Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/41

§ 8. Умноженiе.

Часто приходится составлять суммы одинаковыхъ слагаемыхъ; для нихъ введено особое обозначенiе. Чтобы это объяснить, предположимъ, что намъ дано $a$ слагаемыхъ, которыя всѣ равны $b$, и что нужно образовать сумму всѣхъ этихъ чиселъ, т. е. напримѣръ

$b+b+b$ при $a=3$

$b+b+b+b$ при $a=4$.

Сумму этихъ $a$ чиселъ мы будемъ обозначать символомъ $a.b$, или $a\times b$, или, наконецъ, просто черезъ $ab$. Образованiе этой суммы называется умноженiемъ числа $b$ на число $a$. Число $b$ называется множимымъ, число $a$ множителемъ, $ab$ — результатъ умноженiя — произведенiемъ числа $b$ на число $a$.

Согласно опредѣленiю, $a.1=a$; мы положимъ также ^[1] $1.b=b$, такъ какъ это въ предыдущемъ опредѣленiи не содержится. Умноженiе на большаго множителя можетъ быть приведено къ умноженiю на меньшихъ множителей посредствомъ рекуррентной формулы

$(a+1)b=ab+b$,

(1)

которая, въ виду установленнаго выше соглашенiя, сохраняетъ свою силу также при $a=1$.

2. Первое основное предложенiе относительно умноженiя есть законъ перемѣстительный, заключающiйся въ томъ, что результатъ умноженiя не измѣнится, если мы множимое и множителя замѣнимъ другъ другомъ; этотъ законъ выражается соотношенiемъ

$ab=ba$.

(2)

Доказательство этого предложенiя можетъ быть произведено при помощи совершенной индукцiи. Представимъ себѣ $a$ конечныхъ комплексовъ $B$, которые мы для отличiя будемъ обозначать черезъ $B_{1}$, $B_{2}$, ... $B_{a}$; допустимъ, что эти комплексы не имѣютъ попарно общихъ элементовъ, но всѣ имѣютъ одну и ту-же мощность $b$. Въ такомъ случаѣ произведенiе $ab$ представляетъ собой число комплекса $M$, который получимъ, если соединимъ всѣ наши комплексы $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$.

Теперь къ каждому изъ комплексовъ $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$ мы присоединимъ еще по одному элементу, такъ что $b$ перейдетъ въ $b+1$. Этимъ мы присоединяемъ къ $M$ еще $a$ новыхъ элементовъ. Если $M$^[2] есть комплексъ, который мы такимъ образомъ получаемъ вместо $M$, то онъ выражается

1. т. е. введемъ въ качествѣ особаго соглашенiя
2. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например $M_{1}$. — Примечание редактора Викитеки.

Тот же текст в современной орфографии

§ 8. Умножение.

Часто приходится составлять суммы одинаковых слагаемых; для них введено особое обозначение. Чтобы это объяснить, предположим, что нам дано $a$ слагаемых, которые все равны $b$, и что нужно образовать сумму всех этих чисел, т. е. например

$b+b+b$ при $a=3$

$b+b+b+b$ при $a=4$.

Сумму этих $a$ чисел мы будем обозначать символом $a.b$, или $a\times b$, или, наконец, просто через $ab$. Образование этой суммы называется умножением числа $b$ на число $a$. Число $b$ называется множимым, число $a$ множителем, $ab$ — результат умножения — произведением числа $b$ на число $a$.

Согласно определению, $a.1=a$; мы положим также ^[1] $1.b=b$, так как это в предыдущем определении не содержится. Умножение на большего множителя может быть приведено к умножению на меньших множителей посредством рекуррентной формулы

$(a+1)b=ab+b$,

(1)

которая, ввиду установленного выше соглашения, сохраняет свою силу также при $a=1$.

2. Первое основное предложение относительно умножения есть закон переместительный, заключающийся в том, что результат умножения не изменится, если мы множимое и множителя заменим друг другом; этот закон выражается соотношением

$ab=ba$.

(2)

Доказательство этого предложения может быть произведено при помощи совершенной индукции. Представим себе $a$ конечных комплексов $B$, которые мы для отличия будем обозначать через $B_{1}$, $B_{2}$, ... $B_{a}$; допустим, что эти комплексы не имеют попарно общих элементов, но все имеют одну и ту же мощность $b$. В таком случае произведение $ab$ представляет собой число комплекса $M$, который получим, если соединим все наши комплексы $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$.

Теперь к каждому из комплексов $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$ мы присоединим ещё по одному элементу, так что $b$ перейдёт в $b+1$. Этим мы присоединяем к $M$ ещё $a$ новых элементов. Если $M$^[2] есть комплекс, который мы таким образом получаем вместо $M$, то он выражается

1. т. е. введем в качестве особого соглашения
2. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например $M_{1}$. — Примечание редактора Викитеки.