Физика (1831 г.)/ДО/Теория тяготения

Теорія тяготѣнія —
Физика 1831 г. изд. Часть 1, отдѣленіе 2, глава 1, фрагментъ 2

См. Оглавленіе и таблицы. Опубл.: 1831. Источникъ: Физика. Часть 1. § 118—126. Санктпетербургъ, въ типографіи департамента народнаго просвѣщенія, 1831.

Теорія тяготѣнія

Всеобщій законъ притяженія

118. Явленія тяготѣнія столь часто встрѣчаются въ природѣ, что даже самые древніе Естествоиспытатели старались уже изъяснить оныя. Но сколь мало они въ томъ успѣли, можно судить о семъ только въ наше время, когда руководясь наблюденіями и вычисленіями успѣли открыть законы тяготѣнія съ такою точностію, больше которой почти желать нечего. Всѣ сіи законы указываютъ, что каждая матеріальная частичка притягивается другою съ силою, которая увеличивается съ увеличиваніемъ массы притягивающей частицы и съ уменьшеніемъ квадрата разстоянія, но вовсе не зависитъ отъ различія матеріи. Пусть $P$ означаетъ силу массы $M$ на разстояніи $D$, а $p$ силу массы $m$ на разстояніи $d$, то имѣемъ:

$P:p={\frac {M}{D^{2}}}:{\frac {m}{d^{2}}}.$

Когда $m=1$, $d=1$, то $p$ будетъ означать величину силы, обнаруживаемой массою взятою за единицу, на разстояніи взятомъ также за единицу, и будетъ $P=p{\tfrac {M}{D^{2}}}$.

Приложеніе сего закона къ землѣ и къ тѣламъ на ней находящимся

119. Примѣняя законъ сей къ землѣ, легко понять, что изъ притяженій, обнаруживаемыхъ каждою частичкою ея на какое либо тѣло, должна произойти равнодѣйствующая, коея направленіе должно проходить чрезъ притягиваемое тѣло и чрезъ землю. Направленіе сіе должно означаться свободно падающимъ тѣломъ. Вычисленіемъ въ точности можно опредѣлить въ каждомъ тѣлѣ извѣстной фигуры, направленіе оной равнодѣйствующей, и центръ всѣхъ притяженій, ежели только онъ существуетъ. Подвергая вычисленію притягательную силу земли, съ какою сія дѣйствуетъ, бывъ почитаема за шаръ, на какую либо точку внѣ ея находящуюся, открывается, что центръ всѣхъ притягательныхъ силъ ея сливается съ центромъ фигуры ея; такъ что всѣ дѣйствія притяженія обнаруживаются точно такъ, какъ будто бы вся масса земли была соединена въ центрѣ ея.

Продолженіе тогоже

120. Хотя въ самой вещи не только тѣла земныя притягиваются землею, но и сами они притягиваютъ къ себѣ землю, и потому явленіе земной тяжести есть собственно слѣдствіе взаимнаго такого дѣйствія; но по причинѣ малозначительности величины движимыхъ частей на поверхности земной, въ сравненіи съ массою цѣлой земли, можно безъ затрудненія прилагать вышеупомянутый законъ и къ тяжести земныхъ тѣлъ. Въ самомъ дѣлѣ, множайшими опытами подтверждается, что:

1. Взаимное притяженіе вовсе неощутительно, и что тѣла на поверхности земной находящіяся можно почитать только землею притягиваемыми, безъ малѣйшаго противодѣйствія ихъ на оную.
2. Вертикальныя направленія на небольшихъ разстояніяхъ, а тѣмъ паче для разныхъ частей одного и того же тѣла, можно считать параллельными; и потому предполагать, что какое ни есть тяжелое тѣло земное побуждается какъ будто параллельными силами, направленными къ центру земли.
3. Что для каждой частицы одного и того же тѣла должно принимать дѣйствіе оной силы совершенно одинаковымъ; собственно говоря, каждая частица тѣла находится на различномъ разстояніи отъ центра земли, и потому должна имѣть разную тяжесть; но сіе различіе исчезаетъ въ массахъ, небольшое протяженіе имѣющихъ. Сіе заключеніе годно и для частей разныхъ тѣлъ, ежели только онѣ не очень удалены одна отъ другой. Когда же тѣла разсматриваются на большихъ разстояніяхъ или очень большія, то ближайшія тѣла къ экватору и верхнія части ихъ будутъ меньше тяготѣть, нежели тѣла больше удаленныя отъ экватора (къ полюсамъ) и нижнія части оныхъ.

Приложеніе всеобщаго закона притяженія къ центру тяжести

121. Согласно съ вышеприведенными разсужденіями, въ каждомъ тѣлѣ долженъ находиться центръ всѣхъ силъ притяженія, который и называется центромъ тяжести. Въ немъ можно представлять себѣ соединеннымъ весь вѣсъ тѣла. Въ тѣлахъ одинаковой плотности (однородныхъ) центръ тяжести сливается съ центромъ фигуры ихъ; въ тѣлахъ же различной плотности (разнородныхъ) лежитъ оный ближе къ плотнѣйшимъ частямъ. Въ иныхъ тѣлахъ, какъ на пр. въ кольцахъ, лежитъ онъ внѣ массы ихъ.

Частные пріемы опредѣлять центръ тяжести

122. Хотя находятся общіе способы опредѣлять вычисленіемъ центръ тяжести въ каждомъ тѣлѣ, но для сего требуется знаніе интегральнаго исчисленія. Впрочемъ употребляютъ для сего и частные пріемы. Для примѣра, разсмотримъ треугольникъ и трехстороннюю пирамиду.

Центръ тяжести треугольника есть собственно центръ тяжести всѣхъ матеріальныхъ тяжелыхъ точекъ, въ немъ содержащихся. Но каждая точка находится на прямой линіи, параллельной одному изъ боковъ треугольника; и центръ тяжести ряда точекъ, составляющихъ линію, будетъ находиться въ срединѣ оной линіи. Съ другой стороны всѣ средины линій, проведенныхъ въ треугольникѣ параллельно одному изъ боковъ его, находятся также на прямой линіи. А потому, когда въ $\triangle ABC$, фиг. 22, проведемъ $AD$ и $BE$ такъ , чтобъ было $BD=DC$ и $AE=EC$; то центръ тяжести треугольника долженъ находиться вдругъ и на $AD$ и на $BE$, а слѣдовательно въ точкѣ пересѣченія ихъ $F$.

Для точнѣйшаго опредѣленія сей точки, проведемъ $EB$, то изъ подобія треугольниковъ $AFB$ и $EFD$, и треугольниковъ $ECD$ и $ACB$ имѣемъ:

$AF:FD=AB:ED$

$AB:ED=AC:EC=2:1$;

слѣд. $AF:FD=2:1$, или $AF:AD=2:3$, т. е. $AF={\tfrac {2}{3}}AD$.

Такимъ же образомъ находится центръ тяжести трехсторонней пирамиды. Именно чрезъ каждую точку оной можно воображать себѣ плоскость, параллельную одной изъ граней ея, и которая пресѣкается пирамидою по треугольнику. Центръ тяжести каждаго такого треугольника опредѣлится по предъидущему, и центры тяжести всѣхъ треугольниковъ будутъ лежать на одной прямой линіи. А потому когда возмется въ пирамидѣ $AE=EC$ и $FB={\tfrac {2}{3}}EB$, фиг. 23, то центръ тяжести оной будетъ лежать на линіи $DF$. Такъ же докажется, что оный центръ тяжести лежитъ и на линіи $BG$, когда взято будетъ $DG={\tfrac {2}{3}}DE$; и слѣдовательно онъ находится въ пересѣченіи $H$ тѣхъ линій.

Проведя линію $GF$, получимъ $\triangle GHF\thicksim \triangle DHB$ и $\triangle EGF\thicksim \triangle EDB$.

$DF:HF=DB:GF$

$DB:DF=DE:EG=3:1$

слѣд.

$DH:HF=3:1$ и $DH:DF=3:4$, или $DH={\tfrac {3}{4}}DF$.

Практическое опредѣленіе центра тяжести

123. Когда тѣло будетъ свободно привѣшено къ гибкой нити, то очевидно, что центръ тяжести его будетъ лежать на продолженномъ направленіи сей нити. А потому привѣшивая оное тѣло въ двухъ разныхъ точкахъ, не прямо противоположныхъ, къ такой нити, и означая на поверхности его линію направленія сей нити, заключимъ, что центръ тяжести его будетъ находиться на пресѣченіи продолженныхъ двухъ направленій оной нити.

Удерживаніе тѣлъ отъ паденія, чрезъ подпираніе центра тяжести ихъ

124. Когда частицы тѣла такъ между собою соединены, что связь ихъ не разрушается вѣсомъ ихъ, какъ то бываетъ по большей части въ тѣлахъ твердыхъ, то довольно подпереть только центръ тяжести тѣла, чтобъ воспрепятствовать паденію всего тѣла. Основываясь на семъ, построены наклонныя башни въ Пизахъ и Болоніи, и изъясняются балансированіе, удерживаніе тѣла нашего въ извѣстномъ положеніи въ хожденіи, сидѣніи, вставаніи, ношеніи тяжестей, кувырканье китайскихъ скачковъ, катящіяся лампы, и т. д.

Подпирать же центръ тяжести можно двоякимъ образомъ, или подвѣшивая его, или установляя его на подставкѣ.

Объ устойчивости тѣлъ

125. Когда тяжелое тѣло въ извѣстномъ положеніи своемъ приведется въ состояніе покоя на горизонтальной плоскости, то всегда существуетъ для него одно или нѣсколько такихъ положеній,въ коихъ оно можетъ удерживать свое состояніе покоя, хотя бы отъ дѣйствія извѣстныхъ силъ и выводилось оно изъ своего опредѣленнаго положенія. Величина таковой силы, которая потребна для произведенія въ тѣлѣ измѣненія его положенія въ иное, въ которомъ бы оно и оставалось, называется устойчивостію онаго тѣла. Чтобы опредѣлить сію силу, возмемъ въ разсмотрѣніе тѣло $ABCD$, фиг. 24, покоющееся на горизонтальной плоскости $EF$, и коего центръ тяжести въ $G$. Пусть вѣсъ онаго будетъ $P$, и сила стремящаяся обращать его около ребра его $D$, пусть будетъ $Q$, которой направленіе, изображаемое чрезъ $HG$, пусть будетъ горизонтальное. Изъ точки $D$ опустимъ перпендикуляръ $DJ$ на продолженіе линіи $HG$, а изъ точки $G$ перпендикуляръ $GK$; то моменты силъ въ отношеніи къ точкѣ $D$, ребра, будутъ $P.DK$, и $Q.DJ=Q.KG$. Очевидно, что тѣло сіе не опрокинется, хотя и будемъ наклонять его даже до тѣхъ поръ, пока равнодѣйствующая силамъ $P$ и $Q$ будетъ проходить чрезъ одну изъ точекъ ребра $D$, а потому для самаго большаго наклоненія его должно быть $P.DK=Q.KG$ или $Q=P.{\tfrac {DK}{GK}}$, т. е. устойчивость тѣла будетъ тѣмъ больше, чѣмъ больше будетъ вѣсъ онаго, чѣмъ ниже лежитъ центръ тяжести онаго, и чѣмъ далѣе онъ отъ ребра, около котораго будемъ обращать тѣло.

Шаткое и устойчивое равновѣсіе

126. Когда тѣло, имѣющее кривую поверхность, напр. яйцо, будетъ положено на горизонтальную подпору, то оно можетъ имѣть только два равновѣсныя положенія, въ которыхъ центръ тяжести занимаетъ или самое высокое, или самое низкое мѣсто изъ всѣхъ мѣстъ, въ которыя онъ можетъ приходить при малѣйшемъ выведеніи тѣла изъ равновѣснаго положенія; ибо только въ сихъ случаяхъ центръ тяжести будетъ находиться на одной вертикальной линіи съ точкою, на которую опирается тѣло. — Но какъ центръ тяжести стремится занять самое низкое мѣсто, то въ первомъ случаѣ равновѣсіе тѣла будетъ опасное (шаткое), т. е. оно можетъ быть нарушено отъ малѣйшаго выведенія тѣла изъ его положенія, и тѣло опрокинется; во второмъ же случаѣ, равновѣсіе тѣла будетъ безопасное (устойчивое), т. е., при весьма небольшихъ выведеніяхъ тѣла изъ его положенія, оно будетъ стремиться опять придти въ прежнее равновѣсное положеніе.

Тѣло, привѣшенное къ нити, находится всегда въ состояніи устойчиваго равновѣсія; ибо оно только тогда пребываетъ въ покоѣ, когда центръ тяжести его будетъ находиться на продолженіи отвѣсной линіи, т. е. будетъ занимать самое низкое мѣсто.

Подробнѣе о устойчивости смотри Механику Баумгартнера. Вѣна 1823, стран. 28—30.^[1]

Примѣчанія

1. Baumgartner, Andreas von: Mechanik in ihrer Anwendung auf Künste und Gewerbe, Wien 1824.