БСЭ1/Гиперэллиптические функции

Гиперэллиптические функции
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Гимназия — Горовицы. Источник: т. XVII (1930): Гимназия — Горовицы, стлб. 59 ( РГБ )

ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Интеграл вида:

$I=\int \limits _{a_{0}}^{a}R(x,{\sqrt {\ P}})dx,$

где $P$ — многочлен относительно $x$, a $R$ — рациональная функция входящих в нее аргументов, выражается в элементарных функциях, если степень $P$ не выше двух; в противном случае этот интеграл, вообще говоря, есть некоторая новая функция от $a$; в случае, когда многочлен $P$ третьей или четвертой степени, интеграл $I$ называется эллиптическим; если степень $P$ еще выше, он называется гиперэллиптическим, или ультраэллиптическим. Рассматривая обратно а как функцию от $I$, мы в этом случае имеем дело с Г. ф. (или ультраэллиптической функцией). Начало изучения Г. ф. было положено классическими трудами Абеля (см.) в 30-х гг. прошлого столетия. В дальнейшем развитии теории Г. ф. приняли участие Якоби, Эрмит, Вейерштрас, Риман и др. Важнейшие исследования относятся к Г. ф. «первого класса», соответствующим многочлену $P$ пятой или шестой степени; для наиболее значительных случаев здесь получена возможность аналитического представления Г. ф. с помощью рядов, и установлены для Г. ф. «теоремы сложения», аналогичные тем, какие имеют место для эллиптических функций (см.). С теорией Г. ф. лучше всего знакомят сочинения Абеля, Якоби и Эрмита.