О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/2

Об образовании кривой при помощи двух проективных пучков — Art. 2. Доказательство основной теоремы о смешанных полярах
автор Луиджи Кремона, пер. Участник:Bkmd

Оригинал: итальянский. — Перевод опубл.: 1864. Источник: Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1915. T. 2. Pag. 135 и сл.

5. [Обратимся теперь к доказательству теоремы Introd. 69c, которое не было там приведено.]

Lemma 1.° Поляра для произвольной точки проходит через двойные точки фундаментальной кривой (Introd. 16).

Lemma 2.° Поляры для фиксированной точки относительно кривых пучка образуют другой пучок (Introd. 84a).

Lemma 3.° Если фундаментальная кривая составлена из прямой и некоторой другой кривой, и если полюс взят на этой прямой, то поляра составлена из этой же прямой и поляры, взятой относительно второй кривой (Это свойство следует из определение поляры и теоремы Introd. 17).

Lemma 4.° Если через $n^{2}$ точек, в которых кривая порядка $n$ пересекается с $n$ прямыми, проходящими через точку $o$, повести еще одну кривую того же порядка, то точка $o$ имеет одну и ту же поляру как относительно первой, так и относительно второй кривой. (В самом деле, поляры для $o$ относительно двух этих кривых имеют $n-1$ общих точек с каждой из $n$ заданных прямых).

6. Пусть теперь дана фундаментальная кривая $C_{n}$ порядка $n$, и пусть $o$ и $o'$ — две заданные произвольным образом точки. (…)^[1]

Проведем через $o'$ прямую $R$, и пусть $J_{n}$ — пучок $n$ прямых, соединяющих точку $o$ с $n$ пересечениями кривой $C_{n}$ и прямой $R$. Все оставшиеся $n(n-1)$ пересечений кривой $C_{n}$ с местом $J_{n}$ лежат на некоторой кривой $C_{n-1}$ порядка $n-1$ (Introd. 43b). Поскольку кривая $C_{n}$ принадлежит пучку $(J_{n},R\cup C_{n-1})$, поляра $o'C_{n}$ принадлежит, в силу леммы 2°, пучку $(\varphi _{n-1},R\cup \Gamma _{n-2})$, где $\varphi _{n-1}$ — пучок из $n-1$ прямых, пересекающихся в точке $o$ и составляющих поляру $o'J_{n}$ (Introd. 20), а $\Gamma _{n-2}$ — поляра $o'C_{n-1}$, поскольку в силу леммы 3° такая кривая $\Gamma _{n-2}$ вмести с прямой $R$ составляют поляру $o'R\cup C_{n-1}$. Из леммы 4° поэтому следует, что кривая $oo'C_{n}$ ничто иное как поляра для $o$ относительно $R\cup \Gamma _{n-2}$, поэтому в силу леммы 1° она проходит через $n-2$ пересечения места $\Gamma _{n-2}$ с прямой $R$.

Из того, что $C_{n}$ проходит через $n^{2}$ пересечений мест $J_{n}$ и $R\cup C_{n-1}$, следует в силу леммы 4°, что поляра $oC_{n}$ совпадает с полярой $oR\cup C_{n-1}$, поэтому в силу леммы 1° она проходит через $n-1$ пересечений кривой $C_{n-1}$ с прямой $R$. Кривая $o'oC_{n}$ проходит, следовательно, через $n-2$ гармонических центов системы, образованной названными $n-1$ пересечениями, относительно полюса $o'$, то есть $o'oC_{n}$ проходит через $n-2$ точек, в которых прямая $R$ пересекает $\Gamma _{n-2}$.

Таким образом, смешанные поляры $oo'C_{n}$ и $o'oC_{n}$ имеют $n-2$ общих точек на секущей, проведенной произвольным образом через точку $o'$, а это возможно лишь тогда, когда эти две кривые совпадают.

7. Возьмем теперь на плоскости произвольным образом $\mu +1$ точек $o,o',o'',\dots o^{(\mu )}$. (…)^[2] Из только что доказанной теоремы следует, что поляра $oo'o''\dots o^{(\mu )}C_{n}$ не меняется при изменении порядка полюсов $o,o',o'',\dots o^{(\mu )}$. Если еще предположить, что $p$ из этих точек совпадают с единственной точкой $o$, а оставшиеся $\mu +1-p=q$ полюсов — с точкой $o'$, то получится общая теорема:

Для любой фундаментальной кривой $p$-ая поляра для точки $o$ относительно $q$-ой поляры для другой точки $o'$ совпадает с $q$-ой полярой для $o'$ относительно $p$-ой поляры для $o$, то есть

$o^{p}{o'}^{q}C_{n}={o'}^{q}o^{p}C_{n}$.

Примечания

1. В выпущенном абзаце автор вводит для смешанной поляры обозначение $P_{oo'}$, вместо которого ниже, как и в переводе Введения, используется обозначение $oo'C_{n}$.
2. Здесь выпущен фрагмент, где вводится обозначение $P_{oo'o''}$, вместо которого используется $oo'o''C_{n}$. — Перев.