О задачѣ вписать въ кругъ треугольникъ, стороны котораго должны проходить черезъ три данныя точки.
Примѣчаніе къ n° 38
[80]Паппъ оставилъ намъ простое рѣшеніе этой задачи для того случая, когда три точки даны на одной прямой.
[81]Общій случай, представлявшій значительныя затрудненія, предложенъ былъ въ 1742 году Крамеромъ Кастильону, уже доказавшему свое искуство въ геометріи древнихъ. Кастильонъ нашелъ рѣшеніе этой задачи, основанное на чисто геометрическихъ соображеніяхъ; оно явилось въ Мемуарахъ Берлинской Академіи 1776 года.
Тотчасъ послѣ этого Лагранжъ далъ другое, чисто аналитическое и весьма изящное рѣшеніе. (Тотъ же томъ Берлинскихъ Мемуаровъ).
Въ 1780 году эту же задачу рѣшили Эйлеръ, Фуссъ и Лексель (Мемуары Петербургской Академіи). По поводу рѣшенія Эйлера замѣтимъ, что оно основывается на одной леммѣ, которая есть ничто иное, какъ теорема Стеварта, упомянутая нами по случаю леммъ Паппа къ сочиненію loca plana Аполлонія. (Первая эпоха, n° 36).
Молодой неаполитанецъ Олтаяно (Giordano di Oltaiano) задумалъ вопросъ въ болѣе общемъ видѣ и рѣшилъ его для многоугольника съ какимъ угодно числомъ сторонъ, проходящихъ черезъ столько же точекъ, расположедныхъ произвольно въ плоскости круга. Мальфатти не замедлилъ рѣшить эту задачу въ той же степени общности. (Мемуары этихъ геометровъ напечатаны въ IV томѣ Memorie della societa italiana.)
Люилье (Lhuillier) сдѣлалъ нѣкоторыя измѣненія въ рѣшеніяхъ этихъ двухъ геометровъ, въ Берлинскихъ Мемуарахъ 1796 года, и писалъ объ этой же задачѣ въ
Elemens d'analyse géométrique et d'analyse algébrique
1809 года.
Карно, въ
Géométrie de position
возвратился къ рѣшенію Лагранжа и, введя въ него нѣкоторыя геометрическія соображенія, составилъ смѣшанное рѣшеніе, которое приложено имъ къ общему случаю какаго нибудь многоугольника.
Бріаншонъ внесъ въ эту задачу новый элементъ обобщенія: онъ вмѣсто круга взялъ какое нибудь коническое сѣченіе и рѣшилъ эту задачу для случая треугольника и въ томъ предположеніи, что данныя точки лежатъ на одной прямой.
Journal de l'école polytechnique, 10-e cahier).
[82]
Жергоннъ сдѣлалъ новый шагъ впередъ: онъ также взялъ коническое сѣченіе, но допустилъ совершенную общность въ положеніи трехъ точекъ и при рѣшеніи задачи пользовался только линейкою. Во всѣхъ прежнихъ рѣшеніяхъ требовалось употребленіе циркуля
(Annales des Mathématiques, t. I, p. 341, années 1810—1811).
Жергоннъ не прямо изслѣдовалъ эту задачу; онъ предложилъ себѣ другую, ей подобную, именно: описать около коническаго сѣченія треугольникъ, вершины котораго лежали бы на трехъ данныхъ прямыхъ. Построеніе, данное этимъ геометромъ, требовало употребленія только линейки и было образцомъ изящества и простоты. Оно было доказано Servois и Rochat
(Annales des Mathématiques, t. I, p. 337 et 342).
Жергоннъ замѣтилъ, что посредствомъ теоріи полюсовъ коническихъ сѣченій это рѣшеніе тотчасъ же преобразовывается въ подобное же рѣшеніе задачи: вписать въ коническое сѣченіе треугольникъ, стороны котораго проходили бы черезъ данныя точки.
Оставалось, для полноты предмета, рѣшить ту же задачу для коническаго сѣченія, вмѣсто круга, въ общемъ случаѣ какого нибудь многоугольника. Этимъ послѣднимъ усиліемъ мы обязаны Понселе. Рѣшеніе этого геометра достойнымъ образомъ вѣнчаетъ труды его предшественниковъ. Оно во всѣхъ отношеніяхъ представляетъ прекрасный примѣръ совершенства, до котораго могутъ достигать теоріи новой геометріи.
(См. Traité des propriétés projectives, p. 352).
|
Индекс в Викитеке