ЭСБЕ/Арифметически-гармоническая средняя

Арифметически-гармоническая средняя
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Араго — Аутка. Источник: т. II (1890): Араго — Аутка, с. 99 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Арифметически-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю $\mathrm {a_{1}}$ и гармоническую среднюю $\mathrm {h_{1}} ,$ т. е. найдем $\mathrm {a_{1}={\tfrac {1}{2}}(a+h)}$ и $\mathrm {h_{1}={\frac {2ah}{a+h}}} ;$ таким же образом составим $\mathrm {a_{2}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+h_{1})}$ и $\mathrm {h_{2}={\frac {2a_{1}h_{1}}{a_{1}+h_{1}}}}$ и т. д. Числа $\mathrm {a,a_{1},a_{2}:}$ и $\mathrm {h,h_{1},h_{2}:}$ будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, $\mathrm {h_{1}={\frac {2ah}{a+h}}={\frac {ah}{a_{1}}}} ,$ след. $\mathrm {a_{1}h_{1}=ah} ;$ точно так же $\mathrm {a_{2}h_{2}=a_{1}h_{1}=ah} ,$ что треб. док., наконец, $\mathrm {a^{n}h^{n}=h} .$ Но $\mathrm {a_{\infty }=h_{\infty }=b_{2}} ,$ если b есть АН между а и h; итак, $\mathrm {b={\sqrt {ah}}} ,$ ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. $\mathrm {AH(a,1)={\sqrt {a}}} .$ Итак, чтобы найти ${\sqrt {\mathrm {a} }},$ можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю $\mathrm {a_{1}}$ из а и 1 и гармоническую среднюю $\mathrm {h_{1}}$ из а и 1; затем арифметическую среднюю $\mathrm {a_{2}}$ из $\mathrm {a_{1}}$ и $\mathrm {h_{1}}$ и гармоническую среднюю $\mathrm {h_{2}}$ из $\mathrm {a_{1}}$ и $\mathrm {h_{1}}$ и т. д., числа $\mathrm {a_{i}}$ и $\mathrm {h_{i}}$ будут быстро сходиться и стремиться к пределу = ${\sqrt {\mathrm {a} }}$. Прим. а = 2, h = 1

а1 = 1.5000000	h1 = 1.3333333
а2 = 1.4166666	h2 = 1.4117647
а3 = 1.4142157	h3 = 1.4142114
а4 = 1.4142136	h4 = 1.4142136,

итак, ${\sqrt {2}}$ = 1.4142186, ч. треб. док.