Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/81

нормальна къ ней въ другой точкѣ: шесть подобныхъ точекъ будутъ въ инволюціи.

Каждая изъ предложенныхъ теоремъ ведетъ ко многимъ слѣдствіямъ, которыя будутъ показаны въ другомъ мѣстѣ.

54. Не можемъ окончить это Примѣчаніе, не указавъ еще на одно любопытное свойство круга, состоящее въ томъ, что шесть точекъ, взятыхъ на окружности, могутъ представлять соотношенія, подобныя инволюціи шести точекъ, расположенныхъ на прямой линіи. Это свойство выражается слѣдующей теоремой:

Когда три прямыя, исходящія изъ одной точки, встрѣчаются съ окружностью круга: — первая въ точкахъ $a,a'$, вторая въ $b,b'$, третья въ $c,c'$, — то мы имѣемъ соотношеніе:

${\frac {\sin {\frac {ca}{2}}.\sin {\frac {ca'}{2}}}{\sin {\frac {cb}{2}}.\sin {\frac {cb'}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {c'a}{2}}.\sin {\frac {c'a'}{2}}}{\sin {\frac {c'b}{2}}.\sin {\frac {c'b'}{2}}}}$.

Ясно, какъ составляются два другія подобныя соотношенія; такимъ образомъ получаются между шестью точками $a,a';b,b';c,c'$ три уравненія, подобныя уравненіямъ (A), относящимся къ инволюціи шести точекъ на прямой линіи.

Прибавимъ, что подобнымъ же образомъ найдутся для этихъ шести точекъ соотношенія, подобныя уравненіямъ (B), (C) и (D).

ПРИМѢЧАНІЕ XI.

(Первая эпоха, n° 38).

О задачѣ вписать въ кругъ треугольникъ, стороны котораго должны проходить черезъ три данныя точки.

Паппъ оставилъ намъ простое рѣшеніе этой задачи для того случая, когда три точки даны на одной прямой.