Арифметически-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю
и гармоническую среднюю
т. е. найдем
и
таким же образом составим
и
и т. д. Числа
и
будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле,
след.
точно так же
что треб. док., наконец,
Но
если b есть АН между а и h; итак,
ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е.
Итак, чтобы найти
можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю
из а и 1 и гармоническую среднюю
из а и 1; затем арифметическую среднюю
из
и
и гармоническую среднюю
из
и
и т. д., числа
и
будут быстро сходиться и стремиться к пределу =
. Прим. а = 2, h = 1
а1 = 1.5000000 |
h1 = 1.3333333
|
а2 = 1.4166666 |
h2 = 1.4117647
|
а3 = 1.4142157 |
h3 = 1.4142114
|
а4 = 1.4142136 |
h4 = 1.4142136,
|
итак,
= 1.4142186, ч. треб. док.