Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XXII/ДО

Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ — Примѣчаніе XXII
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: М. Шаль. Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ. — Москва: М. Катковъ, 1883. — Т. II.

Обобщеніе двухъ общихъ теоремъ Стеварта.

Примѣчаніе къ n° 29

Двѣ слѣдующія теоремы представляютъ значительно болѣе общности, нежели теоремы Стеварта, и изъ нихъ можно вывести еще многія другія.

Первая теорема. Дано $m$ точекъ $A,\,B,\,C,\dots$ на плоскости и столько же количествъ $a,\,b,\,c,\,\dots$; пусть будетъ $n$ менѣе $m$; можно опредѣлить $n+1$ другихъ точекъ $A',\,B',\,C',\dots$ такъ, что между разстояніями произвольной точки $M$ отъ данныхъ точекъ и ея же разстояніями отъ найденныхъ точекъ будетъ имѣть мѣсто $n$ соотношеній, выражаемыхъ формулою

$a.MA^{2(n-\delta )}+b.MB^{2(n-\delta )}+\dots =\left({MA'}^{2(n-\delta )}+{MB'}^{2(n-\delta )}+\dots \right){\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

въ которой величинѣ $\delta$ можно дать $n$ значеній: $0,\,1,\,2,\dots ,n-1$.

Если положимъ $\delta =0$, то получимъ 44-ю теорему Стеварта.

Другія величины $\delta$ даютъ другія соотношенія, которыя можно выразить всѣ какъ особыя теоремы, но которыя тѣмъ не менѣе существуютъ всѣ одновременно. Эта совмѣстность $n$ различныхъ соотношеній и составляетъ характеръ приведенной теоремы.

При этомъ не слѣдуетъ забывать, что положеніе точки $M$ остается неопредѣленнымъ, такъ что для каждаго положенія можемъ получить свои $n$ соотношеній.

Величина $\delta$ можетъ имѣть еще одно значеніе, именно $\delta =n$; но это приводитъ къ тождественному равенству:

$a+b+c+\dots =(n+1).{\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

поэтому мы и ограничили число всѣхъ значеній $\delta$ числомъ $n$.

Вторая теорема. Дано $m$ прямыхъ линій на плоскости и столько же количествъ $a,\,b,\,c,\dots$; пусть будетъ $n$ какое-нибудъ число, меньше $m$; можно найти $n+1$ другихъ прямыхъ такъ, что между перпендикулярами $M\alpha ,\,M\beta ,\,M\gamma ,\dots$, опущенными изъ какой угодно точки $M$ на эти прямыя и перпендикулярами $M\alpha ',\,M\beta ',\,M\gamma ',\dots$, опущенными на найденныя прямыя будетъ существовать ${\tfrac {n+1}{2}}$, или ${\tfrac {n}{2}}$, соотношеній, выражаемыхъ формулою

$a.M\alpha ^{(n-2\delta )}+b.M\beta ^{(n-2\delta )}+\dots =\left({M\alpha '}^{(n-2\delta )}+{M\beta '}^{(n-2\delta )}+\dots \right){\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

гдѣ $\delta$ можетъ принимать ${\tfrac {n+1}{2}}$ значеній: $0,\,1,\,2,\dots ,{\tfrac {n-1}{2}}$, когда $n$ нечетное и ${\tfrac {n}{2}}$ значеній: $0,\,1,\,2,\dots {\tfrac {n-2}{2}}$, когда $n$ — четное.

При $\delta =0$ получаемъ теорему, выраженную въ 49 и 53 предложеніяхъ Стеварта.

Другія значенія $\delta$ ведутъ къ другимъ соотношеніямъ, выражающимъ собою столько же различныхъ теоремъ, имѣющихъ мѣсто одновременно, каково бы ни было притомъ положеніе точки $M$.

Кажется, теоремы Стеварта, заключающіяся въ двухъ вышеприведенныхъ общихъ предложеніяхъ, оставались до сихъ поръ безъ примѣненія, представляя собою особаго рода свойства системы точекъ и прямыхъ линій. Но можно думать, что подобныя системы обладаютъ и другими подобными же свойствами, которыя всѣ могутъ примыкать къ одной теоріи. Я имѣю, напримѣръ, нѣкоторое основаніе предполагать, что система данныхъ точекъ вмѣстѣ съ системою точекъ, опредѣляемыхъ въ первой изъ вышеприведенныхъ теоремъ, обладаютъ свойствами, подобными свойствамъ концовъ сопряженныхъ діаметровъ эллипса. Можно по крайней мѣрѣ составить сколько угодно системъ (безъ сомнѣнія подчиненныхъ извѣстнымъ законамъ), которыя представляютъ всѣ эти свойства.

Но, несмотря на эту первую аналогію я могу ошибаться, дѣлая это предположеніе. Какъ бы то ни было, слѣдуетъ, мнѣ кажется, признать, что теоремы Стеварта представляютъ только первый шагъ къ новымъ изысканіямъ, заслуживающимъ вниманія и труда геометровъ.

---