Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VIII/ДО

Примѣчаніе VIII. : Образованіе спиралей и квадратриксъ при помощи винтовой поверхности. Аналогія этихъ кривыхъ съ тѣми, которыя носятъ съ ними одинаковыя наименованія въ Декартовой системѣ координатъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Образованіе спиралей и квадратриксъ при помощи винтовой поверхности. Аналогія этихъ кривыхъ съ тѣми, которыя носятъ съ ними одинаковыя наименованія въ Декартовой системѣ координатъ.

Примѣчаніе къ n° 29

Построенія спирали и квадратриксы, оставленныя намъ Паппомъ, представляютъ не болѣе, какъ простыя приложенія двухъ общихъ способовъ получать, посредствомъ двухъ поверхностей, винтовой и еще другой надлежащимъ образомъ избранной, всевозможныя спирали и безконечное множество другихъ кривыхъ, которыя я буду называть квадратриксами, потомучто онѣ выражаются въ такихъ же координатахъ, какъ и квадратрикса Динострата.

Вторая поверхность, которую при этомъ нужно употреблять, будетъ для построенія спиралей — поверхность вращенія около оси винтовой поверхности; для построенія же квадратриксъ — цилиндрическая поверхность, образующія которой перпендикулярны къ оси винта.

Наши построенія ведутъ непосредственно къ касательнымъ и къ кругамъ кривизны разсматриваемыхъ кривыхъ. Но главная выгода этихъ построеній заключается въ томъ, что они указываютъ постоянныя геометрическія соотношенія между этими кривыми и тѣми, которыя носяіъ тѣ же названія въ обыкновенной системѣ координатъ, напримѣръ, между гиперболическою спиралью и гиперболой, между логариѳмическою спиралью и логариѳмикой. Въ этой системѣ Архимедова спираль соотвѣтствуетъ прямой линіи.

До сихъ поръ между этими кривыми было замѣчено только одно сходство, именно одинаковая форма ихъ уравненій между разнородными перемѣнными; но это не указывало ни связи между ихъ построеніями, ни другихъ геометрическихъ соотношеній ихъ между собою. Способъ же, въ которомъ одни изъ нихъ служатъ для построенія другихъ, ведетъ самымъ лучшимъ образомъ къ тѣмъ свойствамъ, благодаря которымъ эти кривыя, особенно логариѳмическая спираль, сдѣлались извѣстны, и указываетъ a priori геометрическія основанія этихъ прекрасныхъ свойствъ.

Построеніе спиралей. Вообразимъ себѣ поверхность вращенія, происходящую отъ обращенія какой-нибудь кривой около неподвижной оси, взятой въ ея плоскости; пусть эта ось будетъ вертикальна; перпендикуляры, опущенные на нее изъ точекъ кривой, будутъ ординаты, а разстоянія основаній этихъ перпендикуляровъ отъ постоянной точки, взятой на оси — абсциссы.

Положимъ, что плоскость кривой вращается равномѣрно и что въ то же время время точка $M$, взятая на вращающейся кривой, движется по ней такъ, что абсциссы возрастаютъ также равномѣрно. Это значитъ, другими словами, что движеніе точки по направленію оси пропорціонально вращательному движенію. При этомъ точка $M$ опишетъ на поверхности вращенія нѣкоторую кривую двоякой кривизны.

Прямоугольное проложеніе этой кривой на плоскость, перпендикулярную къ оси вращенія, будетъ спираль, уравненіе которой мы получимъ при помощи уравненія кривой, служащей для образованія поверхности вращенія.

Пусть

$z=Fy$

будетъ уравненіе образующей кривой; разсмотримъ ее въ какомъ-нибудь опредѣленномъ положеніи; положимъ, что на ней въ $M$ находится въ этомъ положеніи движущаяся точка, абсцисса которой $z$ будетъ пропорціональна вращенію плоскости кривой отъ начала движенія; это вращеніе будетъ измѣряться угломъ, образуемымъ слѣдомъ вращающейся плоскости на плоскости горизонтальной сь неподвижною осью, обозначающею начало движенія; пусть будетъ $u$ этотъ уголъ; мы будемъ имѣть:

$z=au$, и слѣдовательно $au=Fy$.

Пусть будетъ $m$ проложеніе точки М на горизонтальную плоскость, и $O$ пересѣченіе оси вращенія съ этою плоскостію. Радіусъ $Om$, который означимъ черезъ $r$, равенъ ординатѣ $y$ точки $M$; такимъ образомъ между этимъ радіусомъ и угломъ его $u$ съ неподвижною осью, о которой мы говорили, получается соотношеніе $au=Fr$.

Это соотношеніе есть ничто иное, какъ полярное уравненіе проложенія кривой двоякой кривизны, начерченной на поверхности вращенія.

Замѣтимъ теперь, что перпендикуляръ, опущенный изъ движущейся точки $M$ на ось вращенія, образуетъ поверхность винта съ четыреугольною нарѣзкою, или, какъ ее называютъ, винтовую поверхность (héliçoïde rampante); дѣйствительно, этотъ перпендикуляръ остается постоянно горизонтальнымъ и поднимается равномѣрно надъ горизонтальною плоскостію въ то время, какъ заключающая его вертикальная плоскость вращается равномѣрно около оси.

Итакъ, кривая, образуемая точкою $M$, есть пересѣченіе поверхности вращенія съ винтовою поверхностью.

Отсюда проистекаетъ слѣдующая теорема:

1° Всякая спираль (мы называемъ спиралью всякую кривую, изображаемую уравненіемъ между полярными координатами $r$ и $u$) можетъ быть разсматриваема какъ проложеніе пересѣченія винтовой поверхности съ нѣкоторою, надлежащимъ образомъ опредѣленною, поверхностію вращенія; причемъ общей осью этимъ двумъ поверхностямъ служитъ линія, проводенная черезъ начало спирали перпендикулярно къ ея плоскости.

2°. Если

$au=Fr$

есть уравненіе спирали и въ немъ $a$ представляетъ отношеніе восходящаго движенія образующей винтовой поверхности къ вращательному движенію ея, то уравненіе поверхности вращенія будетъ

$z=Fy$,

гдѣ абсциссы $z$ считаются по направленію оси вращенія, а ординаты $y$ — перпендикулярно къ ней.

Такимъ образомъ въ случаѣ Архимедовой спирали, уравненіе которой есть $au=r$:

Уравненіе меридіана поверхности вращенія будетъ $z=y$, слѣдовательно это будетъ прямая и поверхность вращенія будетъ конусъ; въ этомъ заключается одна изъ двухъ теоремъ Паппа.

Въ случаѣ гиперболической спирали, уравненіе которой $ur={\mbox{const.}}$:

Уравненіе меридіана поверхности вращенія будетъ $zy=a{\mbox{const.}}={\mbox{const.}}$ Слѣдовательно меридіанъ есть равносторонняя гипербола, одна изъ асимптотъ которой направлена по оси винта.

Въ случаѣ логариѳмической спирали, выражаемой уравненіемъ $u=\log r$, будемъ имѣть $z=a\log y$. Это уравненіе логариѳмики, въ которой абсциссы $z$ пропорціональны логариѳмамъ ординатъ $y$. Слѣдовательно:

Если представимъ себѣ поверхность вращенія, образуемую движеніемъ обыкновенной логариѳмики около ея асимптоты, и винтовую поверхность, для которой эта асимптота служитъ осью, то въ пересѣченіи этихъ двухъ поверхностей получимъ кривую двоякой кривизны, прямоугольное проложеніе которой на плоскость, перпендикулярную къ асимптотѣ, будетъ логариѳмическая спираль.

Касательныя къ спиралямъ. Пусть $M$ будетъ точка пересѣченія винтовой поверхности съ такою поверхностію вращенія, при помощи которой получается, какъ мы уже говорили, данная спираль. Касательная въ точкѣ $m$ спирали будетъ ничто иное, какъ проложеніе линіи пересѣченія касательныхъ плоскостей къ этимъ двумъ поверхностямъ въ точкѣ $M$. Касательная плоскость къ поверхности вращенія пересѣчетъ ось вращенія въ точкѣ $O$; допустимъ, что горизонтальная плоскость, на которой начерчена спираль, проходитъ черезъ эту точку; прямая $OM$ будетъ въ такомъ случаѣ пролагаться по $Om$, т. е. по радіусу-вектору спирали.

Касательная плоскость къ поверхности вращенія встрѣтится съ горизонтальною плоскостью по прямой $Ot$, перпендикулярной къ $Om$.

Касательная плоскость къ винтовой поверхности въ точкѣ $M$ проходитъ черезъ образующую этой поверхности, параллельную радіусу-вектору $Om$; слѣдъ ея на горизонтальной плоскости будетъ слѣдовательно параллеленъ $Om$. Для нахожденія этого слѣда достаточно, поэтому, опредѣлить одну его точку. Но разсматриваемая касательная плоскость проходитъ черезъ касательную къ винтовой линіи, проведенной черезъ точку $M$ по винтовой поверхности; эта касательная линія лежитъ въ вертикальной плоскости, перпендикулярной къ радіусу-вектору $Om$. Пусть $\theta$ будетъ точка встрѣчи ея съ горизонтальною плоскостью и $\alpha$ уголъ ея съ осью винтовой поверхности. Въ треугольникѣ $Mm\theta$ уголъ при $m$ будетъ прямой и мы получимъ $m\theta =Mm.\tan \alpha$. Но изъ свойствъ винтовой поверхности извѣстно, что тригонометрическій тангенсъ угла $\alpha$ пропорціоналенъ разстоянію точки $M$ отъ оси поверхности, т. е. $\tan \alpha =Om.{\mbox{Const.}}$ Постоянное это равно отношенію круговаго къ восходящему движенію образующей винтовой поверхности, — отношенію, которое мы означили черезъ ${\tfrac {1}{a}}$; поэтому

$\tan \alpha ={\frac {Om}{a}}$, и $m\theta ={\frac {Mm.Om}{a}}$.

Прямая $m\theta$ перпендикулярна къ радіусу-вектору $Om$; слѣдъ плоскости касательной къ винтовой поверхности параллеленъ $Om$; слѣдовательно, если на линіи $Ot$, перпендикулярной къ $Om$, отложимъ часть

$Ot=m\theta ={\frac {Mm.Om}{a}}$,

то точка $t$ будетъ находиться на вышеупомянутомъ слѣдѣ. Но $Ot$ есть также слѣдъ плоскости касательной къ поверхности вращенія; поэтому точка $t$ принадлежитъ пересѣченію касательныхъ плоскостей къ обѣимъ поверхностямъ, слѣдовательно она находится на касательной къ спирали, происходящей отъ проложенія линіи пересѣченія двухъ поверхностей.

Линія $Ot$ называется, какъ извѣстно, субтангенсомъ спирали; отрѣзокъ же $On$ на продолженіи $Ot$, между точкою $O$ и нормалью къ кривой — есть субнормалъ; она равна квадрату радіуса-вектора, раздѣленному на субтангенсъ; слѣдовательно

$On={\frac {a.Om}{Mm}}$.

Чтобы воспользоваться этими формулами, замѣтимъ, что такъ какъ касательная плоскость въ $M$ къ поверхности вращенія проходитъ чрезъ точку $O$, то линія $Mm$ есть субтангенсъ кривой, образующей поверхность вращенія, считаемый по направлевію оси вращенія.

Назовемъ черезъ $S$ длину этого субтангенса; припомнивъ, что радіусъ-векторъ спирали $Om$ равенъ ординатѣ $y$ образующей поверхности вращенія, получимъ

$On={\frac {a.y}{S}}$.

Таковы выраженія субтангенса и субнормали спирали въ функціи субтангенса и ординаты образующей поверхиости вращенія.

Въ Архимедовой спирали образующая линія есть прямая; ${\tfrac {y}{S}}={\mbox{Const.}}$, слѣдовательно $On={\mbox{Const.}}$, т. е. въ Архимедовой спирали субнормаль постоянна.

Въ гиперболической спирали образующая есть равносторонняя гипербола, въ которой, какъ извѣстно, $Sy={\mbox{Const.}}$, слѣдовательно $Ot={\mbox{Const.}}$, т. е. въ гиперболической спирали субтангенсъ имѣетъ постоянную величину.

Логариѳмика имѣетъ постоянный субтангенсъ по направленію асимптоты, т. е. $S={\mbox{Const.}}$, слѣдовательно въ логариѳмической спирали будетъ

${\frac {Ot}{y}}={\mbox{Cons.}}$, или ${\frac {Ot}{Om}}={\mbox{Const.}}$

Но ${\tfrac {Ot}{Om}}$ представляетъ тангенсъ угла касательной къ спирали съ радіусомъ-векторомъ и потому этотъ уголъ будетъ постоянный, т. е. Въ логариѳмической спирали касательная дѣлаетъ постоянный уголъ съ радіусомъ векторомъ.

Такъ какъ $Ot$ пропорціональна $Om$, то ясно, что, если отложимъ на радіусѣ-векторѣ линію равную субтангенсу, то конецъ этой линіи будетъ лежать на логариѳмической спирали, подобной съ данною; если поворотимъ эту спираль на четверть окружности около центра, то всѣ ея радіусы векторы совпадутъ съ соотвѣтствующими субтангенсами данной спирали; слѣдовательно основанія касательныхъ (точки $t$) логариѳмической спирали лежатъ на другой подобной ей спирали. Но двѣ подобныя логариѳмическія спирали необходимо равны между собою, потомучто въ нихъ углы касательныхъ съ радіусами векторами одинаковы, а каждому данному углу соотвѣтствуетъ только одна спираль; такимъ образомъ мы можемъ высказать слѣдующую теорему:

Въ логариѳмической спирали основанія касательнымъ лежатъ на совершенно такой же логариѳмической спирали, только иначе расположенной.

Это же свойство принадлежитъ и основаніямъ субнормалей.

Радіусы кривизны спиралей. Разсматривая спираль, какъ сѣченіе прямаго цплиндра, ироходящаго черезъ кривую пересѣченія поверхности вращенія съ винтовою поверхностью, легко найти, при помощи теоремъ Эйлера и Менье, для каждой точки величину радіуса кривизны въ функціи радіуса кривизны меридіаннаго сѣченія поверхности вращенія. Чтобы сократить настоящее Примѣчаніе, мы опускаемъ здѣсь это построеніе, къ которому возвратимся въ другое время.

До другаго сочиненія откладываемъ также построеніе квадратриксъ, сходное съ построеніемъ спирилей.

---