[vii]
Предисловіe автора[1].
Сочиненіе, первый томъ котораго мы въ настоящее время выпускаемъ въ свѣтъ, не должно представлять собой учебника въ собственномъ смыслѣ слова. Читателями, которыхъ мы имѣемъ въ виду, являются, во первыхъ, учителя, которые, мы надѣемся, найдутъ въ немъ полезныя указанія для выбора учебнаго матеріала, особенно для старшихъ классовъ; во вторыхъ, лица, изучающія уже математику спеціально и серьезно, которыя желаютъ пріобрѣсти для этого твердую почву путемъ освѣженія и дополненія пріобрѣтенныхъ раньше элементарныхъ знаній.
Нерѣдко уже разбирался вопросъ, что слѣдуетъ понимать подъ элементарной математикой и какъ установить границы этой области. Единственный научный принципъ, который могъ бы служить для рѣшенія этого вопроса, состоитъ въ томъ, что изъ области элементарной математики исключаютъ понятія о безконечности и о предѣлѣ; элементарная математика противопоставляется поэтому анализу безконечнаго. Съ этой точки зрѣнія къ элементарной математикѣ надо отнести все, что получается при посредствѣ извѣстныхъ простыхъ логическихъ пріемовъ; послѣдніе же даютъ при дальнѣйшемъ развитіи всю теорію чиселъ, включая труднѣйшія ея части, вообще все, что, по мнѣнію Кронекера (Kronecker), имѣетъ въ математикѣ право на существованіе; при этомъ, однако, возникаютъ затрудненія въ самомъ примѣненіи этихъ простыхъ логическихъ пріемовъ, для устраненія чего и созданъ высшій анализъ. Уже такія понятія, какъ ирраціональное число, квадратный корень, логариѳмъ, не относились бы, если стать на эту точку зрѣнія, къ элементарной математикѣ.
Въ геометріи къ элементамъ относятъ то, что выводится изъ понятій о прямой и о кругѣ и (въ пространствѣ) изъ понятій о плоскости и о шарѣ. Но уже соединеніе геометріи въ плоскости и въ пространствѣ приводитъ къ понятію о конусѣ, а отсюда къ его сѣченіямъ плоскостью, къ такъ называемымъ коническимъ сѣченіямъ. Если же мы соединимъ геометрію съ ариѳметикой, то мы неизбежно выйдемъ за предѣлы области, определяемой для элементарной геометріи вышеприведеннымъ принципомъ; такъ, для опредѣленія понятій: площадь, длина дуги и т. п. необходимо пользоваться переходомъ къ предѣлу.
[viii]
Итакъ, мы видимъ, что такое опредѣленiе элементарной математики, хотя и представляетъ научный интересъ, т. е. можетъ служить для разъясненiя возникновенiя математическихъ понятiй, — тѣмъ не менѣе, не имѣетъ никакой цѣны съ педагогической точки зрѣнiя, если только не ограничиваться лишь самыми простѣйшими главами элементовъ.
Поэтому мы подъ элементарной математикой понимаемъ все то, что можно цѣлесообразно примѣнять при преподаванiи математики въ школѣ, но въ томъ перiодѣ его, который предшествуетъ выбору особой спецiальности. Съ такой точки зрѣнiя границы этой области зависятъ, главнымъ образомъ, отъ выбора педагога. Но и математическая наука имѣетъ право голоса при обсужденiи даннаго вопроса.
Мнѣнiя по вопросу о выборѣ матерiала для школьнаго преподаванiя всегда будутъ и должны быть различны. Эти различiя зависятъ отъ индивидуальности и научныхъ склонностей преподавателя, и, прежде всего, отъ цѣлей, къ которымъ преподаванiе стремится.
Планъ преподаванiя будетъ тотъ или иной въ зависимости отъ того, что мы будемъ считать главною задачею научнаго образованiя: всестороннее ли, гармоническое развитiе ума, пробужденiе дремлющихъ духовныхъ силъ и упражненiе ихъ, — или сообщенiе юношѣ извѣстной суммы полезныхъ свѣдѣнiй и умѣнiй, которыя какъ можно раньше сдѣлали бы его готовымъ къ трудной жизненной борьбѣ.
Послѣдняя задача заставила бы присоединить къ элементарному преподаванiю по возможности больше матерiала для того, чтобы при переходѣ къ изученiю спецiальности не было нужды останавливаться больше на подготовительной работѣ.
Очевидно, что это возможно только въ ущербъ глубинѣ и основательности; а при этомъ возникаетъ опасность, что обученiе математикѣ потеряетъ свое существенное значенiе.
Значенiе же это очень различно для различныхъ индивидуальностей. Математическая работа содержитъ въ себѣ особый элементъ творчества. И это относится не только къ творческой деятельности въ собственномъ смыслѣ этого слова, но сказывается и въ мелочахъ, проявляется при рѣшенiи задачъ или въ болѣе глубокомъ пониманiи и точномъ воспроизведенiи математическихъ идей. Эта дѣятельность ума въ состоянiи совершенно поглотить человѣка и служитъ для лицъ, одаренныхъ соотвѣтствующими способностями, источникомъ величайшихъ наслажденiй. Такое явленіе наблюдается какъ въ области абстрактныхъ представленiй, въ наукѣ о числахъ, такъ и въ области пространственныхъ представленiй геометрiи.
Поэтому я не сомневаюсь въ томъ, что для особенно успѣшнаго преподаванiя математики необходимо, чтобъ ученики обладали известнымъ специфическимъ дарованiемъ. Отсюда отнюдь не слѣдуетъ, понятно, чтобы средне одаренному ученику нельзя было преподать въ извѣстномъ
[ix]объемѣ математическихъ знанiй и свѣдѣнiй, которыя будутъ ему нужны при изученiи всякой спецiальной отрасли знанiй; это даже необходимо для логическаго воспитанiя мысли.
Но такое положенiе вещей создаетъ раздвоенiе въ математическомъ преподаванiи, а это влечетъ за собой крупныя затрудненiя. И преподаватель, стремящiйся одновременно выполнить обѣ эти задачи — цѣлесообразнаго преподаванiя выдающимся ученикамъ и среднимъ —, долженъ обладать не только основательными познанiями, но и глубокимъ математическимъ образованiемъ и пониманiемъ тонкостей и красотъ математики.
До сихъ поръ еще, послѣ почти пятидесяти лѣтъ, я вспоминаю съ благодарностью моего учителя въ Гейдельбергскомъ лицеѣ, Арнета (Arneth) и его уроки, оказавшiе на меня глубокое влiянiе. Для большинства учениковъ его преподаванiе представляло мало интереса; но тѣмъ увлекательнѣе оно было для немногихъ исключительныхъ учениковъ, которымъ было доступно его тонкое математическое чутье и пониманiе физики, опередившее господствовавшiе въ то время взгляды.
Въ тѣ времена въ южно-германскихъ гимназiяхъ математикѣ въ программѣ преподаванiя отводилось второстепенное мѣсто; и со стороны большинства учителей и учениковъ она не пользовалась уваженiемъ. Поэтому преподаватель могъ влiять лишь на небольшой кружокъ склонныхъ къ математикѣ юношей. Теперь обстоятельства измѣнились къ лучшему и въ настоящее время врядъ-ли можетъ случиться, чтобы какой-нибудь ученикъ окончилъ гимназiю безъ всякихъ математическихъ познанiй.
Это есть несомнѣнный шагъ впередъ; но онъ не долженъ покупаться цѣною пониженiя внутренняго содержанiя преподаванiя; нужно, чтобы
при новой системѣ и болѣе способный ученикъ нашелъ необходимый для себя матерiалъ. Послѣднее же достигается не тѣмъ, что лучшихъ учениковъ выводятъ возможно дальше изъ области элементарной математики въ область высшей. Для дальнѣйшаго математическаго развитiя это могло бы скорѣе служить помехою, чѣмъ помощью. Значительно болѣе плодотворнымъ является углубленiе содержанiя элементарнаго преподаванiя, въ которомъ, не выходя изъ прежнихъ границъ, можно найти неисчерпаемыя богатства матерiала; такое углубленiе дѣйствуетъ на ученика, развивая его и оживляя предметъ. При этомъ учителю должна быть дана полная свобода выбирать изъ всего многообразнаго матерiала то, что соотвѣтствуетъ его собственнымъ склонностямъ. Ибо плодотворное воздѣйствiе на ученика можетъ имѣть мѣсто только тамъ, гдѣ преподаватель относится еще съ живымъ интересомъ къ предмету.
Между прочимъ, и строгое логическое обоснованiе математики можетъ быть отнесено къ области элементовъ. Относящiеся сюда вопросы въ новѣйшее время подверглись глубокому изслѣдованiю, и мы сдѣлали значительный шагъ впередъ къ ихъ разрѣшенiю. Основанiямъ ариѳметики
[x]посвящены статьи Дедекинда (Dedekind): „Was sind und was sollen die Zahlen“[2] (Braunschweig, 1888, 1892) и „Stetigkeit und irrationale Zahlen“ (1872, 1892). Авторъ оперируетъ въ нихъ при посредствѣ простѣйшихъ прiемовъ, которыми располагаетъ всякiй здравый разсудокъ и которые не предполагаютъ никакихъ спецiальныхъ философскихъ или математическихъ свѣдѣнiй. Въ томъ же направленiи ведутся новѣйшiя изслѣдованiя по основанiямъ геометрiи; правда, они не достигли еще той законченности, какою отличаются соотвѣтствующiя изслѣдованiя по ариѳметикѣ. Но, чтобы понимать эти вопросы, необходимо располагать извѣстною зрѣлостью сужденiй, а потому съ нихъ нельзя начинать преподаванiя.
Итакъ, изложенiе этихъ принципiальныхъ вопросовъ, въ видѣ своего рода философской пропедевтики, можно рекомендовать въ послѣднемъ классѣ гимназiи, хорошо подготовленномъ. Но при этомъ необходимо соблюдать осторожность, такъ какъ полупониманiе въ этой области равносильно непониманiю, если не хуже его.
Для большинства учениковъ полезнѣе и интереснѣе, если преподаванiе будетъ расширено въ сторону приложенiй. Новыя программы испытанiй на званiе преподавателя средней школы въ Германiи даютъ къ этому толчокъ[3], и тѣмъ самымъ реальному образованiю отводится больше мѣста. Приложенiя могутъ оживить преподаванiе математики, увеличить къ ней интересъ, а точность и чистота при черченiи придаютъ этой отрасли преподаванiя немалое воспитательное значенiе.
Далѣе, извѣстныя главы теорiи чиселъ и высшей алгебры могутъ съ успѣхомъ примѣняться при элементарномъ преподаванiи. Во первыхъ, онѣ пользуются лишь элементарными математическими прiемами; а во вторыхъ, преимущество ихъ въ многочисленности примѣровъ, которыми можетъ воспользоваться учитель; рѣшенiе этихъ примѣровъ, допускающее всегда простую повѣрку, даетъ учащемуся большое удовлетворенiе. Примѣненiе этихъ главъ къ построенiю правильныхъ многоугольниковъ вызываетъ и геометрическiй интересъ.
Затѣмъ существуетъ рядъ знаменитыхъ задачъ, извѣстныхъ уже съ древнихъ временъ, какъ, напримѣръ, проблемы объ удвоенiи куба, о трисекцiи угла при посредствѣ циркуля и линейки, рѣшенiе въ радикалахъ уравненiя пятой степени, квадратура круга, — о невозможности рѣшенiя которыхъ
[xi]школьники постоянно слышатъ. Въ настоящее время наука не только располагаетъ доказательствами невозможности, но доказательствамъ этимъ она придала столь простую форму, что ими можно безъ труда воспользоваться при элементарномъ преподаванiи.
Въ теченiе самой работы матерiалъ, предназначенный для настоящаго сочиненiя, былъ увеличенъ и самый планъ былъ расширенъ. Оказалось
поэтому цѣлесообразнымъ разбить сочиненiе не на два тома, какъ это предполагалось сначала, а на три. Первый томъ долженъ охватить область ариѳметики и алгебры, второй — геометрiю, а третiй будетъ посвященъ приложенiямъ. Мы надѣемся, что второй и третiй томы появятся въ непродолжительномъ времени. Благодаря этому оказалось возможнымъ удѣлить значительно больше мѣста приложенiямъ, которыя мы имѣли въ виду и при выборѣ примѣровъ въ различныхъ частяхъ текста.
Впрочемъ, согласно плану настоящего сочиненiя, мы не разрабатывали большого числа примѣровъ. Мы не считали цѣлесообразнымъ останавливаться на примѣрахъ, имѣющихъ въ виду только упражненiя, такъ какъ въ литературѣ нѣтъ недостатка въ прекрасныхъ сборникахъ такого рода примѣровъ. Примѣры мы помѣщали лишь въ тѣхъ случаяхъ, если это казалось необходимымъ для пониманiя текста, или если примѣръ самъ по себѣ могъ представлять научный интересъ. Точно также мы не удѣляли много мѣста историческимъ и литературнымъ справкамъ. Мы имѣемъ въ настоящее время обширное сочиненiе по исторiи математики М. Кантора; въ этомъ сочиненiи мы находимъ подробныя и точныя свѣдѣнiя за огромный перiодъ отъ зарожденiя первыхъ начатковъ математики до середины XVIII столѣтiя; благодаря же тщательно составленному регистру, это сочиненiе даетъ возможность легко орiентироваться и въ отдѣльныхъ вопросахъ. Сверхъ того въ непродолжительномъ времени въ „Энциклопедiи Математическихъ наукъ“[4] имѣетъ появиться статья „Элементарная Математика“ М. Симона (М. Simon); мы имѣли возможность видѣть эту статью въ рукописи; она содержитъ подробныя историческiя и литературныя указанiя по всѣмъ вопросамъ, которые могутъ быть отнесены къ элементарной математикѣ. Намъ казалось поэтому достаточнымъ ограничиваться при каждомъ собственномъ имени, появляющемся при наименованiи того или другого предложенiя, короткой замѣткой о времени и обстоятельствахъ жизни этого автора.
[xii]
Наконецъ, мы должны указать, что настоящее сочиненiе обязано своимъ появленiемъ въ свѣтъ иницiативѣ издателя А. Акермана-Тейбнера (А. Ackermann-Teubner); онъ указалъ намъ на „Элементы Математики“ Бальцера (Baltzer), сочиненiе, которое выдержало нѣсколько изданiй и въ настоящее время уже не существуетъ въ продажѣ; на такого рода сочиненiе, очевидно, имѣется спросъ. Поэтому обработать такого рода сочиненiе согласно господствующимъ въ настоящее время въ наукѣ воззрѣнiямъ, представляетъ собой несомнѣнно благодарную задачу; я тѣмъ охотнѣе взялъ ее на себя, что съ 1888 г. я читалъ вь Марбургѣ, Гёттингенѣ и Страсбургѣ университетскiй курсъ подъ заглавiемъ: „Энциклопедiя Элементарной Математики“.
| Страсбургъ, въ iюлѣ 1903 г.
|
Г. Веберъ.
|
Индекс в Викитеке 
