[26]§ 8. Умножение.
Часто приходится составлять суммы одинаковых слагаемых; для них введено особое обозначение. Чтобы это объяснить, предположим, что нам дано
слагаемых, которые все равны
, и что нужно образовать сумму всех этих чисел, т. е. например
при
|
|
при .
|
|
Сумму этих
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
чисел мы будем обозначать символом
![{\displaystyle a.b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d658ff5509c6f6107fd3185275f5ba39d521725b)
, или
![{\displaystyle a\times b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b420244850c1a22be4c326f91e146db8b037f0)
, или, наконец, просто через
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
. Образование этой суммы называется
умножением числа
на число ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
. Число
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
называется множимым, число
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
множителем,
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
— результат умножения —
произведением числа
на число ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
.
Согласно определению,
; мы положим также [1]
, так как это в предыдущем определении не содержится. Умножение на большего множителя может быть приведено к умножению на меньших множителей посредством рекуррентной формулы
,
|
(1)
|
которая, ввиду установленного выше соглашения, сохраняет свою силу также при
![{\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)
.
2. Первое основное предложение относительно умножения есть закон переместительный, заключающийся в том, что результат умножения не изменится, если мы множимое и множителя заменим друг другом; этот закон выражается соотношением
.
|
(2)
|
Доказательство этого предложения может быть произведено при помощи совершенной индукции. Представим себе
конечных комплексов
, которые мы для отличия будем обозначать через
,
, ...
; допустим, что эти комплексы не имеют попарно общих элементов, но все имеют одну и ту же мощность
. В таком случае произведение
представляет собой число комплекса
, который получим, если соединим все наши комплексы
,
...
.
Теперь к каждому из комплексов
,
...
мы присоединим ещё по одному элементу, так что
перейдёт в
. Этим мы присоединяем к
ещё
новых элементов. Если
[2] есть комплекс, который мы таким образом получаем вместо
, то он выражается [27]числом
; с другой стороны, тот же комплекс может быть выражен числом
, а потому
;
|
(3)
|
это соотношение сохраняет свою силу и при
![{\displaystyle b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55bc77dec8088791b5c1ed51e634cc1b431fd0)
. Но при
![{\displaystyle b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55bc77dec8088791b5c1ed51e634cc1b431fd0)
, в силу самого определения,
.
|
|
Если мы поэтому примем, что соотношение (2) доказано для некоторого значения числа
, то из равенства (3) вытекает
;
|
|
если же мы в соотношении (1) заменим
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
друг другом, то получим
;
|
|
следовательно,
,
|
|
т. е. справедливость соотношения (2) доказана и для ближайшего большего значения числа
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
. Мы можем поэтому применить индуктивный приём, и предложение доказано во всём его объеме.
В силу этого нет более оснований к тому, чтобы отличать друг от друга множимое и множителя; их называют обыкновенно безразлично сомножителями произведения.
Для производства умножения достаточно знать произведения любых двух чисел в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которые мы составляем непосредственным счётом и запечатлеваем в своей памяти. Десятичная система счисления даёт возможность известным способом составлять произведения больших чисел.
3. Закон сочетательный или ассоциативный.
Представим себе теперь, что каждый элемент во всех комплексах
,
,
...
замещён некоторым комплексом
; предположим, что все эти комплексы
имеют одинаковую мощность
, но никакие два из них не имеют общих элементов. Теперь соединим все элементы этих комплексов
в один комплекс
, число которого нам нужно определить.
Но число комплексов
есть
следовательно, число всех элементов комплекса
равно
.
|
|
С другой стороны, в каждом комплексе
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
содержится
![{\displaystyle bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729e20113e9029b3d860aab123277d8aa0d7a950)
элементов; а так как число комплексов
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
равно
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
, то число элементов
[28]комплекса
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
равно также
.
|
|
Отсюда получаем соотношение
,
|
|
которое и выражает
сочетательный или ассоциативный закон. Сочетая этот закон с предыдущим, мы можем представить произведение трёх сомножителей в 12 различных видах.
Правило производства вычисления можно выразить следующим образом: выбираем любые два из данных трёх чисел
,
и
и перемножаем их, — произведение же умножаем на третье число; результат не зависит от того, как мы выбрали первые два числа, и так как поэтому скобки уже не нужны, то мы обозначим его так:
.
|
|
Число m называется
произведением трёх чисел
,
и ![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
, а последние называются
сомножителями этого произведения.
Доказательство переместительного и сочетательного законов можно сделать наглядным, если мы представим себе элементы комплексов
в виде шаров; шары эти распределим в ряды по
в каждом ряду;
таких рядов расположим в виде прямоугольника, и затем
таких прямоугольников положим один на другой. Вся фигура имеет в таком случае вид прямоугольной призмы, три сходящихся ребра которой соответственно содержат
,
и
шаров. Эти шары можно тремя способами распределить в прямоугольники, а каждый прямоугольник двумя способами разбить в ряды.
4. Опираясь на эти предложения, мы можем при помощи индукции определить произведение любого числа множителей.
Положим, что нам дан комплекс
, состоящий из чисел
.
|
|
Пусть
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
будет число этих чисел. Выберем из них произвольно два, перемножим их и присоединим произведение к остальным числам. Мы получим комплекс, содержащий
![{\displaystyle r-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad04896104e929da32fad148e240b3fd8dfa874)
чисел. С этим комплексом мы поступим так же, как с прежним, т. е. вновь выберем два числа, перемножим их и присоединим произведение к остальным числам. Этот процесс мы продолжим до тех пор, пока не получим только одно число. Это число не зависит от того, как мы выбирали в каждом случае два числа для перемножения, т. е. не зависит от порядка нашего вычисления. Это число мы будем называть
произведением сомножителей
,
,
, ... ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
и, обозначая
[29]его через
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
, будем писать
,
|
|
т. е. попросту напишем сомножителей один за другим.
Для доказательства высказанного утверждения, на которое опирается это определение [3], мы вновь воспользуемся совершенной индукцией. Как было доказано в п. п. 2 и 3, предложение это справедливо, когда
или же когда
(здесь нельзя ограничиться случаем
, т. к. при двух сомножителях ассоциативный закон не находит себе применения). Теперь примем, что наше предложение справедливо для произведения
сомножителей и докажем, что оно при этих условиях справедливо и для произведения
сомножителей. Итак, в системе
выберем прежде всего два числа и составим их произведение; за эти числа могут быть взяты
и
— это зависит только от обозначения; мы получаем, таким образом комплекс
, содержащий
чисел
.
|
|
Если мы теперь начнём наш процесс иначе, то мы можем либо выбрать первые два множителя отличными от
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, например составить комплекс
![{\displaystyle R''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63011abb699949aaf67596fcac267a63f53888ab)
из
![{\displaystyle r-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad04896104e929da32fad148e240b3fd8dfa874)
чисел
,
|
|
или же сохранить одно из чисел
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, т. е. составить, скажем, комплекс
.
|
|
Согласно допущению, произведения чисел в каждом из комплексов
,
и
не зависят от порядка вычисления; вследствие этого вычисление можно продолжать так, чтобы после первого же приёма комплексы
и
, а также комплексы
и
дали тождественные результаты; именно, комплексы
и
, очевидно, могут дать комплекс
;
|
|
комплексы же
![{\displaystyle R'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cc152440f75fd8f842f4225a7484bb431b3343)
и
![{\displaystyle R'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af58b55964af3fe61c0f3cff10919804d3f4cfbd)
могут дать результат
.
|
|
А так как
![{\displaystyle R'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cc152440f75fd8f842f4225a7484bb431b3343)
, как уже было сказано, во всяком случае даёт одно и то же окончательное произведение, то то же произведение дают комплексы
![{\displaystyle R''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63011abb699949aaf67596fcac267a63f53888ab)
и
![{\displaystyle R'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af58b55964af3fe61c0f3cff10919804d3f4cfbd)
.
5. Из соответствующих предложений относительно сложения [30]непосредственно вытекает, что произведение двух сомножителей возрастает с каждым из них, т. е. если
,
|
|
то
;
|
|
и подавно, если
и ,
|
|
то
.
|
|
Посредством индукции отсюда легко вывести предложение, что произведение какого угодно числа сомножителей возрастает, если увеличим некоторые из его множителей, а остальные оставим без изменения. Как следствие отсюда, получаем также, что произведение
![{\displaystyle ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67ddfce95abc270c42ff828ed407b007e81ebd7)
лишь в том случае равно произведению
![{\displaystyle bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729e20113e9029b3d860aab123277d8aa0d7a950)
, если
![{\displaystyle a=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1956b03d1314c7071ac1f45ed7b1e29422dcfcc4)
.