Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/41

двумъ поверхностямъ служитъ линія, проводенная черезъ начало спирали перпендикулярно къ ея плоскости.

2°. Если

$au=Fr$

есть уравненіе спирали и въ немъ $a$ представляетъ отношеніе восходящаго движенія образующей винтовой поверхности къ вращательному движенію ея, то уравненіе поверхности вращенія будетъ

$z=Fy$,

гдѣ абсциссы $z$ считаются по направленію оси вращенія, а ординаты $y$ — перпендикулярно къ ней.

Такимъ образомъ въ случаѣ Архимедовой спирали, уравненіе которой есть $au=r$:

Уравненіе меридіана поверхности вращенія будетъ $z=y$, слѣдовательно это будетъ прямая и поверхность вращенія будетъ конусъ; въ этомъ заключается одна изъ двухъ теоремъ Паппа.

Въ случаѣ гиперболической спирали, уравненіе которой $ur={\mbox{const.}}$:

Уравненіе меридіана поверхности вращенія будетъ $zy=a{\mbox{const.}}={\mbox{const.}}$ Слѣдовательно меридіанъ есть равносторонняя гипербола, одна изъ асимптотъ которой направлена по оси винта.

Въ случаѣ логариѳмической спирали, выражаемой уравненіемъ $u=\log r$, будемъ имѣть $z=a\log y$. Это уравненіе логариѳмики, въ которой абсциссы $z$ пропорціональны логариѳмамъ ординатъ $y$. Слѣдовательно:

Если представимъ себѣ поверхность вращенія, образуемую движеніемъ обыкновенной логариѳмики около ея асимптоты, и винтовую поверхность, для которой эта асимптота служитъ осью, то въ пересѣченіи этихъ двухъ поверхностей получимъ кривую двоякой кривизны, прямоугольное проложеніе которой на плоскость, перпендикулярную къ асимптотѣ, будетъ логариѳмическая спираль.

Касательныя къ спиралямъ. Пусть $M$ будетъ точка пересѣченія винтовой поверхности съ такою поверхностію вращенія, при помощи которой получается, какъ мы уже говорили, данная спираль.