Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/45

посредственно вытекаетъ, что произведенiе двухъ сомножителей возрастаетъ съ каждымъ изъ нихъ, т. е. если

$a>a'$,

то

$ab>a'b$;

и подавно, если

$a>a'\qquad$ и $b>b'$,

то

$ab>a'b'$.

Посредствомъ индукцiи отсюда легко вывести предложенiе, что произведенiе какого угодно числа сомножителей возрастаетъ, если увеличимъ нѣкоторые изъ его множителей, а остальные оставимъ безъ измѣненiя. Какъ слѣдствiе отсюда, получаемъ также, что произведенiе $ac$ лишь въ томъ случаѣ равно произведенiю $bc$, если $a=b$.

Тот же текст в современной орфографии

посредственно вытекает, что произведение двух сомножителей возрастает с каждым из них, т. е. если

$a>a'$,

то

$ab>a'b$;

и подавно, если

$a>a'\qquad$ и $b>b'$,

то

$ab>a'b'$.

Посредством индукции отсюда легко вывести предложение, что произведение какого угодно числа сомножителей возрастает, если увеличим некоторые из его множителей, а остальные оставим без изменения. Как следствие отсюда, получаем также, что произведение $ac$ лишь в том случае равно произведению $bc$, если $a=b$.

---

§ 9. Произведенiя суммъ.

1. Положимъ, что въ произведенiи двухъ сомножителей одинъ изъ нихъ представляетъ собой сумму нѣсколькихъ слагаемыхъ. Въ этомъ случаѣ произведенiе можно представить въ видѣ суммы такого же числа слагаемыхъ, не производя сложенiя предварительно. Положимъ, напримѣръ, что намъ нужно помножить сумму $r$ слагаемыхъ

$S=a+b+c+....+n$

на число $m$; согласно опредѣленiю умноженiя, это произведенiе равно суммѣ $m$ слагаемыхъ, равныхъ $a$, $m$ слагаемыхъ, равныхъ $b$, и т. д.…, — $m$ слагаемыхъ, равныхъ $n$. Такъ какъ мы можемъ соединять слагаемыя въ какiя угодно группы и производить сложенiе въ какомъ-угодно порядкѣ, то мы можемъ соединить $m$ слагаемыхъ, равныхъ $a$, т. е. составить произведенiе $ma$, затѣмъ взять всѣ слагаемыя $b$, т. е. составить произведенiе $mb$, и наконецъ составить произведенiе $mn$. Такимъ образомъ мы получимъ

$ms=ma+mb+mc+....+mn$.

Чтобы показать, что намъ нужно помножить всю сумму $a+b+....+n$, нужно воспользоваться скобками; сообразно этому, пишемъ

$m(a+b+c+....+n)=ma+mb+mc+....+mn$.

(1)

Въ виду-же закона перемѣстительнаго при умноженiи, мы отсюда получаемъ также

$(a+b+c+....+n)m=am+bm+cm+....+nm$.

(2)

Тот же текст в современной орфографии

§ 9. Произведения сумм.

1. Положим, что в произведении двух сомножителей один из них представляет собой сумму нескольких слагаемых. В этом случае произведение можно представить в виде суммы такого же числа слагаемых, не производя сложения предварительно. Положим, например, что нам нужно помножить сумму $r$ слагаемых

$S=a+b+c+....+n$

на число $m$; согласно определению умножения, это произведение равно сумме $m$ слагаемых, равных $a$, $m$ слагаемых, равных $b$, и т. д.…, — $m$ слагаемых, равных $n$. Так как мы можем соединять слагаемые в какие угодно группы и производить сложение в каком угодно порядке, то мы можем соединить $m$ слагаемых, равных $a$, т. е. составить произведение $ma$, затем взять все слагаемые $b$, т. е. составить произведение $mb$, и наконец составить произведение $mn$. Таким образом мы получим

$ms=ma+mb+mc+....+mn$.

Чтобы показать, что нам нужно помножить всю сумму $a+b+....+n$, нужно воспользоваться скобками; сообразно этому, пишем

$m(a+b+c+....+n)=ma+mb+mc+....+mn$.

(1)

Ввиду же закона переместительного при умножении, мы отсюда получаем также

$(a+b+c+....+n)m=am+bm+cm+....+nm$.

(2)