[32]
§ 10. Возвышенiе въ степень.
1. Сложенiе равныхъ слагаемыхъ привело насъ къ умноженiю; точно такъ же умноженiе равныхъ сомножителей приводитъ къ новому дѣйствiю — возвышенiю въ степень.
Положимъ, что намъ нужно составить произведенiе сомножителей, которые всѣ равны между собой — именно равны, скажемъ, числу . Результатъ этой операцiи называется n-ой степенью числа и обозначается символомъ , такъ что
;
|
(1)
|
въ лѣвой части этого равенства подразумѣваемъ
сомножителей; число
называется
основанiемъ степени; говорятъ также короче „
въ
n-ой степени“. Вычислить
n-ую степень числа
значитъ „
возвысить число въ n-ую степень“.
Первая степень числа равна основанiю
.
|
(2)
|
Такъ какъ произведенiе всякаго числа на 1 даетъ въ результатѣ множимое, то при любомъ показателѣ
.
|
(3)
|
Въ частности, въ виду геометрическихъ приложенiй, вторая степень числа часто называется квадратомъ числа , а третья степень — кубомъ этого числа.
[33]Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно изъ опредѣленiя, заключается въ слѣдующемъ:
2. Чтобы перемножить двѣ степени одного и того же основанiя, достаточно сложить показателей; въ символахъ:
.
|
(4)
|
Справедливость этого равенства вытекаетъ изъ того, что справа и слѣва мы имѣемъ множителей, равныхъ . Это предложенiе при помощи индукцiи легко обобщается на произвольное число множителей.
,
|
(5)
|
каковы бы ни были числа
и каково бы ни было число ихъ
.
3. Если въ равенствѣ (5) всѣ показатели равны между собой, то оно выражаетъ следующую вторую теорему о степеняхъ:
Чтобы возвысить степень въ новую степень, достаточно перемножить показателей, т. е.:
.
|
|
4. Чтобы возвысить въ степень произведенiе нѣсколькихъ сомножителей, можно возвысить въ эту степень каждый изъ сомножителей въ отдельности и полученныя произведенiя перемножить:
|
|
Если здѣсь вновь будемъ считать всѣ основанiя равными между собой, то мы, въ силу соотношенiя (5), вновь получимъ предложеніе 3.
5. Если число больше , то тѣмъ больше, чѣмъ больше показатель ; можно также выбрать число настолько большимъ, чтобы было больше любого заданнаго числа . Въ этомъ легко убѣдиться индуктивнымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ, утвержденiе справедливо, если , потому что даже уже больше .
Если же , то . Такимъ образомъ, если наше утвержденiе справедливо для нѣкотораго значенiя , то оно справедливо также для .
Вмѣстѣ съ тѣмъ, если для нѣкотораго значенiя показателя , то тѣмъ болѣе , если имѣетъ значенiе большее, нежели .
6. Въ основанiи нашей десятичной системы счисленiя лежатъ степени числа . Число изображается съ нулями и образуетъ единицу n-го разряда. Число, изображаемое цифрами , имѣетъ значенiе
.
|
(7)
|
[34]Но чтобы мѣсто, занимаемое цифрой, могло служить для обозначенiя степени, необходимо также указать, какiя степени вовсе отсутствуютъ; для этого служитъ знакъ (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово „цифра“ первоначально обозначало только , и только позже это названiе было распространено на остальные знаки, выражающiе числа). Сообразно съ этимъ въ формулѣ (7) подъ нужно разумѣть одинъ изъ знаковъ:
.
|
|
Если при нѣкоторомъ вычисленiи число единицъ какого-либо разряда превышаетъ 9, то нужно пользоваться формулой
.
|
|
Такимъ образомъ правило умноженiя чиселъ въ десятичной системѣ основывается, какъ мы видимъ, на предложенiи § 9, 2.
При возвышенiи въ степень не имѣютъ мѣста ни перемѣстительный ни сочетательный законы, потому что имѣетъ другое значенiе, нежели (напр. , ); точно такъ же имѣетъ не то значенiе, что (напр. , ). Вслѣдствiе этой именно причины не образуютъ новыхъ дѣйствiй въ томъ порядкѣ идей, въ какомъ умноженiе составлено изъ сложенiя, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основанiе и показатель одно и то же число. Законы такой операцiи были бы очень сложны, а нужды практической жизни и науки не дѣлаютъ такого обобщенiя необходимымъ.