом сохранения энергии).
3. В оригинале в формулах этого § всюду упущена длина маятника $l$, здесь восстановленная.
4. $t$ — пол периода колебания маятника — выражается формулой

   $t=2{\sqrt {\frac {l}{g}}}\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)$,

   откуда, разлагая в ряд Тейлора по $k=\sin {\frac {\alpha }{2}}$, получим (см. Двайт, 773.1):

   $t=2{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {1^{2}}{2^{2}}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\dots \right)=\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}(1+{\frac {\alpha ^{2}}{16}}+\dots )$.

5. Согласно § 278 в Петербурге $g=32,2154$ русск. фут. и следовательно $l=3.2641$ русск. фут.
6. Из сравнения с современными данными видно, что имеются ввиду париж. футы. Кито — 2818 м = 8670 пар. футов над уровнем моря, пик Guagua вулкана Пичинча — 4 784 м = 14720 пар. футов.
7. По таблицам ЭСБЕ 990,879644 миллиметра = 39.01171438 росс. дюймов.
8. Точнее говоря, отношение скоростей равно отношению этих отрезков.
9. Далее считается очевидным, что эта скорость отлична от $c$ и в точности совпадает с той, с которой обе массы двигались бы как единое целое при неупругом ударе.
10. Здесь излагается теория сопротивления среды, принадлежащая Ньютону; о ней см. ЭСБЕ/Сопротивление среды.