Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 10

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава II. Натуральные числа. § 10. Возвышение в степень.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)
Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Индекс в Викитеке



[32]
§ 10. Возвышение в степень.

1. Сложение равных слагаемых привело нас к умножению; точно так же умножение равных сомножителей приводит к новому действию — возвышению в степень.

Положим, что нам нужно составить произведение сомножителей, которые все равны между собой — именно равны, скажем, числу . Результат этой операции называется n-ой степенью числа и обозначается символом , так что

; (1)
в левой части этого равенства подразумеваем сомножителей; число называется основанием степени; говорят также короче « в n-ой степени». Вычислить n-ую степень числа значит «возвысить число в n-ую степень».

Первая степень числа равна основанию

. (2)

Так как произведение всякого числа на 1 даёт в результате множимое, то при любом показателе

. (3)
В частности, в виду геометрических приложений, вторая степень числа часто называется квадратом числа , а третья степень — кубом этого числа. [33]

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно из определения, заключается в следующем:

2. Чтобы перемножить две степени одного и того же основания, достаточно сложить показатели; в символах:

. (4)

Справедливость этого равенства вытекает из того, что справа и слева мы имеем множителей, равных . Это предложение при помощи индукции легко обобщается на произвольное число множителей.

, (5)
каковы бы ни были числа и каково бы ни было число их .

3. Если в равенстве (5) все показатели равны между собой, то оно выражает следующую вторую теорему о степенях:

Чтобы возвысить степень в новую степень, достаточно перемножить показатели, т. е.:

.

4. Чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, можно возвысить в эту степень каждый из сомножителей в отдельности и полученные произведения перемножить:

Если здесь вновь будем считать все основания равными между собой, то мы, в силу соотношения (5), вновь получим предложение 3.

5. Если число больше , то тем больше, чем больше показатель ; можно также выбрать число настолько большим, чтобы было больше любого заданного числа . В этом легко убедиться индуктивным путем. В самом деле, утверждение справедливо, если , потому что даже уже больше .

Если же , то . Таким образом, если наше утверждение справедливо для некоторого значения , то оно справедливо также для .

Вместе с тем, если для некоторого значения показателя , то тем более , если имеет значение большее, нежели .

6. В основании нашей десятичной системы счисления лежат степени числа . Число изображается с нулями и образует единицу n-го разряда. Число, изображаемое цифрами , имеет значение

. (7)
[34]

Но чтобы место, занимаемое цифрой, могло служить для обозначения степени, необходимо также указать, какие степени вовсе отсутствуют; для этого служит знак (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово «цифра» первоначально обозначало только , и только позже это название было распространено на остальные знаки, выражающие числа). Сообразно с этим в формуле (7) под нужно разуметь один из знаков:

.

Если при некотором вычислении число единиц какого-либо разряда превышает 9, то нужно пользоваться формулой

.

Таким образом правило умножения чисел в десятичной системе основывается, как мы видим, на предложении § 9, 2.

При возвышении в степень не имеют места ни переместительный, ни сочетательный законы, потому что имеет другое значение, нежели (напр. , ); точно так же имеет не то значение, что (напр. , ). Вследствие этой именно причины не образуют новых действий в том порядке идей, в каком умножение составлено из сложения, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основание и показатель одно и то же число. Законы такой операции были бы очень сложны, а ну́жды практической жизни и науки не делают такого обобщения необходимым.




 


Это произведение было опубликовано до 7 ноября 1917 года (по новому стилю) на территории Российской империи (Российской республики), за исключением территорий Великого княжества Финляндского и Царства Польского, и не было опубликовано на территории Советской России или других государств в течение 30 дней после даты первого опубликования.

Поскольку Российская Федерация (Советская Россия, РСФСР), несмотря на историческую преемственность, юридически не является полным правопреемником Российской империи, а сама Российская империя не являлась страной-участницей Бернской конвенции об охране литературных и художественных произведений, то согласно статье 5 конвенции это произведение не имеет страны происхождения.

Исключительное право на это произведение не действует на территории Российской Федерации, поскольку это произведение не удовлетворяет положениям статьи 1256 Гражданского кодекса Российской Федерации о территории обнародования, о гражданстве автора и об обязательствах по международным договорам.

Это произведение находится также в общественном достоянии в США (public domain), поскольку оно было опубликовано до 1 января 1929 года.