Касательная въ точкѣ спирали будетъ ничто иное, какъ проложеніе линіи пересѣченія касательныхъ плоскостей къ этимъ двумъ поверхностямъ въ точкѣ . Касательная плоскость къ поверхности вращенія пересѣчетъ ось вращенія въ точкѣ ; допустимъ, что горизонтальная плоскость, на которой начерчена спираль, проходитъ черезъ эту точку; прямая будетъ въ такомъ случаѣ пролагаться по , т. е. по радіусу-вектору спирали.
Касательная плоскость къ поверхности вращенія встрѣтится съ горизонтальною плоскостью по прямой , перпендикулярной къ .
Касательная плоскость къ винтовой поверхности въ точкѣ проходитъ черезъ образующую этой поверхности, параллельную радіусу-вектору ; слѣдъ ея на горизонтальной плоскости будетъ слѣдовательно параллеленъ . Для нахожденія этого слѣда достаточно, поэтому, опредѣлить одну его точку. Но разсматриваемая касательная плоскость проходитъ черезъ касательную къ винтовой линіи, проведенной черезъ точку по винтовой поверхности; эта касательная линія лежитъ въ вертикальной плоскости, перпендикулярной къ радіусу-вектору . Пусть будетъ точка встрѣчи ея съ горизонтальною плоскостью и уголъ ея съ осью винтовой поверхности. Въ треугольникѣ уголъ при будетъ прямой и мы получимъ . Но изъ свойствъ винтовой поверхности извѣстно, что тригонометрическій тангенсъ угла пропорціоналенъ разстоянію точки отъ оси поверхности, т. е. Постоянное это равно отношенію круговаго къ восходящему движенію образующей винтовой поверхности, — отношенію, которое мы означили черезъ ; поэтому
- , и .
Прямая перпендикулярна къ радіусу-вектору ; слѣдъ плоскости касательной къ винтовой поверхности параллеленъ ; слѣдовательно, если на линіи , перпендикулярной къ , отложимъ часть
- ,
