Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/6

Точки и касательные, общие для двух кривых. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 6.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

32. В скольких точках пересекаются две кривые порядков $n$ и $n'$ соответственно? Допуская, как очевидный принцип, что число пересечений зависит только от чисел $n,\,n'$, видим, что это число не изменится, если заменить данные кривые другими местами тех же порядков. Если заметить кривую порядка $n'$ на $n'$ прямых, они будут пересекать кривую порядка $n$ в $nn'$ точках; поэтому: две кривые порядков $n,\,n'$ пересекаются в $nn'$ точках (вещественных, мнимых, различных или совпадающих). ^[1]

Говорят, что две кривые имеют двух-, трех-, … точечное пересечение, если две, три, … следующие друг за другом точки являются общими для этих кривых, а следовательно, общими являются [одна], две, … касательные.

Если через точку $a$ проходит $r$ дуг одной кривой и $r'$ дуг другой, то эта точка рассматривается как пересечение каждой из дуг первой кривой с каждой дугой второй кривой, поэтому она эквивалента $rr'$ совпадающим точкам пересечения. Если же одна из дуг первой кривой и одна из дуг второй имеют в $a$ общую касательную, то они имеют здесь две общие точки, и поэтому $a$ эквивалентна $rr'+1$ точкам пересечения. В общем случае, если в $a$ две кривые имеют $s$ общих касательных, то точка $a$ эквивалентна $rr'+s$ точкам, общим обеим кривым.

В особом случае, когда $r$ касательных к первой кривой и $r'$ ко второй в точке $a$ совпадают с одной единственной прямой $T$, эта прямая, если $r'<r$, представляет $r'$ общих касательных, и поэтому число собранных в $a$ пересечений равно $r'(r+1)$. Но это число будет становиться еще больше всякий раз, когда прямая $T$ имеет касание большего порядка с каждой из рассматриваемых линий, то есть когда они пересекают ее более чем в $r+1$ или $r'+1$ точках, собранных $a$.

Напр., если бы в точке $a$ прямая $T$ имела $2r$ точек, общих с первой кривой, и $r'+1$ — со второй, то точка $a$ была бы эквивалентна $r(r'+1)$ точкам пересечения двух кривых. Чтобы легко убедиться в этом, рассмотрим систему $r$ кривых $K$ второго порядка, имеющих общую точку $a$ и здесь касающихся одной и той же прямой $T$; и, кроме того, другую произвольную кривую $C$, имеющую $r'$ дуг, проходящих через $a$ и имеющих здесь общую касательную $T$. В этом случае точка $a$ представляет $r'+1$ пересечение $C$ с каждой из кривых $K$; и поэтому она эквивалентна $r(r'+1)$ точкам, общим кривой $C$ и системе, составленной из кривых $K$. ^[2] Аналогично доказывается, что две кривые классов $m,\,m'$ соответственно, имеют $mm'$ общих касательных. И т.д. ^[3]

Примечания

1. В авторском экземпляре здесь имелась пометка: «Этим доказательством заменяется одно из двух, данных Шалем, основанных на принципе соответствия (см.: Comptes rendus, 30 сент. 1872, 20 янв. 1873).» 
2. В нач. XX века понятие кратности точки пересечения двух кривых вводилось уже иначе — при помощи квадратичного преобразования (см., напр., лекции Севери, гл. 2; it, de). В немецком переводе М. Курце (1865) этот текст воспроизведен без изменения, однако уже в комментариях Сегре (1914) он подвергнут критике, пример же назван ошибочным: «точка $a$ не эквивалентна $r(r'+1)$ пересечениям, но в общем случае только $r'(r+1)+1$…» — Перев.
3. Свойства кривых данного класса получаются из свойств кривых данного порядка и наоборот посредством принципа двойственности, который мы почитаем за первый и абсолютный (итал. primitivo ed assoluto), то есть независящий от какой либо частной теории преобразования фигур. — Прим. авт.