объемѣ математическихъ знанiй и свѣдѣнiй, которыя будутъ ему нужны при изученiи всякой спецiальной отрасли знанiй; это даже необходимо для логическаго воспитанiя мысли.
Но такое положенiе вещей создаетъ раздвоенiе въ математическомъ преподаванiи, а это влечетъ за собой крупныя затрудненiя. И преподаватель, стремящiйся одновременно выполнить обѣ эти задачи — цѣлесообразнаго преподаванiя выдающимся ученикамъ и среднимъ —, долженъ обладать не только основательными познанiями, но и глубокимъ математическимъ образованiемъ и пониманiемъ тонкостей и красотъ математики.
До сихъ поръ еще, послѣ почти пятидесяти лѣтъ, я вспоминаю съ благодарностью моего учителя въ Гейдельбергскомъ лицеѣ, Арнета (Arneth) и его уроки, оказавшiе на меня глубокое влiянiе. Для большинства учениковъ его преподаванiе представляло мало интереса; но тѣмъ увлекательнѣе оно было для немногихъ исключительныхъ учениковъ, которымъ было доступно его тонкое математическое чутье и пониманiе физики, опередившее господствовавшiе въ то время взгляды.
Въ тѣ времена въ южно-германскихъ гимназiяхъ математикѣ въ программѣ преподаванiя отводилось второстепенное мѣсто; и со стороны большинства учителей и учениковъ она не пользовалась уваженiемъ. Поэтому преподаватель могъ влiять лишь на небольшой кружокъ склонныхъ къ математикѣ юношей. Теперь обстоятельства измѣнились къ лучшему и въ настоящее время врядъ-ли можетъ случиться, чтобы какой-нибудь ученикъ окончилъ гимназiю безъ всякихъ математическихъ познанiй.
Это есть несомнѣнный шагъ впередъ; но онъ не долженъ покупаться цѣною пониженiя внутренняго содержанiя преподаванiя; нужно, чтобы при новой системѣ и болѣе способный ученикъ нашелъ необходимый для себя матерiалъ. Послѣднее же достигается не тѣмъ, что лучшихъ учениковъ выводятъ возможно дальше изъ области элементарной математики въ область высшей. Для дальнѣйшаго математическаго развитiя это могло бы скорѣе служить помехою, чѣмъ помощью. Значительно болѣе плодотворнымъ является углубленiе содержанiя элементарнаго преподаванiя, въ которомъ, не выходя изъ прежнихъ границъ, можно найти неисчерпаемыя богатства матерiала; такое углубленiе дѣйствуетъ на ученика, развивая его и оживляя предметъ. При этомъ учителю должна быть дана полная свобода выбирать изъ всего многообразнаго матерiала то, что соотвѣтствуетъ его собственнымъ склонностямъ. Ибо плодотворное воздѣйствiе на ученика можетъ имѣть мѣсто только тамъ, гдѣ преподаватель относится еще съ живымъ интересомъ къ предмету.
Между прочимъ, и строгое логическое обоснованiе математики можетъ быть отнесено къ области элементовъ. Относящiеся сюда вопросы въ новѣйшее время подверглись глубокому изслѣдованiю, и мы сдѣлали значительный шагъ впередъ къ ихъ разрѣшенiю. Основанiямъ ариѳметики посвя-
объёме математических знаний и сведений, которые будут ему нужны при изучении всякой специальной отрасли знаний; это даже необходимо для логического воспитания мысли.
Но такое положение вещей создаёт раздвоение в математическом преподавании, а это влечёт за собой крупные затруднения. И преподаватель, стремящийся одновременно выполнить обе эти задачи — целесообразного преподавания выдающимся ученикам и средним —, должен обладать не только основательными познаниями, но и глубоким математическим образованием и пониманием тонкостей и красот математики.
До сих пор ещё, после почти пятидесяти лет, я вспоминаю с благодарностью моего учителя в Гейдельбергском лицее, Арнета (Arneth) и его уроки, оказавшие на меня глубокое влияние. Для большинства учеников его преподавание представляло мало интереса; но тем увлекательнее оно было для немногих исключительных учеников, которым было доступно его тонкое математическое чутьё и понимание физики, опередившее господствовавшие в то время взгляды.
В те времена в южно-германских гимназиях математике в программе преподавания отводилось второстепенное место; и со стороны большинства учителей и учеников она не пользовалась уважением. Поэтому преподаватель мог влиять лишь на небольшой кружок склонных к математике юношей. Теперь обстоятельства изменились к лучшему и в настоящее время вряд ли может случиться, чтобы какой-нибудь ученик окончил гимназию без всяких математических познаний.
Это есть несомненный шаг вперед; но он не должен покупаться ценою понижения внутреннего содержания преподавания; нужно, чтобы при новой системе и более способный ученик нашел необходимый для себя материал. Последнее же достигается не тем, что лучших учеников выводят возможно дальше из области элементарной математики в область высшей. Для дальнейшего математического развития это могло бы скорее служить помехою, чем помощью. Значительно более плодотворным является углубление содержания элементарного преподавания, в котором, не выходя из прежних границ, можно найти неисчерпаемые богатства материала; такое углубление действует на ученика, развивая его и оживляя предмет. При этом учителю должна быть дана полная свобода выбирать из всего многообразного материала то, что соответствует его собственным склонностям. Ибо плодотворное воздействие на ученика может иметь место только там, где преподаватель относится ещё с живым интересом к предмету.
Между прочим, и строгое логическое обоснование математики может быть отнесено к области элементов. Относящиеся сюда вопросы в новейшее время подверглись глубокому исследованию, и мы сделали значительный шаг вперёд к их разрешению. Основаниям арифметики посвя-
