ЭСБЕ/Ультраэллиптические интегралы и функции

Ультраэллиптические интегралы и функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Углерод — Усилие. Источник: т. XXXIVa (1902): Углерод — Усилие, с. 716—717 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Ультраэллиптические интегралы и функции. — Квадратуры вида: $\int F\left(x,{\sqrt {X}}\right)dx$, где ${X}$ есть целый полином степени выше четвертой относительно $x$, a $F$ — какая-либо рациональная функция от $x$ и ${\sqrt {X}}$ называются У. или гиперэллиптическими интегралами.

Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.

Если $X$ есть полином 5-й или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:

$x={\frac {a+by}{c+fy}}$

всегда возможно интеграл с полиномом $X$ шестой степени относительно $x$ привести к интегралу с полиномом $Y$ пятой степени относительно $y$.

Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:

$\int \limits _{a}^{x}{\frac {\alpha +\beta x}{\sqrt {R}}}dx,$

(1)

где $R=x(1-x)(1-\varkappa ^{2}x)(1-\lambda ^{2}x)(1-\mu ^{2}x)$, а величины $a,\alpha ,\beta ,\varkappa ,\lambda ,\mu$ — постоянные, называются ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они конечны для всех значений переменной $x$.

Если интеграл 1-го класса приводится к виду

$\int {\frac {x^{2}(\alpha +\beta x)}{\sqrt {R}}}dx$

то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он обращается в бесконечность алгебраически при $x=\infty$. Интеграл, приводящийся к виду:

$\int {\frac {dx}{(x-a){\sqrt {R}}}}$

называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода; он обращается в бесконечность логарифмически при $x=a$.

Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений

$\left.{\begin{aligned}\int \limits _{a}^{x_{1}}{\frac {\alpha _{1}+\beta _{1}x}{\sqrt {R(x)}}}dx+\int \limits _{b}^{x_{2}}{\frac {\alpha _{1}+\beta _{1}x}{\sqrt {R(x)}}}dx=u_{1}\\\int \limits _{a}^{x_{1}}{\frac {\alpha _{2}+\beta _{2}x}{\sqrt {R(x)}}}dx+\int \limits _{b}^{x_{2}}{\frac {\alpha _{2}+\beta _{2}x}{\sqrt {R(x)}}}dx=u_{2}\end{aligned}}\right\}$

(2)

то $x_{1}$ и $x_{2}$, как функции от $u_{1}$ и $u_{2}$ суть корни квадратного уравнения:

$Nx^{2}+Mx+L=0,$

в котором $N$, $M$ и $L$ суть однозначные функции от $u_{1}$ и $u_{2}$.

Якоби показал, что $L$, $M$ и $N$ суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим $u_{1}$ и $u_{2}$ через

$u_{1}+n_{1}A_{1}+n_{2}B_{1}+n_{3}C_{1}+n_{4}D_{1}$ $u_{2}+n_{1}A_{2}+n_{2}B_{2}+n_{3}C_{2}+n_{4}D_{2}$,

где $n_{1}$, $n_{2}$, $n_{3}$, $n_{4}$ суть какие-либо целые числа, a $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ и $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$, $D_{2}$ периоды двух интегралов в равенствах (2).

Требовалось определить те функции от $u_{1}$ и $u_{2}$, которые выражали бы $x_{1}$ и $x_{2}$ и соответствующие им значения ${\sqrt {R(x_{1})}}$ и ${\sqrt {R(x_{2})}}$, удовлетворяющие уравнениям (2).

Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями $\Theta$ (тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.

Функция $\Theta$ от двух аргументов $u_{1}$ и $u_{2}$ выражается двойным бесконечным рядом.

$\Theta {\begin{bmatrix}g_{1}g_{2}\\h_{1}h_{2}\end{bmatrix}}=\sum _{n_{1}n_{2}}e^{z+\Phi }$

где:

$z=2\left(n_{1}+{\frac {g_{1}}{2}}\right)\left(u_{1}+{\frac {h_{1}}{2}}\pi i\right)+2\left(n_{2}+{\frac {g_{2}}{2}}\right)\left(u_{2}+{\frac {h_{2}}{2}}\pi i\right)$ $\Phi =\left(n_{1}+{\frac {g_{1}}{2}}\right)^{2}\tau _{11}+2\left(n_{1}+{\frac {g_{1}}{2}}\right)\left(n_{2}+{\frac {g_{2}}{2}}\right)\tau _{12}+\left(n_{2}+{\frac {g_{2}}{2}}\right)^{2}\tau _{22}$

и где, в сумме, целые числа $n_{1}$ имеют всевозможные величины от $-\infty$ до $+\infty$ и целые числа $n_{2}$ имеют всевозможные величины от $-\infty$ до $+\infty$. Величины $g_{1}$, $g_{2}$, $h_{1}$, $h_{2}$, $\tau _{11}$, $\tau _{12}$, $\tau _{22}$ суть постоянные.

Совокупность постоянных $g_{1}$, $g_{2}$, $h_{1}$, $h_{2}$ называется характеристикою функций $\Theta$. При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций $\Theta$, а именно соответствующих характеристикам: $\left[{\begin{smallmatrix}00\\00\end{smallmatrix}}\right];\left[{\begin{smallmatrix}01\\00\end{smallmatrix}}\right];\left[{\begin{smallmatrix}10\\00\end{smallmatrix}}\right];\left[{\begin{smallmatrix}11\\00\end{smallmatrix}}\right]$ . . . . и т. д., при которых $g_{1}$, $g_{2}$, $h_{1}$, $h_{2}$ суть либо нули, либо единицы.

Функция $\Theta$ с характеристикой $\left[{\begin{smallmatrix}00\\00\end{smallmatrix}}\right]$ обозначается просто через $\Theta (u_{1},u_{2})$.

По изучении свойств этих функций $\Theta$ оказалось, что $x_{1}$ и $x_{2}$, а также ${\sqrt {R(x_{1})}}$ и ${\sqrt {R(x_{2})}}$ выражаются рационально в функциях $\Theta$ от двух аргументов $u_{1}$ и $u_{2}$.

Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций $\Theta$ от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых. Д. Б.