Ультраэллиптические интегралы и функции. — Квадратуры вида:
, где
есть целый полином степени выше четвертой относительно
, a
— какая-либо рациональная функция от
и
называются У. или гиперэллиптическими интегралами.
Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.
Если
есть полином 5-й или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:
всегда возможно интеграл с полиномом
шестой степени относительно
привести к интегралу с полиномом
пятой степени относительно
.
Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{x}{\frac {\alpha +\beta x}{\sqrt {R}}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cf1da2e823e941d32e62185591ec0f5ae37961)
|
|
(1)
|
где
, а величины
— постоянные, называются ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они конечны для всех значений переменной
.
Если интеграл 1-го класса приводится к виду
то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он обращается в бесконечность алгебраически при
. Интеграл, приводящийся к виду:
называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода; он обращается в бесконечность логарифмически при
.
Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\int \limits _{a}^{x_{1}}{\frac {\alpha _{1}+\beta _{1}x}{\sqrt {R(x)}}}dx+\int \limits _{b}^{x_{2}}{\frac {\alpha _{1}+\beta _{1}x}{\sqrt {R(x)}}}dx=u_{1}\\\int \limits _{a}^{x_{1}}{\frac {\alpha _{2}+\beta _{2}x}{\sqrt {R(x)}}}dx+\int \limits _{b}^{x_{2}}{\frac {\alpha _{2}+\beta _{2}x}{\sqrt {R(x)}}}dx=u_{2}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5246c870677588e82eb9dedd1ee80bba7fb00a)
|
|
(2)
|
то
и
, как функции от
и
суть корни квадратного уравнения:
в котором
,
и
суть однозначные функции от
и
.
Якоби показал, что
,
и
суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим
и
через
,
где
,
,
,
суть какие-либо целые числа, a
,
,
,
и
,
,
,
периоды двух интегралов в равенствах (2).
Требовалось определить те функции от
и
, которые выражали бы
и
и соответствующие им значения
и
, удовлетворяющие уравнениям (2).
Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями
(тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.
Функция
от двух аргументов
и
выражается двойным бесконечным рядом.
где:
и где, в сумме, целые числа
имеют всевозможные величины от
до
и целые числа
имеют всевозможные величины от
до
. Величины
,
,
,
,
,
,
суть постоянные.
Совокупность постоянных
,
,
,
называется характеристикою функций
. При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций
, а именно соответствующих характеристикам:
. . . .
и т. д., при которых
,
,
,
суть либо нули, либо единицы.
Функция
с характеристикой
обозначается просто через
.
По изучении свойств этих функций
оказалось, что
и
, а также
и
выражаются рационально в функциях
от двух аргументов
и
.
Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций
от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых.
Д. Б.