О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/6

Об образовании кривой при помощи двух проективных пучков — Art. 6. О кривых третьего порядка
автор Луиджи Кремона, пер. Участник:Bkmd

Оригинал: итальянский. — Перевод опубл.: 1864. Источник: Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1915. T. 2. Pag. 147 и сл.

26. Пусть $i$ — точка перегиба заданной кривой третьего порядка и $I$ — гармоническая полярная прямая для $i$. Две касательные к кривой, точки касания которых лежат на одной прямой с точкой перегиба $i$, пересекаются в точке $m$ прямой $I$ и образуют гармоническую систему с прямой $mi$ и самой $I$ (Introd. 139a), поэтому:

Шесть касательных, которые можно провести к кубики из точки гармонической поляры для точки перегиба соединены в инволюцию таким образом, что прямая (la corda di contatto), соединяющая точки касания двух сопряженных касательных, проходит через точку перегиба. ^{[1] [2]}

Поскольку все кубики, сизигические данной, имеют одни и те же гармонические поляры, верно след.:

Пусть задан пучок сизигических кубик. Если из точки гармонической поляры для точки перегиба провести пары касательных к кубикам таким образом, что прямая, соединяющая точки касания, проходила через названную точку перегиба, то эта бесконечная [система] пар касательных образует инволюцию, двойными лучами которой являются прямая, проходящая через точку перегиба, и гармоническая поляра. ^[3]

Пусть $m_{1},m_{2},m_{3}$ — три точки, взятые произвольным образом соответствующие на трех гармонических полярах для трех точек перегиба $i_{1},i_{2},i_{3}$, лежащих на одной прямой. Проведем через каждую из точек $m_{1},m_{2},m_{3}$ по две касательные к кубике, точки касания с которой лежат на одной прямой с соответствующей точкой перегиба; поскольку три прямые, соединяющие эти точки касания, пересекают кривую еще в трех точка $i_{1},i_{2},i_{3}$, лежащих на одной прямой, точки касания шести касательных лежат на некоторой конике (Introd. 39a).

Если $r$ — вершина трехсторонника $rr_{1}r_{2}$, сизигического заданной кубике, через $r$ проходят гармонические поляры для трех точек перегиба, лежащих на противоположной стороне (Introd. 142). Поэтому шесть касательных, которые можно провести через точку $r$ к кубике, соединены в инволюцию тремя различными способами: в каждом из этих способов в качестве двойных лучей выступают прямая, соединяющая точку $r$ с одним из трех точек перегиба, и соответствующая гармоническая поляра.

Проведем через точку перегиба $i$, лежащую на прямой $r_{1}r_{2}$, произвольную секущую; ее точка, гармонически сопряженная к $i$ относительно пересечений секущей со сторонами $rr_{1},rr_{2}$, лежит на гармонической поляре для $i$ (Introd. 139). Отсюда следует, что прямые $rr_{1},rr_{2}$ гармонически сопряжены относительно прямой $ri$ и гармонической поляры для $i$. Поэтому двойные лучи трех инволюций образованы касательными, которые можно провести через $r$ к заданной кубике (и ко всем другим сизигическим кубикам), соединяются в новую инволюцию, двойными элементами которой являются стороны $rr_{1},rr_{2}$ сизигического треугольника. Итого:

Три точки перегиба, лежащие на одной прямой, и пересечения этой прямой с гармоническими полярами для этих точек перегиба образуют три пары точек в инволюции.^[4]

Заметим, что, в силу Introd. 132c, если две касательные к заданной кубике пересекаются в точке этой же кривой, то каждая из этих касательных является полярной прямой для точки касания другой относительно некоторой кубики, для которой заданная кривая является гессианой. В силу Introd. 148, если прямая касается кубики в одной точке и пересекает ее в другой, то все полярные прямые для первой точки относительно кубик, сизигических данной, проходят через вторую точку. Отсюда имеем след.:

Четыре касательные, которые можно провести к кубике из лежащей на ней точки, являются полярными прямыми для любой из точек касания относительно самой кубики и трех других кубик, для которых заданная является гессианой.^[5]

Наконец, ангармоническое отношение полярных прямых для одной точки относительно четырех заданных кривых пучка остается постоянным, какова бы ни была эта точка; отсюда получается новое доказательство теоремы Сальмона (Introd. 131) о постоянстве ангармонического отношения четырех касательных, которые можно провести к кубике из произвольной ее точки.

27. Проведем в плоскости заданной кривой третьего порядка $n+1$ секущих, пересекающих кривую в $n+1$ тройках точек

$(v_{1},v_{2},a_{1}),\quad (v_{3},v_{4},a_{3}),\quad (v_{5},v_{6},a_{5}),\dots (v_{2n+1},v_{2n+2},a_{2n+1})$.

Соединим точку $v_{2n+2}$ с точкой $a_{1}$ прямой, пересекающей кривую снова в точке $v_{2n+3}$. Проведем прямую $v_{2}v_{3}$, пересекающую опять кривую еще в одной новой точке $a_{2}$; и пусть $v_{2n+4}$ — третье пересечение в кривой прямой $v_{2n+3}a_{2}$. Продолжая дальше тем же путем, получим новые $3n$ секущих, содержащих тройки точек

$(v_{2n+2},a_{1},v_{2n+3}),\quad (v_{2},v_{3},a_{2}),\quad (v_{2n+3},a_{2},v_{2n+4}),\quad (v_{2n+4},a_{3},v_{2n+5}),\quad (v_{4},v_{5},a_{4})$, $(v_{2n+5},a_{4},v_{2n+6}),\dots (v_{4n+1},a_{2n},v_{4n+2})$.

Тогда $3(2n+1)$ точек

$v_{1}v_{2}\dots v_{4n+2}$, $a_{1}a_{2}\dots a_{2n+1}$

оказываются точками пересечения кубики с $2n+1$ прямыми

$(v_{1}v_{2}a_{1}),\quad (v_{3}v_{4}a_{3}),\quad (v_{5}v_{6}a_{5}),\dots (v_{2n+1}v_{2n+2}a_{2n+1})$,

$(v_{2n+3}v_{2n+4}a_{2}),\quad (v_{2n+5}v_{2n+6}a_{4}),\dots (v_{4n+1}v_{4n+2}a_{2n})$, причем $6n$ точек распределены по $2n$ прямым

$(v_{2n+2}v_{2n+3}a_{1}),\quad (v_{2n+4}v_{2n+5}a_{3}),\dots (v_{4n}v_{4n+1}a_{2n-1})$, $(v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4}),\dots (v_{2n}v_{2n+1}a+{2n})$;

значит, в силу Introd. 44, и другие три точки $v_{1}v_{4n+2}a_{2n+1}$ должны лежать на одной прямой . Итого:

Если $3(2n+1)$ точек, являющихся вершинами и точками пересечения пар противоположных сторон полигона из $4n+2$ сторон, и $6n+2$ из них лежат на некоторой кривой третьего порядка, то и оставшаяся точка принадлежит этой кривой .^[6]

28. Проведем в плоскости кривой третьего порядка две секущие, которые пересекают кривую в тройках точек $(v_{1}v_{2}a_{1})$ и $(w_{2}w_{3}a_{2})$. Две прямые $w_{2}a_{1},v_{2}a_{2}$ пересекают кривую снова в точках $w_{1},v_{3}$. Проведем через $v_{3}$ произвольным образом секущую, пересекающую кривую в тройке $(v_{3}v_{4}a_{3})$; тогда, соединив $w_{3}$ с $a_{3}$, получим тройку $(w_{3}w_{4}a_{3})$. Проведем через точку $w_{4}$ произвольным образом секущую, пересекающую кривую снова в точках $w_{5},a_{4}$; соединив точку $v_{4}$ с $a_{4}$, получим третье пересечение $v_{5}$. Продолжая двигаться тем же путем, получим тройки $(v_{2n-1}v_{2n}a_{2n-1})$ и $(w_{2n-1}w_{2n}a_{2n-1})$. Соединим теперь $v_{2n}$ с $v_{1}$ и пусть так проведенная прямая пересекает кривую снова в точке $a_{2n}$.

Таким образом, мы имеем $6n$ точек $v_{1}v_{2}\dots v_{2n}$, $w_{1}w_{2}\dots w_{2n}$, $a_{1}a_{2}\dots a_{2n}$, которые получены путем пересечения кубики с системой $2n$ прямых

$(w_{1}w_{2}a_{1}),\quad (w_{3}w_{4}a_{3}),\dots (w_{2n-1}w_{2n}a_{2n-1})$ и $(v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4}),\dots (v_{2n}v_{1}a_{2n})$,

причем $6n-3$ из них распределены по $2n-1$ прямым

$(v_{1}v_{2}a_{1}),\quad (v_{3}v_{4}a_{3}),\dots (v_{2n-1}v_{2n}a_{2n-1})$ и $(w_{2}w_{3}a_{2}),\quad (w_{4}w_{5}a_{4}),\dots (w_{2n-2}w_{2n-1}a_{2n-2})$;

поэтому оставшиеся три точки $w_{1}w_{2n}a_{2n}$ должны тоже лежать на одной прямой. Итого:

Если среди $6n$ точек, являющихся вершинами и пересечениями пар соответствующих сторон названных многоугольников, по $2n$ сторон в каждом, $6n-1$ точек лежат на кривой третьего порядка, то также и оставшаяся точка лежит на этой кривой.^[7]

Примечания

1. Giornale di matematiche, t. 2, pag. 84 (Napoli, 1864).
2. Пучок кубик, сизигических данной, порождает бесконечный ряд пар прямых, пересекающихся в точке $m$ и касающихся какой-либо кубики пучка в двух точках, лежащих на одной прямой с точкой $i$. Хотя этот ряд не является проективным этому пучку, он оказывается квадратичной инволюцией. В самом деле, пусть задана произвольная прямая $P$, тогда в пучке имеется четыре кубики, касающиеся этой прямой. Выберем одну из них и проведем из точки $m$ касательную $Q$, точка касания которой лежит на одной прямой с точкой касания $P$ и точкой $i$. Положение этой прямой не зависит от выбора одной из четырех кубик и однозначно определяется по $P$: эта прямая должна быть гармонически сопряженной к $P$ относительно пары $I,mi$. При этом заданная кубика задает три элемента инволюции, то есть всю инволюцию. Поэтому про эти шесть прямых можно говорить как о всей инволюции, следуя старой традиции, ср. шесть точек в инволюции у Шаля. — Перев.
3. Если одна из прямых, составляющих пару, совпадет с гармонической полярой, то в силу Introd. 143 эта пара касается сизигического трехсторонника, а значит второй элемент пары совпадает с первым. Если одна из прямых, составляющих пару, совпадает с $mi$, то эта прямая является стационарной касательной к некоторой кубике пучка, которая считается за две при подсчете касательных, проходящих через точку $m$. — Перев.
4. Это свойство также становится очевидным, если заметить, что точка, в которой гармоническая поляра для $i$ пересекает $r_{1}r_{2}$, является гармонически сопряженной к $i$ относительно двух других точек перегиба, лежащих на прямой $r_{1}r_{2}$. Отсюда следует также в силу Introd. 27), что каждая из двух точек $r_{1},r_{2}$ вмести с тремя точками перегиба, лежащими на прямой $r_{1}r_{2}$, составляют эквиангармоническую систему.
5. Educational Times, december 1864, p. 214 (London).
6. Эта теорема, обобщающая известное утверждение, принадлежащие Понселе (Introd. 45c), сообщил мне проф. Brioschi.
7. Эта и предыдущая теоремы были изложены Мебиусом в случае, когда кубика составлена из коники и прямой (Verallgemeinerung des Pascalschen Theorems, Журнал Крелля, Bd. 36, Berlin, 1848, p. 219).