О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/5

Об образовании кривой при помощи двух проективных пучков — Art. 5. О сетях кривых второго порядка
автор Луиджи Кремона, пер. Участник:Bkmd

Оригинал: итальянский. — Перевод опубл.: 1864. Источник: Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1915. T. 2. Pag. 144 и сл.

21. Пусть задана сеть коник; попытаемся рассмотреть их как поляры, взятые относительно некоторой неизвестной кривой $C_{3}$ третьего порядка. ^[1] Пусть $A_{1},A_{2},A_{3}$ — три коники этой сети, не описанные вокруг одного четырехугольника; не ограничивая общности рассмотрения, будем предполагать, что $A_{1},A_{2}$ — две пары прямых, пересекающихся в точках $o_{1},o_{2}$ соответственно, а $A_{3}$ проходит через эти две точки. Пусть $o_{3}$ — третья диагональная точка четырехугольника, образованного четырьмя пересечениями $A_{1},A_{2}$ , а $a_{1},a_{2},a_{3}$ — неизвестные полюса этих трех коник.

[Разыщем эти полюса.] Поскольку полярная прямая $a_{2}A_{1}$ должна совпадать в силу теоремы § 6 с полярной прямой $a_{1}A_{2}$ , эта поляра неизбежно совпадает с прямой $o_{1}o_{2}$ ; следовательно, точки $a_{1},a_{2}$ лежат на прямых $o_{2}o_{3},o_{1}o_{3}$ соответственно.^[2] Поляра $a_{1}A_{3}$ должна быть также полярой $a_{3}A_{1}$ , и поэтому она должна проходить через точку $o_{1}$ ; то есть $a_{1}$ лежит на касательной к конике $A_{3}$ в $o_{1}$ . Аналогично, точка $a_{2}$ лежит на касательной к конике $A_{3}$ в $o_{2}$ .

Поскольку прямые $a_{1}A_{3}=o_{1}\omega _{1}$ и $a_{2}A_{3}=o_{2}\omega _{2}$ являются также полярами для $a_{3}$ относительно $A_{1}$ и $A_{2}$ , в точке $a_{3}$ пересекаются прямая, гармонически сопряженная к $o_{1}\omega _{1}$ относительно двух прямых $A_{1}$ , и прямая, гармонически сопряженная к $o_{2}\omega _{2}$ относительно двух прямых $A_{2}$ .

Теперь можно построить полюс $a$ любой другой коники $A$ сети, поскольку полюс $a$ является, относительно $A_{3}$ , полюсом прямой $a_{3}A$ .

И наоборот, пусть задана точка $a$ , тогда можно определить ее полярную конику $A$ , напр., следующим способом. Проведем прямую $R$ , соединяющую полюса двух коник сети, проходящих через $a$ . Искомая коника $A$ будет та, относительно которой точка $a$ является полюсом прямой $R$ .^[3]

Это позволяет определить пересечения фундаментальной кубики $C_{3}$ с произвольной секущей $T$ . Если $x$ — точка на $T$ , то полярная коника $xC_{3}$ пересекает прямую $T$ в двух точках $y$ . И наоборот, если взять на прямой $T$ точку $y$ , полярные коники, проходящие через точку $y$ , имеют своими полюсами точки на полярной прямой $y^{2}C_{3}$ , которая пересекает $T$ в одной единственной точке $x$ . Поэтому пара точек $y$ образует квадратичную инволюцию, проективную простому ряду точек $x$ . Три общие точки этих двух рядов являются именно теми точками прямой $T$ , которые лежат на соответствующей им поляной конике, то есть точками, в которых фундаментальная кубика пересекает секущую $T$ .

22. Обратимся теперь к частному случаю и предположим, что в сети имеется коника, составленная из одной прямой $P$ , взятой два раза, такую конику обозначим как $P^{2}$ . Если также и в этом случае коники сети образуют систему поляр, то каждая точка прямой $P$ должна быть полюсом коники, имеющей двойную точку [в полюсе $p$ коники $P^{2}$ ] (Introd. 78); но с другой стороны полярные коники для точек прямой образуют некоторый пучок, следовательно, в сети имеется пучок, все коники которого имеют двойную точку [в точке $p$ ]. Такой пучок не может быть ничем иным, как почку пар прямых [проходящих через $p$ ] в инволюции, причем ее двойные лучи — $Q,R$ — дают две новые коники $Q^{2},R^{2}$ сети. Отсюда следует в силу теоремы Introd. 79, что прямые $P,Q,R$ образуют трехсторонник, каждая сторона которого, считаемая два раза, составляет полярную конику для противоположной вершины.

Этих трех коник $P^{2},Q^{2},R^{2}$ , по причине их особой природы, не достаточно для задания всей системы полюсов, то есть задача нахождения фундаментальной кривой остается неопределенной. Она станет определенной, если для другой конике сети, не сводящейся к паре прямых, мы укажем произвольным образом полюс, лежащий вне прямых $P,Q,R$ .

Коника сети, которая должна пройти через две заданные точки $o,o'$ , определяется обычным методом (Introd. 77a). Та коника пучка $(P^{2},Q^{2})$ , которая проходит через точку $o$ , является парой прямых, образующих гармоническую систему относительно пары $P,Q$ , и аналогично коника пучка $(P^{2},R^{2})$ , проходящая через $o$ , является парой прямых, гармонически сопряженных относительно пары $P,R$ . Объединение этих двух коник доставляет полный четырехсторонник, диагональным треугольником которого является $PQR$ . Искомая коника — та, которая проходит через вершины этого четырехугольника и через точку $o'$ , следовательно, для нее $PQR$ — сопряженный треугольник. Таким образом все коники сети сопряжены относительно одного и того же треугольника.^[4]

Гессиана в этом случае составлена из трех прямых $P,Q,R$ Introd., 110b, и, следовательно, фундаментальная кубика является эквигармонической в силу Introd. 145.

Отсюда получается, что сеть не может содержать четвертую конику, составленную из одной прямой, взятой дважды. Это очевидно, поскольку такая прямая должна быть необходимо частью гессианы, которая, будучи линией третьего порядка, не может состоять более чем из трех прямых.

23. В предположении существования коники $P^{2}$ в сети коник, для того, чтобы эта сеть являлась системой поляр, необходимо, чтобы точки $P$ являлись полюсами коник, составленных из пар прямых одного пучка в инволюции. Если эта инволюция имеет два двойных луча $Q,R$ , различных между собой и отличных от прямой $P$ , мы получаем случай, уже рассмотренный выше (22). Предположим теперь напротив, что два двойных луча совпадают, то есть что все названные пары имеют одну общую прямую $Q$ , в этом случае, из трех сторон трехстронника $PQR$ две, именно $Q,R$ , совпадают, поэтому гессиана содержит прямую $Q$ , считаемую два раза, и прямую $P$ . (Этот же случай получается, если один из двух двойных лучей инволюции, допустим различных, совпадает с прямой $P$ ).

Точки прямой $Q$ являются полюсами коник, образованных парами прямых, гармонически сопряженных с $P,Q$ , а точки прямой $P$ — полюсами коник, составленных их постоянной прямой $Q$ и подвижной прямой, вращающейся вокруг некоторой постоянной точки $o$ прямой $Q$ . Точка $P\cap Q$ , будучи точкой обеих прямых, будет полюсом коники $Q^{2}$ , а точка $o$ , двойная точка полярных коник для точек прямой $P$ , является полюсом коники $P^{2}$ . Легко видеть, что точно так же, как в рассмотренном выше случае точки $Q\cap R,R\cap P,P\cap Q$ были полюсами прямых $P,Q,R$ относительно всех коник сети, и в этом случае точки $o$ и $P\cap Q$ являются полюсами прямых $P,Q$ относительно всех коник сети. ^[5]

Из сказанного получается, что все коники сети касаются прямой $Q$ в точке $P\cap Q$ ^[6], и, поскольку эта точка является полюсом поляры $Q^{2}$ , фундаментальная кубика должна иметь точку возврата в $P\cap Q$ с касательной $Q$ . Прямая $P$ (которая в предыдущем более общем случае содержала три точки перегиба кубики) в этом случае соединяет точку возврата с одной точкой перегиба фундаментальной кривой. Полярная коника для точки перегиба составлена из прямой $Q$ и стационарной касательной, следовательно, точка $o$ — это точка пересечения касательной возврата со стационарной касательной.

24. Может представится еще более частный случай, когда все три стороны сопряженного треугольника $PQR$ сливаются в одну и ту же сторону $P$ . Тогда ясно, что каждая точка прямой $P$ будет полюсом коники, составленной из той же прямой $P$ и некоторой другой прямой, вращающейся вокруг постоянной точки $o$ прямой $P$ , эта точка $o$ будет полюсом коники $P^{2}$ . Следовательно, все коники сети имеют между собой трехточечное касание в точке $o$ и касательную $P$ , а все точки этой прямой принадлежат фундаментальной кубике, которая, таким образом, оказывается составленной из прямой $P$ и коники, касающейся прямой $P$ в точке $o$ . ^[7]

Конечно гессианой в этом случае является прямая $P$ , взятая три раза.

25. Предыдущие рассмотрения указывают на след. обстоятельство: если сеть содержит или одну конику $P^{2}$ или две коники $P^{2},Q^{2}$ , то для существования фундаментальной кубики необходимо, чтобы коники сети можно было рассматривать как сопряженные относительно одного и того же треугольника, три или две стороны которого сливаются в одну, иными словами необходимо, чтобы в первом случае все коники сети имели между собой трехточечное касание с общей касательной $P$ , а во втором случае, чтобы коники сети касались одной из двух прямых $P,Q$ в точке пересечения этих прямых, а относительно второй имели один и тот же неподвижный полюс.

Но если сеть содержит одну или две коники, составленные из пары совпадающих прямых, и не удовлетворяет названным условиям, то коники сети не составляют систему поляр. Так происходит, напр., если сеть задана коникой $P^{2}$ и двумя кониками, которые не пересекают $P$ в одних и тех же точках; если сеть образована кониками, пересекающими прямую $P$ в двух постоянных точках и относительно которых третья постоянная точка прямой $P$ имеет в качестве полярной заданную прямую; если сеть содержит две коники $P^{2},Q^{2}$ и третью произвольную конику, не проходящую через точку $P\cap Q$ ; и т. д. В первом из этих случаев якобиана ссотавлена из прямой $P$ и некоторой коникой, пресекающей прямую $P$ в точках, гаромнически сопряженных относительно коник сети; во втором случае якобиана содержит прямую $P$ два раза и еще вторую заданную прямую, являющуюся полярой для одной из точек прямой $P$ относительно всех коник сети; в третьем случае якобиана составлена из двух прямых $P,Q$ и хорды касания той коники сети, которая касается прямых $P$ и $Q$ .

Мы пришли к след. итогу: задача «по заданной сети коник найти кубику, относительно которой коники являются полярами точек плоскости» допускает одно и при том единственное решение всегда, когда сеть не содержит коник, составленных из пары совпадающих прямых. Если же имеется одна или две такие коники, то задача допускает несколько или бесконечно много решений: бесконечно много решение получается также и в случае, когда сеть содержит три такие особые коники. В тех случаях, когда проблема остается неопределенной, каждое решение выделяется путем фиксации произвольным образом полюса одной из коник сети, не составленной их двух совпадающих коник.

Примечания

↑ Выше в § 13 было показано, что сеть коник в общем случае является сетью поляр для некоторой кубики. Теперь автор, не упуская частных случаев, исследовать разрешимость задачи об отыскании этой кривой по заданной сети. Ход рассмотрения следующий: сначала автор допускает, что сеть является сетью поляр и находит или способ построения этой кубики по трем заданным коникам сети, или противоречие. В первом случае, отказавшись от предположения о том, что сеть является сетью поляр, указанным способом можно построить кубику, сеть поляр для которой имеет три общих элемента с заданной сетью, а следовательно с ней совпадает. — Перев.
↑ Из $o_{2}\in a_{2}A_{1}$ следует, что $a_{2}\in o_{2}A_{1}=o_{1}o_{3}$ , последнее равенство верно в силу 108b. — Перев.
↑ Прямая $R=a^{2}C_{3}$ образована таким точками $b$ , что коники $bC_{3}$ проходят через точку $a$ ; пучок таких коник известен, если задана точка $a$ . — Перев.
↑ Сказанное проще доказать алгебраически: трехсторонник $PQR$ является сопряженным относительно любой коники $A=aC_{3}$ сети, поскольку $pA=paC_{3}=aP^{2}=P$ и т. д. Согласно Introd. 108e, все коники, сопряженные к заданному треугольнику, составляют сеть. — Перев.
↑ Порядок изложение кажется не совсем логичным. Вероятно, следовало начать с того, что квадратичная инволюция имеет одну двойную точку, когда один из двух лучей остается неподвижным. Поэтому точкам прямой $P$ отвечает указанный в тексте пучок коник. Если точка $a\in Q$ , то $a^{2}\in Q^{2}=qC_{3}$ , то есть $q^{2}\in a^{3-1-1}C_{3}=aC_{3}$ и поэтому точка $q$ является двойной для всех точек пучка коник, полюса которых лежат на $Q$ . Для полюса $r\in P\cap Q$ поляра должна с одной стороны представлять собой пару $Q\cup R$ , пересекающуюся в точке $o\in Q$ , а с другой — пару прямых, пересекающихся в точке $q\in P$ . Если точка $o$ не совпадает с $r$ , то описанное возможно, если $R=Q$ и $r=q$ . Из чего легко получаются прочие утверждения, приведенные в этом абзаце. — Перев.
↑ Для доказательства следует заметить, что прямая $raC_{3}=arC_{3}=aQ^{2}=Q$ содержит $r=P\cap Q$ . — Перев.
↑ Опять обратный порядок: если $a\in P$ , то $a^{2}C_{3}=P$ и поэтому $a\in C_{3}$ , то есть $C_{3}=P\cup C_{2}$ . Касательной к $C_{2}$ в точке $o$ оказывается $P$ . — Перев.

[1] Выше в § 13 было показано, что сеть коник в общем случае является сетью поляр для некоторой кубики. Теперь автор, не упуская частных случаев, исследовать разрешимость задачи об отыскании этой кривой по заданной сети. Ход рассмотрения следующий: сначала автор допускает, что сеть является сетью поляр и находит или способ построения этой кубики по трем заданным коникам сети, или противоречие. В первом случае, отказавшись от предположения о том, что сеть является сетью поляр, указанным способом можно построить кубику, сеть поляр для которой имеет три общих элемента с заданной сетью, а следовательно с ней совпадает. — Перев.

[2] Из $o_{2}\in a_{2}A_{1}$ следует, что $a_{2}\in o_{2}A_{1}=o_{1}o_{3}$ , последнее равенство верно в силу 108b. — Перев.

[3] Прямая $R=a^{2}C_{3}$ образована таким точками $b$ , что коники $bC_{3}$ проходят через точку $a$ ; пучок таких коник известен, если задана точка $a$ . — Перев.

[4] Сказанное проще доказать алгебраически: трехсторонник $PQR$ является сопряженным относительно любой коники $A=aC_{3}$ сети, поскольку $pA=paC_{3}=aP^{2}=P$ и т. д. Согласно Introd. 108e, все коники, сопряженные к заданному треугольнику, составляют сеть. — Перев.

[5] Порядок изложение кажется не совсем логичным. Вероятно, следовало начать с того, что квадратичная инволюция имеет одну двойную точку, когда один из двух лучей остается неподвижным. Поэтому точкам прямой $P$ отвечает указанный в тексте пучок коник. Если точка $a\in Q$ , то $a^{2}\in Q^{2}=qC_{3}$ , то есть $q^{2}\in a^{3-1-1}C_{3}=aC_{3}$ и поэтому точка $q$ является двойной для всех точек пучка коник, полюса которых лежат на $Q$ . Для полюса $r\in P\cap Q$ поляра должна с одной стороны представлять собой пару $Q\cup R$ , пересекающуюся в точке $o\in Q$ , а с другой — пару прямых, пересекающихся в точке $q\in P$ . Если точка $o$ не совпадает с $r$ , то описанное возможно, если $R=Q$ и $r=q$ . Из чего легко получаются прочие утверждения, приведенные в этом абзаце. — Перев.

[6] Для доказательства следует заметить, что прямая $raC_{3}=arC_{3}=aQ^{2}=Q$ содержит $r=P\cap Q$ . — Перев.

[7] Опять обратный порядок: если $a\in P$ , то $a^{2}C_{3}=P$ и поэтому $a\in C_{3}$ , то есть $C_{3}=P\cup C_{2}$ . Касательной к $C_{2}$ в точке $o$ оказывается $P$ . — Перев.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]