ЭСБЕ/Арифметически-геометрическая средняя

Арифметически-геометрическая средняя
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Араго — Аутка. Источник: т. II (1890): Араго — Аутка, с. 99 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Арифметически-геометрическая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и g < a. Составим их арифметическую среднюю $\mathrm {a_{1}}$ и геометрическую среднюю $\mathrm {g_{1}} ,$ т. е. найдем $\mathrm {a_{1}={\tfrac {1}{2}}(a+g)}$ и $\mathrm {g_{1}={\sqrt {ag}}} .$ Таким же образом составим $\mathrm {a_{2}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+g_{1})}$ и $\mathrm {g_{2}={\sqrt {a_{1}g_{1}}}}$ и т. д. Числа $\mathrm {a,a_{1},a_{2}:}$ и $\mathrm {g,g_{1},g_{2}:}$ будут представлять убывающий ряд, вторые возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-геометрическая средняя. Означим ее AG. Напр. а = 2 g = 1. Последовательно находим

a1 = 1.5000000	g1 = 1.4132136
а2 = 1.3737734	g2 = 1.3731462
а3 = 1.3734598	g3 = 1.3734596
а4 = 1.3734597	g4 = 1.3734597

Итак, AG(2, 1) = 1.3734597

А.-геометрическая средняя играет роль в вычислении эллиптических интегралов. А именно, Гадес показал, что

$\mathrm {{\frac {2K}{\pi }}=1:AG(1+k,1-k)} .$

Он же вычислил таблицу AG между единицей и синусами углов от 0 до 90° через полуградус (Гаусс, «Werke», Bd. III).