Физика (1831 г.)/ДО/О сложении и разложении сил

О сложеніи и разложеніи силъ —
Физика 1831 г. изд. Часть 1, отдѣленіе 2, глава 1, фрагментъ 1

См. Оглавленіе и таблицы. Опубл.: 1831. Источникъ: Физика. Часть 1. § 100—117. Санктпетербургъ, въ типографіи департамента народнаго просвѣщенія, 1831.

О сложеніи и разложеніи силъ

Что надлежитъ принимать въ разсмотрѣніе въ каждой силѣ

100. Въ каждой силѣ должно принимать въ разсмотрѣніе: 1, точку приложенія оной, или ту точку, на которую она непосредственно дѣйствуетъ; 2, направленіе, и 3, величину ея.

Точка приложенія, равно какъ и всякая точка, опредѣляется посредствомъ трехъ разстояній оной отъ трехъ взаимно перпендикулярныхъ плоскостей $xoy$, $zox$, $yox$ (фиг. 6). Примѣрно, когда бы точка $B$ была удалена отъ плоскости $zoy$ на $Ba$, отъ плоскости $xoy$ на $Bb$, и отъ плоскости $xoz$ на $Bc$, то положеніе оной въ пространствѣ опредѣлялось бы посредствомъ линій $Ba$, $Bb$ и $Bc$.

Направленіе, т. е. линія, по которой сила заставляетъ тѣло двигаться, опредѣляется посредствомъ трехъ угловъ, составляемыхъ онымъ съ тремя сѣченіями $ox$, $oy$, $oz$, упомянутыхъ перпендикулярныхъ между собою плоскостей $xoy$, $xoz$, $zoy$. Такъ на пр. направленіе $oB$ опредѣляется тремя углами $Box$, $Boy$, $Boz$.

Сравненіе силъ по ихъ статической величинѣ

101. Чтобы уразумѣть, какимъ образомъ величина силъ, сущность коихъ намъ вовсе не извѣстна, опредѣляется, должно составить себѣ прежде ясное понятіе о томъ, что разумѣютъ подъ названіемъ равныхъ силъ, двойной силы, и $n$ кратной силы.

Равными называются такія силы, которыя, дѣйствуя на одну и ту же точку по противоположнымъ направленіямъ, или вдоль негибкой прямой линіи, производятъ равновѣсіе. Воображая теперь, что 2, 3, или $n$ равныхъ сихъ дѣйствуютъ но одному и тому же направленію, будемъ имѣть понятіе о двойной, тройной и $n$ кратной силѣ. Въ семъ смыслѣ всякія силы, какъ величины измѣряемыя, могутъ быть выражаемы числами или линіями; а въ отношеніи къ направленію ихъ, когда онѣ дѣйствуютъ противоположно, могутъ быть оныя означаемы знаками + и −. Чтобы выразить силы числами, принимаютъ одну произвольную силу за единицу, въ которой единицѣ уже выражаютъ всѣ другія силы, числами такими, которыя бы показывали отношеніе между единицею силы и каждою другою силою. Чтобы выразить силы линіями, берутъ опять произвольной величины линію, которою означаютъ одну какую либо силу, взятую за единицу, и посредствомъ сей линіи для каждой иной силы берутъ другую прямую линію, состоящую въ такомъ отношеніи къ линіи, взятой за единицу, въ каковомъ находятся силы, ими изображаемыя. И такъ двѣ силы, состоящія между собою въ отношеніи чиселъ $m:n$, могутъ быть изображены двумя линіями, взятыми по длинѣ также въ отношеніи $m:n$. Линіи сіи будутъ показывать вмѣстѣ и направленіе силъ.

102. Когда на точку дѣйствуютъ нѣсколько силъ, не уничтожающихся взаимно, то всегда можно представлять себѣ одну силу, которая могла бы замѣнять всѣ данныя силы, поелику въ семъ случаѣ движущая точка слѣдуетъ всегда по одному направленію, какъ будто бы повинуясь дѣйствію одной силы. Таковая сила называется равнодѣйствующею (vis resultans). Подобнымъ образомъ каждую силу можно представлять себѣ происходящею отъ сложенія нѣсколькихъ силъ. Нахожденіе равнодѣйствующей силы для нѣсколькихъ силъ называется сложеніемъ силъ, а замѣненіе одной силы нѣсколькими называется разложеніемъ силъ.

Равнодѣйствующая сила дѣйствующимъ на точку по одному, или по противоположнымъ направленіямъ

103. Когда нѣсколько силъ дѣйствуютъ на точку по одному и тому же направленію, то равнодѣйствующая имъ равна суммѣ ихъ, и направленіе оной сливается съ направленіемъ каждой отдѣльно силы. Когда на точку дѣйствуютъ двѣ силы по направленіямъ противоположнымъ, то равнодѣйствующая имъ равна разности ихъ, и направленіе ея сливается съ направленіемъ большей изъ двухъ силъ. Положенія сіи слѣдуютъ изъ самаго понятія о силѣ.

Двѣ силы дѣйствующія на точку подъ угломъ не могутъ быть въ равновѣсіи

104. Когда двѣ силы $P$ и $P'$ дѣйствуютъ надъ угломъ, то равновѣсіе не можетъ имѣть мѣста. Ибо ежели точка $A$ будетъ точкою приложенія ихъ, фиг. 7, $AB$ направленіе силы $P$ и $AC$ направленіе силы $P'$, и положимъ что сіи силы уравновѣшиваются; то продолживъ $AB$ до $D$, и введя по направленію $AD$ новую силу $P''$, противоположную силѣ $P$, должны бы были заключить, что сила $P''$ есть равнодѣйствующая всѣмъ тремъ силамъ, каковы бы ни были ихъ величины; полагая потомъ $P-P''$, получили бы вмѣсто трехъ силъ одну равнодѣйствующую $AC$, что вовсе было бы противно положенію. А потому данныя двѣ силы должны непремѣнно имѣть равнодѣйствующую, направленіе которой очевидно будетъ падать между $AB$ и $AC$.

Равнодѣйствующая двумъ равнымъ силамъ раздѣляетъ уголъ между ними пополамъ

105. Когда двѣ равныя силы дѣйствуютъ подъ угломъ $BAC$ (фигур. 8), то равнодѣйствующая ихъ $AB$ раздѣлитъ уголъ $BAC$ между ними пополамъ; ибо нѣтъ никакой причины, почему бы она приближалась больше къ одной силѣ, нежели къ другой.

Равнодѣйствующая двумъ неравнымъ силамъ лежитъ ближе къ большей изъ двухъ силъ

106. Когда двѣ силы $P$ и $P'$ не равны между собою (фиг. 9), направленія ихъ пусть будутъ $AB$ и $AC$, и $P>P'$, то равнодѣйствующая имъ $AD$ будетъ лежать ближе къ большей силѣ $P$, нежели къ $P'$, или будетъ $\angle DAB<\angle DAP$.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть $P=P'+p$; то можно себѣ представить, что въ направленіи $AB$ дѣйствуютъ двѣ силы $P'$ и $p$, приложенныя къ одной и той же точкѣ и въ одну сторону; и ежели направленіе равнодѣйствующей между первою изъ сихъ силъ и силою дѣйствующею по $AC$, есть $AE$; то равнодѣйствующая силамъ $p$ и прежде найденной упадетъ между $AB$ и $AE$ (§ 104), т. е. по направленію $AD$, и какъ $\angle BAE=\angle CAE$ (§ 105), то $\angle DAB<\angle DAC$.

Точка приложенія силы можетъ быть взята гдѣ угодно на направленіи оной силы

107. Когда сила $P$, коей направленіе означается линіею $AE$, фиг. 10, приложена къ точкѣ $A$, то можно перенести сію точку приложенія во всякую иную точку $D$, взятую на томъ же направленіи и соединенную съ точкою $A$ неизмѣняемымъ образомъ. Ибо отъ введенія новыхъ двухъ силъ $P'$ и $P''$, равныхъ между собою, и прямо противоположныхъ къ точкѣ $D$, дѣйствіе силы $P$ будетъ то же, что и дѣйствіе всѣхъ трехъ силъ. Но когда сверхъ того положится $P=P'=P''$, то силы $P$ и $P'$ взаимно уничтожаются <см. § 103>, и остается только одна сила $P''$.

Но совсѣмъ иное произошлобы, когда бы точка приложенія была взята гдѣ нибудь внѣ направленія силы $AE$, на пр. въ $C$: ибо ежели бы сила $P$ производила одно и то же дѣйствіе и въ $C$ и въ $D$, и въ $E$, то надлежало бы произойти равновѣсіе, когда бы оная сила $P$ стала дѣйствовать въ точкѣ $A$ или $D$ по одному направленію, а въ точкѣ $C$ по противоположному направленію. Но въ семъ случаѣ произошло бы на самомъ дѣлѣ вращательное движеніе. А потому точку приложенія силы нельзя брать внѣ направленія оной силы, и обратно, о такой точкѣ, которая можетъ быть принята за точку приложенія какой либо силы, можно утвердительно говорить, что она находится на направленіи той силы.

Направленіе равнодѣйствующей двумъ силамъ опредѣляется діагональю параллелограмма тѣхъ силъ

108. Направленіе равнодѣйствующей силы двумъ силамъ, приложеннымъ къ точкѣ $A$, фиг. 11, по линіямъ $Ax$ и $Ay$, опредѣляется діагональю $AB$ параллелограмма $ACBD$, коего бока $AC$ и $AD$ взяты въ отношеніи тѣхъ силъ $P$ и $P'$. Почему сей параллелограмъ называется параллелограммомъ силъ. Доказательство сего предложенія, въ первый разъ въ нижеслѣдующемъ видѣ приведеннаго Дюшайлемъ^[1], состоитъ изъ трехъ частей, изъ коихъ первая разсматриваетъ силы равныя, вторая силы неравныя, но соизмѣримыя, а третья силы неравныя и несоизмѣримыя.

I

Пусть $Ax$ и $Ay$, фиг. 11, означаютъ направленіе силъ $P$ и $P'$, и $P=P'$, $Az$ направленіе имъ равнодѣйствующей, то $\angle xAz=\angle yAz$ (§ 105). Взявъ точку $B$ на равнодѣйствующей $Az$, и изъ ней проведя $BC||Ay$, и $BD||Ax$, получимъ параллелограммъ $ABCD$, въ коемъ $AC=AD$. А потому положеніе въ семъ случаѣ справедливо.

II

Когда двѣ силы $P$ и $P'$, дѣйствующія по направленіямъ $Ax$ и $Ay$, фиг. 12, между собою не равны, то пусть $P=p+p'$, и представимъ себѣ вмѣсто силы $P$ приложенными къ точкѣ $A$ двѣ силы $p$ и $p'$ по одному и тому же направленію. Пусть $Az$ означаетъ направленіе равнодѣйствующей силамъ $p$ и $P'$, то точку приложенія оной гдѣ угодно можно будетъ взять на направленіи ея, на пр. въ $B$. Но какъ сія равнодѣйствующая замѣняетъ двѣ силы $P'$ и $p$, то можно туже точку $B$ взять за точку приложенія силъ $P'$ и $p$. А потому, когда проведутся $Bx'||Ax$ и $By'||Ay$, то дѣйствіе силъ $P'$ и $p$ будетъ одинаково, будутъ ли онѣ приложены къ точкѣ $A$ по направленіямъ $Ax$ и $Ay$ или къ точкѣ $B$ по линіямъ $Bx'$ и $By'$. Продолжимъ $By'$ до $C$, и перенесемъ точку приложенія силы $P'$ въ $C$, равнымъ образомъ приложимъ и силу $p'$ въ $C$ же. Когда означимъ опять чрезъ $Cz''$ направленіе равнодѣйствующей силамъ $P'$ и $p'$; то можно будетъ перенести точку приложенія оной туда, гдѣ сіе направленіе встрѣтитъ линію $Bx'$, и потому опять по предидущему принять точку $D$ за точку приложенія двухъ силъ $P'$ и $p'$; но какъ въ сію же точку $D$ можно перенести и силу $p$, то точка $D$ будетъ общею точкою приложенія силъ $P'$, $p$ и $p'$ или силъ $P$ и $P'$, или имъ равно дѣйствующей. А потому точка $D$ должна лежать на направленіи равнодѣйствующей силамъ $P$ и $P'$, и оное направленіе будетъ $AD$. Но проводя $ED||Ay$ и продолжа $Bx'$ до $F$, получимъ параллелограммъ $AEFD$, коего діагональ есть $AD$.

Теперь надобно еще доказать, что бока $AE$ и $AF$ состоятъ въ отношеніи силъ $P$ и $P'$. Для сего положимъ: $P'=1$, $p'=1$, $p=1$, потомъ $P'=1$, $p'=1$, $p=2$, потомъ $P'=1$, $p'=1$, $p=1$, и т. д. до $P'=1$, $p'=1$ и $p=n$. И въ каждомъ предположеніи опредѣлимъ отношеніе $AE:AF$.

Въ первомъ случаѣ имѣемъ:

$P:P'=2:1$, $AE=2AF$, или $AE:AF=2:1$

(a.)

Во 2мъ случаѣ, предполагая пропорцію (a) справедливою, имѣемъ:

$P:P'=3:1$ и $AE:AF=3:1$

(b.)

Въ третьемъ случаѣ, основываясь на пропорціи (b) будетъ:

$P:P'=4:1$ и $AE:AF=4:1$,

или вообще для $P:P'=n:1$ будетъ $AE:AF=n:1$, т. е. и $P:P'=AE:AF$.

Какъ сіе доказательство было выведено въ предположеніи, что одна сила есть кратною другой, то будетъ также для $P':P=n:1$ справедлива и пропорція $AF:AE=n:1$; или $AF:AE=P':P$ вообще.

Теперь полагая <$P'=np$ и> опять въ (1) $p'=p$, во (2) $p'=2p$, въ (3) $p'=3p$ и вообще $p'=mp$ получаемъ: Для (1) $P':P=n:2$, $AF:AE=n:2$. Потомъ для (2) $P':P=n:3$, $AF:AE=n:3$. Потомъ для (3) $P':P=n:4$, $AF:AE=n:4$ и потомъ вообще для $P':P=n:m$ и будетъ также $AF:AE=n:m$; т. е. $P':P=AE:AF$.^[2]

III

Пусть будетъ $A$, фиг. 13, точка приложенія двухъ несоизмѣримыхъ силъ $P$ и $P'$, представляемыя по направленію и по величинѣ линіями $AB$ и $AC$, и пусть направленіе равнодѣйствующей имъ будетъ на пр. $AE$, различное отъ діагонали параллелограмма $ABCD$; проведемъ чрезъ точку $E$ линію $EF$ параллельную съ $CB$, вообразимъ себѣ, что линія $AB$ раздѣлена на равныя части, которыя меньше $FC$, такъ что по нанесеніи нѣсколькихъ таковыхъ частей отъ точки $A$ по $AC$, получилибъ точку дѣленія $G$, падающую между $F$ и $C$, то какъ теперь $AC$ и $AB$ будутъ силы соизмѣримыя, то равнодѣйствующая ихъ будетъ имѣть направленіе $AH$, когда проведется $GH||AB$. И здѣсь равнодѣйствующая силамъ $AB$ и $AC$ былабы ближе къ первой изъ нихъ, нежели равнодѣйствующая силамъ $AB$ и $AG$, что нелѣпо, ибо $AG<AC$; а потому равнодѣйствующая можетъ имѣть направленіе только по діагонали параллелограмма.

Величина равнодѣйствующей изображается также діагональю того параллелограмма

109. Равнодѣйствующая силамъ $P$ и $P'$ и по величинѣ своей изображается длиною діагонали параллелограмма оныхъ силъ.

Ибо пусть линіи $AB$ и $AC$, фиг. 14, означаютъ силы $P$ и $P'$, $AD$ направленіе, а $R$ величину имъ равнодѣйствующей; пусть $AE$ будетъ по величинѣ и по направленію означать $R'$ нѣкоторую силу равную и прямо противоположную силѣ $R$, то очевидно, что между тремя силами $P$, $P'$ и $R'$ должно быть равновѣсіе. Но построивъ параллелограммъ $AEFC$ на линіяхъ $AE$ и $AC$, увидимъ, что $AF$ будетъ направленіе равнодѣйствующей силамъ $AE$ и $AC$, которую назовемъ чрезъ $S$, и между силами $P$ и $S$ должно быть также равновѣсіе, т. е. $FB$ должна быть прямая линія (§ 104) и $S=AB$. А потому имѣемъ $\angle EAF=\angle BAD$: но и $\angle FEA=\angle ADB$ и $EF=BD$, слѣдовательно $AE=AD$; и какъ $AE=R$, то и $AD=R$.

Условіе равновѣсія трехъ силъ, приложенныхъ къ одной и тойже точкѣ

110. Когда три силы $P=AB$, $P'=AC$ и $R'=AE$, находятся между собою въ равновѣсіи, то сила $R'$ должна быть равна и прямо противоположна силѣ, равнодѣйствующей ($R=AD$) другимъ двумъ силамъ, или должно быть $R=R'$; ибо въ $\triangle BAD$ имѣемъ:

$AB:BD:AD=\sin ADB:\sin BAD:\sin ABD$

или

$P:P':R'=\sin ADB:\sin BAD:\sin ABD;$

но какъ:

$\sin ADB=\sin DAC=\sin EAC,$

$\sin BAD=\sin EAB,$

$\sin ABD=\sin BAC,$

$R=R',$

то будетъ также:

$P:P':R'=\sin EAC:\sin EAB:\sin BAC.$

Равнодѣйствующая многимъ силамъ приложеннымъ къ одной и той же точкѣ

111. По изложенному теперь способу можно будетъ уже находить равнодѣйствующую нѣсколькимъ силамъ, по различнымъ направленіямъ къ одной точкѣ приложеннымъ. Ежели бы напр. къ точкѣ $A$ были приложены силы $P$, $P'$, $P''$, изображаемыя по величинѣ и направленію линіями $AB$, $AC$, $AD$; то надлежало бы провести $BF$ параллельно и равно $AC$, потомъ $FG$, равно и параллельно $AD$, и искомая равнодѣйствующая всѣмъ силамъ была бы $AG$ (фиг. 15).

Разложеніе каждой силы на произвольное число другихъ силъ

112. Поступая обратнымъ образомъ, можно всякую силу разложить на произвольное число другихъ силъ, которыхъ совокупное дѣйствіе равнялось бы оной. Для сего должно разсматривать данную силу какъ бокъ треугольника, котораго другіе два бока и будутъ двумя силами, замѣняющими оную данную силу; и поступая также съ каждою изъ найденныхъ силъ, можно будетъ увеличить число ихъ сколько угодно.

Такъ на пр.: сила $P=AB$, фиг. 16, разложится на двѣ силы $AC$ и $CB$, сила $AC$ опять на двѣ силы $AD$ и $DC$, а потому $AB$ разложится на 3 силы $AD$, $DC$, и $CB$, и т. д. (вопросъ неопредѣленный).

Сложеніе силъ приложенныхъ къ разнымъ точкамъ

113. Положеніе § 109, можетъ быть примѣнено и въ такомъ случаѣ къ сложенію силъ, когда онѣ приложены къ разнымъ точкамъ, лишьбы только точки сіи были соединены взаимно неизмѣняемымъ образомъ. Пусть $A$ и $B$, фиг. 17, будутъ точки приложенія силъ $P$ и $Q$, изображенныхъ сходящимися линіями $AC$ и $BD$. Продолжимъ линіи сіи до точки встрѣчи ихъ $E$, куда и перенесемъ точки приложенія обѣихъ силъ, отложимъ $EC'=AC$ и $ED'=BD$, и построимъ параллелограмъ $EC'FD'$; то $FE$ и будетъ равнодѣйствующая силамъ $P$ и $Q$, которой продолженіе встрѣчается съ $AB$ въ точкѣ $G$. Теперь изъ пропорціи: $EC':ED'=P:Q$ будетъ также $P:Q=\sin FED:\sin FEC$; и когда изъ точки $G$ проведутся $GH$ и $GK$ перпендикулярно къ линіямъ $AE$ и $BE$, то:

$\sin FED={\frac {GK}{GE}},\quad \sin FEC={\frac {GH}{EG}},$

и

$P:Q={\frac {GK}{GE}}:{\frac {GH}{GE}}=GK:GH.$

Сія пропорція будѣтъ справедлива и для каждой иной точки $L$, взятой на направленіи равнодѣйствующей; ибо проводя также изъ $L$ линіи $LM$ и $NL$ перпендикулярно къ $EC$ и $ED$, получимъ также $LM:LN=GH:GK$, а слѣдовательно $P:Q=LN:LM$.

Изъ сего слѣдуетъ: что величины двухъ силъ слагаемыхъ относятся между собою обратно, какъ длины перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ какой нибудь точки равнодѣйствующей, на ихъ направленія.

Сложеніе силъ параллельныхъ по одному направленію дѣйствующихъ

114. Фиг. 18. Когда двѣ силы $P$ и $Q$ параллельныя между собою, приложены къ точкамъ $A$ и $B$ прямой линіи $AB$, то не измѣняя дѣйствія ихъ, можно приложить къ тѣмъ же точкамъ $A$ и $B$ другія двѣ силы равныя и прямо противоположныя, которыхъ направленіемъ была бы линія $AB$. Пусть будутъ сіи силы $AE$ и $BF$, сложимъ силу $AE$ съ $AC$, и силу $BF$ съ $BD$, и пусть равнодѣйствующія имъ, опредѣляемыя параллелограмами $AEFC$ и $BFHD$, будутъ $AG$ и $BH$. Продолживъ направленія ихъ до встрѣчи ихъ въ точкѣ $K$, можно принять сію точку $K$ за точку приложенія силъ $AC$, $AE$, $BF$ и $BD$. Возмемъ теперь $KL=AG$ и $KM=BH$, и проведемъ $Kx||AC$, и $yKz||AB$; тогда силу $KL$ можемъ разложить опять на $KO=AE$ и $KN=AC$, равно какъ и силу $KM$ на двѣ силы $KS=BF$ и $KR=BD$. Силы $KO$ и $BS$, какъ равныя и прямо противоположныя, уничтожатся, и для равнодѣйствующей останется $KN+KR=P+Q$. А потому, равнодѣйствующая сила двумъ параллельнымъ силамъ равна суммѣ ихъ и имъ параллельна.

Чтобъ найти положеніе оной, то имѣемъ: изъ

$\triangle AGE\thicksim \triangle ATK$, $AE:EG=AT:TK$

$\triangle BHF\thicksim \triangle BTK$, $BF:FH=BT:TK$

слѣд.

$EG:FH=BT:AT$, т. е. $P:Q=BT:AT$

или равнодѣйствующая сія раздѣляетъ разстояніе, между точками приложенія силъ, на двѣ части, обратно пропорціональныя величинамъ тѣхъ силъ. Поелику точка $T$ найдена независимо отъ угла наклоненія силъ $P$ и $Q$ къ линіи $AB$; то оная должна оставаться постоянною на $AB$, какое бы положеніе параллельныя силы $P$ и $Q$ ни приняли. Потому и называется сія точка центромъ параллельныхъ силъ.

Очевидно теперь, что подобнымъ же образомъ можно будетъ находить равнодѣйствующую и многимъ параллельнымъ силамъ, или даже каждую данную силу разлагать на нѣсколько по произволу параллельныхъ и равныхъ силъ.

Сложеніе параллельныхъ силъ, коихъ направленіе противоположно

115. Когда силы $P$ и $Q$ дѣйствуютъ по направленіямъ противоположнымъ, то равнодѣйствующая имъ равна разности ихъ, но разсѣкаетъ разстояніе силъ въ такомъ же отношеніи, какъ и выше съ § 114.

Ежели на пр. (фигур. 19) $AB$ и $CD$ означаютъ направленіе силъ $P$ и $Q$; $A$ и $C$, точки приложенія ихъ, и сила $P<Q$; то можно представить себѣ, что сила $Q$ состоитъ изъ двухъ частей, изъ коихъ одна $Ab$ равна и прямо противоположна силѣ $P$; а другая $R$, которой ни величина, ни положеніе неизвѣстно, приложена къ точкѣ $E$, и изображается линіею $EF$. Поелику $Ab$ уничтожается силою $P$, то остается только $EF=R$, т. е. $R$ будетъ равнодѣйствующею, и будетъ $Q=P+R$ или $R=Q-P$. Но, по § 114, будетъ $P:R=CE:AC$, или $P:P+R=CE:CE+AE$, или $P:Q=CE:AE$. Слѣдовательно и здѣсь предъидущій законъ, касательно положенія равнодѣйствующей силы, справедливъ, и точка $E$ равнымъ образомъ независима отъ наклоненія силъ въ отношеніи къ $AC$, и будетъ также центромъ силъ параллельныхъ.

Когда $P=Q$, то равнодѣйствующая не можетъ имѣть направленія ни которой изъ сихъ силъ, или въ семъ случаѣ не имѣется равнодѣйствующей. Что выводится также изъ предъидущей формулы, ибо будетъ $P:0=CE:AC$, откуда $CE={\tfrac {P}{0}}AC=\infty$.

Равенство моментовъ силъ, когда начало моментовъ возмется на направленіи равнодѣйствующей

116. Произведеніе изъ величины силы, умноженной на длину перпендикуляра, опущеннаго изъ данной точки на направленіе оной силы, называется Моментомъ оной, въ отношеніи къ сей точкѣ. Когда точка, въ отношеніи къ коей беремъ моменты, находится на направленіи равнодѣйствующей двумъ силамъ, то моменты сихъ послѣднихъ равны между собою. Ибо для силъ не параллельныхъ между собою, фиг. 17, приложены ли онѣ къ одной или къ разнымъ точкамъ, всегда имѣетъ мѣсто пропорція, по которой

$P.GH=Q.GK$ (§ 113).

Когдаже силы сдѣлаются между собою параллельны, какъ то въ § 114, то и тогда законъ сей не измѣняется; ибо ежели $P$ и $Q$ будутъ такія двѣ силы, $A$ и $B$ точки ихъ приложенія (фиг. 20), $AC$ и $BD$ ихъ величины и $EF$ равнодѣйствующая имъ по величинѣ и направленію, пресѣкающая $AB$ въ $C$; и точка $H$ будетъ тою, въ отношеніи къ коей беремъ моменты силъ; то проведемъ изъ точки $H$ линіи $HJ$ и $HK$ перпендикулярно къ $AC$ и $BD$, и линію $HL||AB$, будетъ $P:Q=BG:AG=HM:HL$; и какъ $\triangle LHJ\thicksim \triangle KHM$; $HM:HL=HK:HJ$, слѣдовательно $P:Q=HK:HJ$ или $P.HJ=Q.HK$.

И обратное справедливо

117. Положеніе сіе справедливо и въ обратномъ смыслѣ, т. е. что такая точка, въ отношеніи къ коей моменты силъ равны между собою, лежитъ непремѣнно на направленіи равнодѣйствующей тѣмъ силамъ. Пусть будутъ $P$ и $Q$ двѣ силы (фиг. 21) приложенныя въ точкахъ $A$ и $B$ по направленіямъ $AC$ и $BD$, и пусть будетъ точка $E$ такова, что опустивъ изъ оной перпендикуляры $EF$ и $EG$ на $AC$ и $BD$, имѣлибъ $P.EF=Q.EG$ (a), и притомъ она не лежала бы на направленіи равнодѣйствующей силамъ $P$ и $Q$; то можно бы было взять на ономъ точку $H$; и тогда опустивъ перпендикуляръ $HJ$ на $BD$, имѣлибъ $P.HF=Q.HJ$ (b). Раздѣливъ уравненіе (a) на (b) получаемъ:

${\frac {EF}{HF}}={\frac {EG}{HJ}}.$

Но какъ $EF>HF$, то ${\tfrac {EF}{HF}}>1$; а предполагая $EG$ или $=$ или $<HJ$, дробь ${\tfrac {EG}{HJ}}$ есть меньше единицы, и потому предъидущее уравненіе (b) несправедливо. Слѣдовательно точка $E$ должна лежать на направленіи равнодѣйствующей.

Примѣчанія

1. Доказательство Дюшайля (фр. Duchayla) приводилось в курсах статики вплоть до начала XX века, см., напр., Loney, S. L. The elements of statics and dynamics, 1902. Его устранение из курсов статики обсуждалось в «Nature» в 1880—1890-х годах
2. В изд. 1831 г. в этом разделе допущены многочисленные опечатки в формулах при наборе строчных и прописных букв, а также при расстановке штрихов, здесь они исправлены.