Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/43

то точка $t$ будетъ находиться на вышеупомянутомъ слѣдѣ. Но $Ot$ есть также слѣдъ плоскости касательной къ поверхности вращенія; поэтому точка $t$ принадлежитъ пересѣченію касательныхъ плоскостей къ обѣимъ поверхностямъ, слѣдовательно она находится на касательной къ спирали, происходящей отъ проложенія линіи пересѣченія двухъ поверхностей.

Линія $Ot$ называется, какъ извѣстно, субтангенсомъ спирали; отрѣзокъ же $On$ на продолженіи $Ot$, между точкою $O$ и нормалью къ кривой — есть субнормалъ; она равна квадрату радіуса-вектора, раздѣленному на субтангенсъ; слѣдовательно

$On={\frac {a.Om}{Mm}}$.

Чтобы воспользоваться этими формулами, замѣтимъ, что такъ какъ касательная плоскость въ $M$ къ поверхности вращенія проходитъ чрезъ точку $O$, то линія $Mm$ есть субтангенсъ кривой, образующей поверхность вращенія, считаемый по направлевію оси вращенія.

Назовемъ черезъ $S$ длину этого субтангенса; припомнивъ, что радіусъ-векторъ спирали $Om$ равенъ ординатѣ $y$ образующей поверхности вращенія, получимъ

$On={\frac {a.y}{S}}$.

Таковы выраженія субтангенса и субнормали спирали въ функціи субтангенса и ординаты образующей поверхиости вращенія.

Въ Архимедовой спирали образующая линія есть прямая; ${\tfrac {y}{S}}={\mbox{Const.}}$, слѣдовательно $On={\mbox{Const.}}$, т. е. въ Архимедовой спирали субнормаль постоянна.

Въ гиперболической спирали образующая есть равносторонняя гипербола, въ которой, какъ извѣстно, $Sy={\mbox{Const.}}$, слѣдовательно $Ot={\mbox{Const.}}$, т. е. въ гиперболической спирали субтангенсъ имѣетъ постоянную величину.