ЭСБЕ/Гиперболические функции

Гиперболические функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Германия — Го. Источник: т. VIIIa (1893): Германия — Го, с. 719—720 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Гиперболические функции. — По аналогии с тригонометрическими функциями $\sin \,x$, $\cos \,x$, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул $\sin \,x={\frac {e^{xi}-e^{-xi}}{2i}}$, $\cos \,x={\frac {e^{xi}+e^{-xi}}{2}}$ (где е есть основание нэперовых логарифмов, a $i={\sqrt {-1}}$); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции $\operatorname {sinhyp} ,x$, $\operatorname {coshyp} \,x$. Эти функции определяются при помощи уравнений $\operatorname {sinhyp} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},$ $\operatorname {coshyp} \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}.$ Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z. Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора $=z={\frac {1}{2}}R\cdot \mathrm {\stackrel {\smile }{AB}} ,$ но $R=1;$ CD для круга будет $\sin \,2z,$ a OD будет $\cos \,2z.$ Подобным же образом для гиперболы OD будет $\operatorname {coshyp} \,2z,$ a CD будет $\operatorname {sinhyp} \,2z.$ Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде $x^{2}+y^{2}=1,\,$ а уравнение гиперболы в виде $x^{2}-y^{2}=1;\,$ отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение $\operatorname {coshyp} ^{2}\,x-\operatorname {sinhyp} ^{2}\,x=1,$ аналогичное с тригонометрическим $\cos ^{2}\,x+\sin ^{2}\,x=1.$ Кроме того, можно вводить функцию $\operatorname {tghyp} \,x={\frac {\operatorname {sinhyp} \,x}{\operatorname {coshyp} \,x}}.$ Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами: $\operatorname {sinhyp} \,(x+y)=\operatorname {sinhyp} \,x\times \operatorname {coshyp} \,y+\operatorname {coshyp} \,x\times \operatorname {sinhyp} \,y$ и $\operatorname {coshyp} \,(x+y)=\operatorname {coshyp} \,x\times \operatorname {coshyp} \,y-\operatorname {sinhyp} \,x\times \operatorname {sinhyp} \,y.$

Д. Гр.