[32]§ 10. Возвышение в степень.
1. Сложение равных слагаемых привело нас к умножению; точно так же умножение равных сомножителей приводит к новому действию — возвышению в степень.
Положим, что нам нужно составить произведение сомножителей, которые все равны между собой — именно равны, скажем, числу . Результат этой операции называется n-ой степенью числа и обозначается символом , так что
;
|
(1)
|
в левой части этого равенства подразумеваем
сомножителей; число
называется
основанием степени; говорят также короче «
в
n-ой степени». Вычислить
n-ую степень числа
значит «
возвысить число в n-ую степень».
Первая степень числа равна основанию
.
|
(2)
|
Так как произведение всякого числа на 1 даёт в результате множимое, то при любом показателе
.
|
(3)
|
В частности, в виду геометрических приложений, вторая степень числа
часто называется
квадратом числа , а третья степень —
кубом этого числа.
[33]Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно из определения, заключается в следующем:
2. Чтобы перемножить две степени одного и того же основания, достаточно сложить показатели; в символах:
.
|
(4)
|
Справедливость этого равенства вытекает из того, что справа и слева мы имеем множителей, равных . Это предложение при помощи индукции легко обобщается на произвольное число множителей.
,
|
(5)
|
каковы бы ни были числа
и каково бы ни было число их
.
3. Если в равенстве (5) все показатели равны между собой, то оно выражает следующую вторую теорему о степенях:
Чтобы возвысить степень в новую степень, достаточно перемножить показатели, т. е.:
.
|
|
4. Чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, можно возвысить в эту степень каждый из сомножителей в отдельности и полученные произведения перемножить:
|
|
Если здесь вновь будем считать все основания равными между собой, то мы, в силу соотношения (5), вновь получим предложение 3.
5. Если число больше , то тем больше, чем больше показатель ; можно также выбрать число настолько большим, чтобы было больше любого заданного числа . В этом легко убедиться индуктивным путем. В самом деле, утверждение справедливо, если , потому что даже уже больше .
Если же , то . Таким образом, если наше утверждение справедливо для некоторого значения , то оно справедливо также для .
Вместе с тем, если для некоторого значения показателя , то тем более , если имеет значение большее, нежели .
6. В основании нашей десятичной системы счисления лежат степени числа . Число изображается с нулями и образует единицу n-го разряда. Число, изображаемое цифрами , имеет значение
.
|
(7)
|
[34]Но чтобы место, занимаемое цифрой, могло служить для обозначения степени, необходимо также указать, какие степени вовсе отсутствуют; для этого служит знак (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово «цифра» первоначально обозначало только , и только позже это название было распространено на остальные знаки, выражающие числа). Сообразно с этим в формуле (7) под нужно разуметь один из знаков:
.
|
|
Если при некотором вычислении число единиц какого-либо разряда превышает 9, то нужно пользоваться формулой
.
|
|
Таким образом правило умножения чисел в десятичной системе основывается, как мы видим, на предложении § 9, 2.
При возвышении в степень не имеют места ни переместительный, ни сочетательный законы, потому что имеет другое значение, нежели (напр. , ); точно так же имеет не то значение, что (напр. , ). Вследствие этой именно причины не образуют новых действий в том порядке идей, в каком умножение составлено из сложения, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основание и показатель одно и то же число. Законы такой операции были бы очень сложны, а ну́жды практической жизни и науки не делают такого обобщения необходимым.