ЭСБЕ/Ультраэллиптические интегралы и функции

Ультраэллиптические интегралы и функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Углерод — Усилие. Источник: т. XXXIVa (1902): Углерод — Усилие, с. 716—717 ( скан ) • Другие источники: БСЭ1
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Ультраэллиптические интегралы и функции. — Квадратуры вида: , где есть целый полином степени выше четвертой относительно , a — какая-либо рациональная функция от и называются У. или гиперэллиптическими интегралами.

Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.

Если есть полином 5-й или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:

всегда возможно интеграл с полиномом шестой степени относительно привести к интегралу с полиномом пятой степени относительно .

Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:

 

 

 

(1)

где , а величины — постоянные, называются ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они конечны для всех значений переменной .

Если интеграл 1-го класса приводится к виду

то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он обращается в бесконечность алгебраически при . Интеграл, приводящийся к виду:

называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода; он обращается в бесконечность логарифмически при .

Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений

 

 

 

(2)

то и , как функции от и суть корни квадратного уравнения:

в котором , и суть однозначные функции от и .

Якоби показал, что , и суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим и через

,

где , , , суть какие-либо целые числа, a , , , и , , , периоды двух интегралов в равенствах (2).

Требовалось определить те функции от и , которые выражали бы и и соответствующие им значения и , удовлетворяющие уравнениям (2).

Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями (тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.

Функция от двух аргументов и выражается двойным бесконечным рядом.

где:

и где, в сумме, целые числа имеют всевозможные величины от до и целые числа имеют всевозможные величины от до . Величины , , , , , , суть постоянные.

Совокупность постоянных , , , называется характеристикою функций . При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций , а именно соответствующих характеристикам: . . . . и т. д., при которых , , , суть либо нули, либо единицы.

Функция с характеристикой обозначается просто через .

По изучении свойств этих функций оказалось, что и , а также и выражаются рационально в функциях от двух аргументов и .

Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых. Д. Б.