Физика (1831 г.)/ДО/О равновесии на машинах

О равновѣсіи на машинахъ —
Физика 1831 г. изд. Часть 1, отдѣленіе 2, глава 1, фрагментъ 3

См. Оглавленіе и таблицы. Опубл.: 1831. Источникъ: Физика. Часть 1. § 127—146. Санктпетербургъ, въ типографіи департамента народнаго просвѣщенія, 1831.

О равновѣсіи на машинахъ

Понятіе о машинахъ

127. Машиною называется всякое орудіе, посредствомъ котораго дѣйствуетъ сила на какую либо точку, внѣ направленія ея взятую. Обыкновенно съ машиною соединено измѣненіе въ величинѣ дѣйствія силъ.

Во всякой машинѣ разсматривается сила, производящая или стремящаяся произвести движеніе, и сопротивленіе или то, что движется или приводится въ движеніе. Машина называется простою, когда она не имѣетъ составныхъ частей, которыя бы сами дѣйствовали какъ машины; въ противномъ случаѣ называется она сложною.

Перечисленіе простыхъ машинъ

128. Простыя машины суть: рычагъ, воротъ, блокъ, наклонная плоскость, щурупъ, или винтъ и клинъ; иные причисляютъ сюда же веревочную машину.

О Рычагѣ

Понятіе о рычагахъ разныхъ родовъ

129. Рычагомъ называется не гибкій шестъ или линія $ACB$ (фиг. 25 a и b), обращающійся около точки $C$ (точки подпоры), на концы котораго дѣйствуютъ сила $P$ и сопротивленіе $Q$. Части его $AC$ и $BC$ называются плечами. Рычагъ не имѣющій тяжести (вѣса) называется математическимъ рычагомъ, а тяжелый рычагъ называется физическимъ. Онъ бываетъ прямолинейный или угловатый, смотря потому, находятся ли точки его $A$, $C$, $B$ на одной прямой линіи, или нѣтъ; также двуплечій, когда точка опоры его лежитъ между точками приложенія силы и сопротивленія, или внѣ оныхъ.

Условія равновѣсія въ двуплечемъ рычагѣ

130. Пусть будетъ $AB$ рычагъ математическій прямолинейный или угловатый; то въ случаѣ равновѣсія на немъ, сила $P$ къ сопротивленію $Q$ состоитъ въ обратномъ отношеніи перпендикуляровъ $CD$ и $CE$, опущенныхъ изъ точки опоры на направленія силъ; или моменты силы и сопротивленія въ отношеніи къ точкѣ опоры будутъ между собою равны: ибо при таковомъ только отношеніи силъ, равнодѣйствующая силамъ $P$ и $Q$ пройдетъ чрезъ точку $C$ подпоры, (117) и движенія не произойдетъ.

Положеніе сіе справедливо и въ обратномъ смыслѣ; т. е. когда рычагъ $AB$ находится въ равновѣсіи, то предъидущая пропорція должна имѣть мѣсто. Ибо равновѣсіе можетъ существовать тогда только, когда равнодѣйствующая силамъ $P$ и $Q$ пройдетъ чрезъ точку опоры, а для сего надобно, чтобъ было:

$P.CD=Q.CE$ или $P:Q=CE:CD$.

Когда силы $P$ и $Q$ дѣйствуютъ на прямолинейный рычагъ въ направленіяхъ параллельныхъ, то въ случаѣ равновѣсія, онѣ относятся между собою обратно какъ плеча рычага.

Замѣненіе двуплечнаго рычага одноплечнымъ

131. Двуплечій, неравноплечій рычагъ $ACB$ (фиг. 26), не теряя равновѣсія своего, превратится удобно въ одноплечій рычагъ, когда на линіи $AC$ отложимъ часть $CE=CB$, и сопротивленіе $Q$ перенесемъ изъ $B$ въ $E$, гдѣ оно должно теперь дѣйствовать по направленію $EF$, параллельному съ предъидущимъ, но въ противную сторону. Ибо воображая себѣ въ точкахъ $B$ и $E$ приложенными двѣ силы $q=Q$ и $q'=Q$ по направленіямъ $BK$ и $EF$ параллельнымъ силѣ $Q$, но въ противную сторону дѣйствующія, мы симъ равновѣсія не нарушимъ; но силы $Q$ и $q$ уничтожаются взаимно, а потому остающіяся силы $P$ и $q'$ должны быть въ равновѣсіи.

Въ случаѣ равновѣсія силы $P$ и сопротивленія $Q$ на двуплечемъ рычагѣ, должно быть $P:Q=CH:CG$, ежели $CH$ и $CG$ перпендикулярны къ $AD$ и $BK$. Продолжая $CH$ до $EF$, линіи сіи пересѣкутся также подъ прямымъ угломъ, и какъ $CH=CJ$, $Q=q'$, то предъидущая пропорція покажетъ, что $P:q'=CJ:CG$, т. е. что вышеупомянутый законъ равновѣсія въ двуплечемъ рычагѣ и здѣсь остается неизмѣннымъ.

Приведеніе физическаго рычага въ математическій

132. Всякій физическій рычагъ можетъ быть приведенъ къ математическому, когда примемъ, что весь вѣсъ его сосредоточивается въ его центрѣ тяжести, и чрезъ то рычагъ разсматривается неимѣющимъ тяжести. Въ случаѣ равновѣсія надлежитъ придавать моментъ сего вѣса, взятый въ отношеніи къ точкѣ опоры, къ моменту силы, когда центръ тяжести рычага лежитъ въ той сторонѣ, гдѣ сила, и сила дѣйствуетъ внизъ, или когда оный центръ тяжести лежитъ въ той сторонѣ, гдѣ сопротивленіе, и сіе сопротивленіе дѣйствуетъ снизу вверхъ; въ другихъ же случаяхъ моментъ вѣса рычага должно придавать къ моменту сопротивленія.

О Вѣсахъ

<Обыкновенные вѣсы>

133. Рычагъ, уже по обширному своему употребленію, въ общежитіи, разныхъ ремеслахъ и художествахъ, какъ то въ видѣ ломовъ, лопатъ, клещей, ножницъ, подъемовъ, молотковъ, веселъ, и т. п. есть весьма полезное орудіе; но для Физики онъ въ особенности полезенъ еще потому, что служитъ основаніемъ въ устроеніи вѣсовъ. Вѣсы дѣлаются въ двухъ видахъ: или въ видѣ обыкновенныхъ вѣсовъ, или въ видѣ безмѣновъ. Въ Физикѣ преимущественно употребляются вѣсы обыкновенные.

Обыкновенные вѣсы (фиг. 27), какъ извѣстно, состоятъ изъ коромысла, обоймицы, оси, стрѣлки, и изъ чашекъ, привѣшиваемыхъ къ коромыслу. Вѣсы служатъ къ взвѣшиванію двухъ равныхъ грузовъ произвольно тяжелыхъ, когда оные положатся на обѣ чашки. Для сего потребно, чтобы оба плеча коромысла, по виду и вѣсу своему, были совершенно равны между собою. Ибо ежели означимъ чрезъ $P$ грузъ полагаемый на чашку, чрезъ $A$ и $B$ моменты плечь коромысла, чрезъ $a$ и $b$ длины оныхъ плечь, то сообразно съ назначеніемъ вѣсовъ должно быть:

$A+Pa=B+Pb$ или $A-B=P(b-a)$;

и чтобы сіе уравненіе имѣло мѣсто для всякой величины $P$, очевидно требуется, чтобъ было $A=B$ и $b=a$.

Невозможность устроенія точныхъ вѣсовъ, и средство пособлять недостатку ихъ

134. Въ отдѣлкѣ вѣсовъ сихъ условій почти совершенно нельзя въ точности выполнить въ строгомъ смыслѣ, и самые лучшіе вѣсы все еще невѣрны. Но погрѣшность въ нихъ можетъ быть доведена до такой малости, что въ большей части случаевъ она неощутительна. Притомъ намъ извѣстенъ такой способъ взвѣшиванія, посредствомъ котораго можно въ точности опредѣлить вѣсъ тѣла даже и невѣрными вѣсами, и который особливо необходимъ при тонкихъ изслѣдованіяхъ, не смотря на самые лучшіе вѣсы, при нихъ употребляемые. Сей способъ взвѣшиванія состоитъ въ томъ, что взвѣшиваемое тѣло $A$ кладется прежде на одну чашку, и уравновѣшивается постороннимъ грузомъ, полагаемымъ на другую чашку; потомъ тѣло $A$ снимается и вмѣсто него въ ту же чашку кладутся вѣсовыя гирьки $P$. Очевидно, что здѣсь должно быть $P=A$, ежели въ обоймицахъ никакого тренія оси не происходитъ. Но какъ таковое треніе всегда имѣетъ мѣсто, то чтобы уничтожить вліяніе онаго, стараются сохранить величину его неизмѣнною при обѣихъ взвѣшиваніяхъ. Для достиженія сего, уравновѣсивъ тѣло $A$ помощію посторонняго груза, коромысло въ семъ положеніи подпираютъ такъ, чтобъ оно не двигалось; тогда, снявъ тѣло $A$, кладутъ на ту же чашку вѣсовыхъ гирекъ столько, чтобъ вѣсъ ихъ равнялся почти вѣсу тѣла $A$; потомъ оставляютъ коромысло опять свободнымъ и доканчиваютъ взвѣшиваніе.

Обстоятельства служащія для удобности употребленія вѣсовъ

135. Кромѣ условій, необходимо нужныхъ для точности вѣсовъ, находятся еще другія обстоятельства касательно удобности въ употребленіи ихъ и относящіяся до чувствительности ихъ. Именно отъ малѣйшаго измѣненія грузовъ, обременяющихъ одну которую либо чашку вѣсовъ, коромысло должно выдти изъ своего положенія и опять возвращаться въ оное по возстановленіи прежнихъ грузовъ, оставляя между новымъ и прежнимъ положеніемъ своимъ уголъ тѣмъ большій, чѣмъ больше разнятся грузы, обременяющіе чашки, одинъ отъ другаго. Сіе свойство зависитъ отъ взаимнаго положенія точекъ $c$, $d$ и $h$, изъ коихъ $c$ означаетъ ось вращенія коромысла, $d$ центръ тяжести онаго, и $h$ точку пересѣченія линіи $cd$ съ линіею $ab$ соединяющею точки привѣса $a$ и $b$ чашекъ. Центръ тяжести долженъ быть всегда ниже оси вращенія, ибо въ противномъ случаѣ, равновѣсіе коромысла не было бы устойчивое. Уголъ наклоненія, походъ коромысла, при одной и той же разности грузовъ, обременяющихъ чашки, будетъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше отстоятъ точки $d$ и $c$ одна отъ другой; ибо съ симъ разстояніемъ моментъ вѣса коромысла, пособляющій сопротивленію, увеличивается.

Вѣсы отличной доброты дѣлаются въ Вѣнѣ у Г. Флоренца. Чувствительность ихъ такова, что одни изъ нихъ, бывъ обременены грузомъ въ 9 марокъ ($4{\tfrac {1}{2}}$ Вѣнскихъ фунта)^[1] могли показывать еще ${\tfrac {1}{8}}$ долю Рихтфеннига, т. е. ${\tfrac {1}{4718592}}$ долю всего груза, между тѣмъ какъ вѣсы знаменитаго Фортеня, по показанію Біота, бывъ обременены грузомъ только въ 4 фунта, могли указывать только ${\tfrac {1}{50}}$ грана, т. е. ${\tfrac {1}{1678000}}$ долю всего вѣса.^[2]

Римскіе вѣсы и строеніе ихъ

136. Римскіе вѣсы (фиг. 28) имѣютъ коромысло съ неравными плечами. Въ опредѣленной точкѣ привѣшивается къ короткому плечу взвѣшиваемое тѣло $A$; а вдоль длиннаго плеча передвигается опредѣленнаго вѣса гиря $P$ до тѣхъ поръ, пока она придетъ въ равновѣсіе съ тѣломъ $A$. Если коромысло остается въ горизонтальномъ положеніи безъ посторонняго груза, въ какомъ случаѣ такіе вѣсы называются математическими, то означивъ разстояніе тѣла отъ оси чрезъ $a$, а разстояніе отъ ней подвижной гири чрезъ $b$, очевидно будемъ имѣть $Aa=Pb$ и $A=P\times {\tfrac {b}{a}}$ и для $a=1$, $A=Pb$. Такимъ образомъ длину $a$ можно отлагать произвольное число разъ по длинѣ большаго плеча; и вѣсъ тѣла $A$ опредѣлится, чрезъ умноженіе вѣса постоянной гири $P$ на число точекъ дѣленія, между осью и мѣстомъ занимаемымъ вѣсомъ $P$. Но когда коромысло, не бывъ обременено никакимъ постороннимъ грузомъ, не можетъ находиться въ горизонтальномъ положеніи (т. е. когда вѣсы будутъ физическіе), то предъидущее уравненіе не можетъ имѣть мѣста; и тогда точки дѣленія на длинномъ плечѣ, въ которыхъ гиря $P$ можетъ находиться въ равновѣсіи съ извѣстными грузами, лучше назначать по опыту.

О Воротѣ

Условіе равновѣсія на воротѣ

137. Воротъ представленъ на фиг. 29, гдѣ $AB$ означаетъ цилиндръ или валъ, обращающійся около своей оси; $CB$ колесо, коего ось совпадаетъ съ осью цилиндра, къ которой оно перпендикулярно. Сила дѣйствуетъ на окружности колеса, а сопротивленіе на окружности вала. Вообразимъ себѣ, что сопротивленіе перенесено въ плоскость колеса, причемъ дѣйствіе силы не измѣнится, ибо валъ и колесо соединены между собою неизмѣняемымъ образомъ; тогда поперечное сѣченіе сей машины представится фигурою 30, въ которой очевидно, что машина сія приводится къ рычагу, коего точка опоры $C$ лежитъ на оси колеса, и гдѣ сила $P$ дѣйствуетъ въ $B$, а сопротивленіе $Q$ въ $A$; а потому для условія равновѣсія потребно, чтобъ

$P:Q=AC:BC$, т. е.

сила содержалась бы къ сопротивленію, какъ радіусъ вала къ радіусу колеса.

Въ общежитіи воротъ употребляется въ видѣ приступнаго колеса, коннаго ворота, шпиля, зубчатаго колеса, водянаго колеса, и т. д.

О Блокѣ

Условіе равновѣсія на блокѣ

138. Блокъ есть кружокъ, по окружности своей имѣющій желобокъ. Онъ называется неподвижнымъ, когда можетъ обращаться только около своей оси, или подвижнымъ, когда обращаясь около оси, движется вмѣстѣ съ нею. Пусть фиг. 31 преставляетъ блокъ, $AB$ означаетъ дугу круга, которая объемлется совершенно гибкою веревкою; $C$ центръ блока; $P$ и $P'$ силы, дѣйствующія по направленіямъ $AB$ и $BE$ касательнымъ къ кругу блока. Представимъ себѣ, что $AB$ и $BE$ продолжены до встрѣчи ихъ въ $F$, и перенесемъ силы $P$ и $P'$ въ сію точку $F$; отложимъ $Fa=P$, и $Fb=P'$; то построивъ параллелограмъ $Fabd$, получимъ равнодѣйствующую имъ силу $Fd$. Если блокъ неподвиженъ, то силы $P$ и $P'$ будутъ уравновѣшиваться тогда, когда продолженіе $Fd$ пройдетъ чрезъ $C$; но въ семъ случаѣ имѣемъ $P.CA=P'.CB$, т. е. $P=P'$; или въ неподвижномъ блокѣ въ случаѣ равновѣсія сила равна сопротивленію.

Если блокъ будетъ подвижной, то для равновѣсія на немъ равнодѣйствующая сила $Fd$ должна уничтожаться другою силою $Q$ ей равною и противною, которая также проходила бы чрезъ $C$. И здѣсь было бы $P:Q=Fa:Fd$, но по причинѣ взаимной перпендикулярности сторонъ, $\triangle aFd\thicksim \triangle ACB$, имѣемъ:

$Fa:Fd=AC:AB$, или $P:Q=AC:AB$.

Отношеніе сіе должно имѣть мѣсто и тогда, когда вмѣсто силы $P$ употребятся неподвижныя точки, на пр. крюкъ, который могъ бы выдерживать оную. А потому на подвижномъ блокѣ, въ случаѣ равновѣсія, сила относится къ сопротивленію, какъ радіусъ блока къ хордѣ дуги, обнимаемой веревкою.

Если силы параллельны между собою, то $P:Q=AC:2AC=1:2$.

Доколѣ $AC<AB$, или объемлемая дуга больше 60°, дотолѣ сила будетъ менѣе сопротивленія.

О Наклонной Плоскости

Понятіе о наклонной плоскости

139. Плоскость называется наклонною, когда она составляетъ съ горизонтальною плоскостію острый уголъ. На фиг. 32, $ABC$ представляетъ вертикальный разрѣзъ наклоненной плоскости, гдѣ $AC$ горизонтальная линія называется основаніемъ, $AB$ вертикальная линія высотою, и $BC$ длиною наклонной плоскости.

Условіе равновѣсія на наклонной плоскости

140. Тѣло, имѣющее центръ тяжести въ $G$, и вѣсъ $Q$, находясь на плоскости $BC$, и повинуясь дѣйствію тяжести, будетъ стремиться падать по отвѣсному направленію $GZ$. Чтобы удержать его на $BC$ силою $Q$, дѣйствующею по направленію $GD$, то равнодѣйствующая силамъ $P$ и $Q$ должна быть перпендикулярна къ $BC$. Пусть $GE$ будетъ направленіе сей равнодѣйствующей; то для равновѣсія потребно, чтобъ было $P:Q=\sin EGZ:\sin EGD$.^[3] Продолжимъ теперь линію $GD$, пока она встрѣтитъ $BA$ въ точкѣ $F$; назовемъ уголъ $BFD=b$, уголъ наклоненія $ACB=a$; то зная, что $\angle EGZ=\angle BCA$, $\angle EGD=180^{\circ }-\angle EGF$, и что посему, $\sin EGZ=\sin a$, $\sin EGD=\cos b=\sin EGF$; получимъ (а)... $P:Q=\sin a:\cos b$, т. е. сила относится къ сопротивленію, какъ синусъ угла наклоненія плоскости къ косинусу угла, составляемаго направленіемь силы съ наклонною плоскостію.

Когда $P||BC$, то $b=0$, а $P:Q=\sin a:1=AB:BC$; т. е. тогда сила относится къ сопротивленію, какъ высота наклонной плоскости къ длиннѣ ея.

Когда $P||AC$, то $b=a$, и $P:Q=\sin a:\cos a=AB:AC$; т. е. тогда сила относится къ сопротивленію, какъ высота наклонной плоскости къ основанію оной.

О Винтѣ

Происхожденіе винта

141. Чтобы составить точное понятіе о происхожденіи винта, вообразимъ прямой цилиндръ $AB$ (фиг. 33), коего ось пусть будетъ перпендикулярна къ горизонту. Пусть $abcd$ будетъ прямоугольникъ, коего основаніе $bd$ равно окружности основанія, а высота $ab$ равна высотѣ цилиндра; раздѣлимъ линію $ab$ на произвольное число частей, равныхъ между собою: $ae$, $ef$, $fg$, $gh$, $hb$; чрезъ точки дѣленія проведемъ линіи параллельныя $bd$, а именно $ee'$, $ff'$, $gg'$, $ll'$ и діагонали $ec$, $fe'$, $gf'$, $lg'$, $bl'$, то обвертывая прямоугольникъ $abcd$ около цилиндра діагоналями составится винтовая линія. Часть $ace$ составляетъ одинъ оборотъ винта, и разстояніе $ae$ между двумя оборотами будетъ шириною винта. Таковый цилиндръ называется винтовымъ, когда на поверхности его означится возвышеніемъ оная винтовая линія. Если обороты винта сдѣланы на внутренней полости цилиндра, то винтъ называется тогда гайкою.

Способъ проводить касательную линію къ точкѣ взятой на винтовой линіи

142. Вообразимъ плоскость $CD$, касающуюся къ винтовому цилиндру по линіи $mn$ (фиг. 34) параллельной линіи $ab$; то отъ разверзанія винтовой линіи на сію плоскость получится на ней рядъ прямыхъ линій, пресѣкающихъ линію $mn$ подъ тѣмъ же угломъ, подъ какимъ діагонали $ec$, $fe'$, ... встрѣчаютъ линію $ab$, и каждая изъ сихъ линій будетъ касательною къ соотвѣтствующему ей винтовому обороту. Сіе даетъ способъ провести касательную линію къ винтовой линіи въ данной на ней точкѣ $O$; для сего въ плоскости $CD$ строится прямоугольный треугольникъ $pqr$, коего высота $pq$ была бы параллельна съ $mn$ и равна разстоянію двухъ оборотовъ винта, основаніе $qr$ было бы равно окружности винтоваго цилиндра, и гипотенуза $pr$ проходила бы чрезъ точку $O$.

Условіе равновѣсія на винтѣ

143. Пусть (фиг. 35) означаетъ обороты вертикально стоящаго винта, и требуется вывести условіе равновѣсія между сопротивленіемъ $Q$, и силою $P$, горизонтально дѣйствующею на окружности цилиндра, не принимая въ разсмотрѣніе тренія, и полагая, что гайка опирается на винтъ въ одной точкѣ $a$. Сопротивленіе $Q$ дѣйствуетъ въ $a$ вертикально внизъ; — силу $P$ можно также перенести въ точку $a$; ибо моментъ оной въ отношеніи къ оси $AB$, остается тотъ же, въ какой бы точкѣ на окружности винтовой линіи она приложена ни была. А потому теперь въ точкѣ $a$ будутъ дѣйствовать двѣ силы, изъ коихъ одна должна препятствовать только скользить точкѣ $a$ вдоль винтовой линіи, или сила $P$, должна препятствовать движенію точки $a$ вдоль касательной $bc$ къ сей точкѣ, ибо при началѣ движенія, малѣйшая часть винтовой линіи сливается съ касательною. Но для сего потребно, чтобы (140) $P:Q=bd:dc$; слѣдовательно здѣсь въ случаѣ равновѣсія на винтѣ, сила должна относиться къ сопротивленію, какъ разстояніе двухъ оборотовъ винта къ окружности винтоваго цилиндра.

Когда гайка прикасается нѣсколькими точками $a$, $b$, $c$, ... къ винту, то вѣсь грузъ $Q$ разлагается на столько же равныхъ частей $q$, $q'$, $q''$, изъ коихъ часть $q$ дѣйствовать будетъ въ $a$, $q'$ въ $b$, $q''$ въ $c$, и т. д., и $q+q'+q''=Q$. Ежели означимъ чрезъ $p$ силу уравновѣшивающую грузъ $q$, чрезъ $p'$ силу уравновѣшивающую грузъ $q'$ и т. д.; то должно быть:

$p:q=bd:dc$

$p':q'=bd:dc$

$p':q'=bd:dc$

Слѣдов. $p+p'+p''\;:\;q+q'+q''=bd:dc$, или также какъ и выше $P:Q=bd:dc$.

О Клинѣ

Условія равновѣсія на клинѣ

144. Клиномъ называется трехсторонняя призма (фиг. 36), которая вколачивается своими боками $AD$ и $ED$ между двумя тѣлами, чтобъ раздвинуть ихъ. Пусть $ABC$ (фиг. 37) представляетъ вертикальный разрѣзъ клина, на бокъ котораго $AC$, дѣйствуетъ сила $P$ отвѣсно, а на бока его $AB$ и $BC$ дѣйствуетъ сопротивленіе $Q$, такъ, что одна часть его $q$ дѣйствуетъ на бокъ $AB$, а другая часть $q'$ на бокъ $BC$. Пусть $DB$ означаетъ направленіе силы $P$; — разложимъ ее на двѣ части $Dy$ и $Dz$, перпендикулярныя къ $AB$ и $BC$. Означивъ чрезъ $DE$ величину силы $P$ и построивъ на ней параллелограммъ силъ $DEFG$, получимъ двѣ силы, составляющія оную $DF$ и $DG$, и для равновѣсія должно быть $DE:DF:FE=P:q:q'$.

Но изъ $\triangle DFE\thicksim \triangle ABC$ имѣемъ $DE:DF:FE=AC:AB:CB$; слѣдовательно $P:q:q'=AC:AB:CB$.

О Веревочной Машинѣ

Условіе равновѣсія на веревочной машинѣ

145. Веревочная машина есть только примѣненіе положенія § 110 къ силамъ, дѣйствующимъ на сопротивленіе посредствомъ веревокъ. Пусть $AE$ (фиг. 38), будетъ веревка, которая въ точкѣ $A$ прикрѣплена къ подвижному грузу, дѣйствующему по направленію $EA$; а въ точкѣ $C$ прикрѣплена неподвижно, между тѣмъ какъ въ точкѣ $E$, дѣйствуетъ на нее сила $P$ по направленію $ED$, то сіе и составитъ веревочную машину. По положенію § 110 въ случаѣ равновѣсія здѣсь должно быть:

$P:Q=\sin AEC:\sin DEC$

<О сложныхъ машинахъ>

О сложныхъ машинахъ и условіи равновѣсія ихъ

146. Изъ соединенія сихъ простыхъ машинъ составляется великое множество сложныхъ машинъ, употребляемыхъ для разныхъ цѣлей въ общежитіи. Совокупленіе сихъ машинъ бываетъ двоякаго рода; или одна машина дѣйствуетъ вмѣстѣ съ другою, или посредствомъ другой. Къ первому роду сложныхъ машинъ можно отнести сложный блокъ или полиспастъ (фиг. 39). Ежели къ оному приложится сила $P$ въ $A$, а сопротивленіе $Q$ въ точкѣ $B$, то очевидно, что всѣ веревки, въ случаѣ равновѣсія силъ $P$ и $Q$, должны быть равно натянуты, и слѣдовательно для числа $n$ веревокъ (безъ послѣдней) должно быть: $P={\tfrac {Q}{n}}$.

Въ сложныхъ машинахъ втораго рода, сопротивленіе первой простой машины, на которую дѣйствуетъ непосредственно сила $P$, дѣлается силою для второй простой машины, сопротивленіе которой дѣлается силою для третьей простой машины и т. д. И такъ ежели отношеніе силы къ сопротивленію на первой, второй, третьей, и т. д. простой машинѣ послѣдовательно означится чрезъ $a:b$, $a':b'$, $a'':b''$, $a''':b'''$, ежели сопротивленіе послѣдней машины будетъ $Q$, а сопротивленіе первой, второй и третьей и т. д. послѣдовательно будетъ $x$, $x'$, $x''$, $x'''$, и т. д., то

$P:x=a:b$

$x:x'=a':b'$

$x':x''=a'':b''$

$x'':Q=a''':b'''$

Слѣдов: $P:Q=aa'a''a''':bb'b''b'''$,

т. е. сила будетъ состоятъ къ сопротивленію въ сложномъ отношеніи условій равновѣсія на каждой простой машинѣ отдѣльно.

Всѣ приведенные здѣсь законы равновѣсія суть только частные случаи одного общаго закона, называемаго началомъ скоростей стремленія, который приводится къ слѣдующему:

Когда какая либо система тѣлъ или точекъ, изъ коихъ каждая подвержена дѣйствію особой силы, находится въ равновѣсіи, и сей системѣ сообщится безконечно малое движеніе, отъ котораго каждая точка опишетъ безконечно малое пространство; то сумма произведеній изъ каждой силы на пространство, описанное точкою приложенія ея по направленію оной, должна быть равна нулю, предполагая, что пространства считаемые по противоположнымъ направленіямъ означены знакомъ $+$ и $-$.

Примѣчанія

1. 1 фунт = 32 лота, 1 марка = 16 лот. Поэтому 9 марок = 9×16:32 венских фунтов = 4,5 венских фунтов = 2,520054 кг. См. Alte Maße und Gewichte.
2. Соответствие между фунтами и гранами в разное время и в разных странах было разным.
3. Направление равнодействующей $GE$ должна быть перпендикулярна $BC$, и в силу § 116 моменты сил относительно точки $E$ должны быть равны, что и выражает выписанное равенство.