ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, определяемые формулами:
![{\displaystyle \operatorname {coshyp} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2891fb5280faaeedc33221a98c71b018cd71f0d)
![{\displaystyle \operatorname {sinhyp} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a7f4c4437045199821ce0b046c6e7f6c6b0ac5)
Первая из этих функций называется гиперболическим косинусом, а вторая — гиперболическим синусом. Г. ф. имеют такое же отношение к гиперболе, как обычные тригонометрические функции (косинус и синус) к окружности. Для всякого
, как вытекает прямо из определения,
![{\displaystyle (\operatorname {coshyp} x)^{2}-(\operatorname {sinhyp} x)^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b047fd56352a50aaf36e1415937dd53b09f3487a)
что представляет аналогию известной тригонометрической связи
. Следствием этого соотношения является то, что точка с координатами
и
, движение которой в плоскости определяется законом
,
, имеет своей траекторией равностороннюю гиперболу с уравнением
, совершенно подобно тому, как закон
определяет движение по окружности. Отсюда непосредственно следует, что Г. ф. геометрически определяются из рассмотрения полученной равносторонней гиперболы по тем же правилам, как тригонометрические функции — из рассмотрения окружности радиуса 1. Аналогия простирается и дальше: для Г. ф. имеют место теоремы сложения, совершенно аналогичные соответствующим теоремам для функций тригонометрических, а именно:
![{\displaystyle \operatorname {sinhyp} (a+b)=\operatorname {sinhyp} a\ \cdot \operatorname {coshyp} b+\operatorname {sinhyp} b\ \cdot \operatorname {coshyp} a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0ca1a6534deb8184d23e87bd1d2358c0f1158e)
![{\displaystyle \operatorname {coshyp} (a+b)=\operatorname {coshyp} a\ \cdot \operatorname {coshyp} b+\operatorname {sinhyp} b\ \cdot \operatorname {sinhyp} a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb39969067504958882cfd6bd9052d1adaae23d1)
![{\displaystyle \operatorname {sinhyp} (2a)=2\operatorname {coshyp} a\ \cdot \operatorname {sinhyp} a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80342928b601f12703aa9a799bfe06e68389c11b)
![{\displaystyle \operatorname {coshyp} (2a)=(\operatorname {coshyp} a)^{2}+(\operatorname {sinhyp} a)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee7a4c8c5f5e9db90eb277aa0efbf1ce08f3b22)
и ряд др. аналогичных. Наряду с косинусом и синусом иногда вводят в рассмотрение т. н. гиперболический тангенс:
![{\displaystyle \operatorname {taghyp} x={\frac {\operatorname {sinhyp} x}{\operatorname {coshyp} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8780f5e74ae786a9a2c83aeb070a28a630d885)
В последнее время Г. ф. получили широкое применение в теории переменного тока.