выгода этихъ построеній заключается въ томъ, что они указываютъ постоянныя геометрическія соотношенія между этими кривыми и тѣми, которыя носяіъ тѣ же названія въ обыкновенной системѣ координатъ, напримѣръ, между гиперболическою спиралью и гиперболой, между логариѳмическою спиралью и логариѳмикой. Въ этой системѣ Архимедова спираль соотвѣтствуетъ прямой линіи.
До сихъ поръ между этими кривыми было замѣчено только одно сходство, именно одинаковая форма ихъ уравненій между разнородными перемѣнными; но это не указывало ни связи между ихъ построеніями, ни другихъ геометрическихъ соотношеній ихъ между собою. Способъ же, въ которомъ одни изъ нихъ служатъ для построенія другихъ, ведетъ самымъ лучшимъ образомъ къ тѣмъ свойствамъ, благодаря которымъ эти кривыя, особенно логариѳмическая спираль, сдѣлались извѣстны, и указываетъ a priori геометрическія основанія этихъ прекрасныхъ свойствъ.
Построеніе спиралей. Вообразимъ себѣ поверхность вращенія, происходящую отъ обращенія какой-нибудь кривой около неподвижной оси, взятой въ ея плоскости; пусть эта ось будетъ вертикальна; перпендикуляры, опущенные на нее изъ точекъ кривой, будутъ ординаты, а разстоянія основаній этихъ перпендикуляровъ отъ постоянной точки, взятой на оси — абсциссы.
Положимъ, что плоскость кривой вращается равномѣрно и что въ то же время время точка , взятая на вращающейся кривой, движется по ней такъ, что абсциссы возрастаютъ также равномѣрно. Это значитъ, другими словами, что движеніе точки по направленію оси пропорціонально вращательному движенію. При этомъ точка опишетъ на поверхности вращенія нѣкоторую кривую двоякой кривизны.
Прямоугольное проложеніе этой кривой на плоскость, перпендикулярную къ оси вращенія, будетъ спираль, уравненіе которой мы получимъ при помощи уравненія кривой, служащей для образованія поверхности вращенія.
Пусть
будетъ уравненіе образующей кривой; разсмотримъ ее въ какомъ-нибудь
