О геометрических преобразованиях плоских фигур - I (Кремона)

О геометрических преобразования плоских фигур - I
автор Луиджи Кремона, пер. Участник:Bkmd

Оригинал: итальянский. — Перевод опубл.: 1863. Источник: Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1915. T. 2. Pag. 54 и сл. • Впервые опубл. в Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo VI (1864), pp. 153-168; Memorie dell’ Accademia delle Scienze dell’ Istituto di Bologna, serie II, tomo II (1863), pp. 621-630; Giornale di Matematiche, volume i (1863), pp. 305-311.

Гг. Магнус (Magnus) и Скиапарели (Schiaparelli) — первый в 8-м томе журнала Крелля, второй в последнем томе «Memorie dell’Accademia scientifica di Torino» — разыскали аналитические выражения для геометрических преобразований одной плоской фигуры в другую при условии, что произвольной точке первой соответствует одна единственная точка другой, и наоборот каждой точке второй фигуры — единственная точка первой (преобразования первого порядка). Глядя на исследования этих авторов, можно было бы подумать, что и при самых общих предположениях прямым первой фигуры соответствуют на другой коники, описанные около некоторого постоянного треугольника (вещественного или мнимого); то есть, что самое общее преобразование первого порядка является тем, что Скиапарели называет коническими преобразованиям.

Но очевидно, что применение к заданной фигуре последовательно несколько конических преобразований порождает новое преобразование, которое все еще является преобразованием первого порядка, но при нем прямым заданной фигуры соответствуют на преобразованной фигуре не конинки, но кривые большего порядка.

В этом кратком сообщении я задался целью доказать прямо возможность геометрических преобразований плоских фигур, при которых прямым соответствуют кривые, порядок которых задан произвольным образом. Сначала я выпишу два уравнения, которые имеют место между числом простых и кратных точек всех кривых, соответствующих прямым. Затем я покажу, как при помощи лучей, опертых на две направляющие, можно спроектировать точки одной плоскости на точки второй плоскости и, следовательно, преобразовать заданную фигуру, лежащую в первой плоскости, в другую фигуру, лежащую на второй плоскости.

О преобразованиях плоских фигур

Рассмотрим две фигуры, пусть первая лежит в плоскости $P$, а другая — в плоскости $P'$, и предположим, что вторая была получена из первой при помощи какого-либо закона преобразования таким образом, что каждой точке первой фигуры соответствует единственная точка второй и наоборот, каждой точки второй фигуры — единственная точка первой.

В этом сообщении я буду рассматривать только геометрические преобразования, удовлетворяющие указанному выше условию и именуемые преобразованиями первого порядка^[1], чтобы отличить их от заданных другими условиями.

Предположим, что преобразование, для которого названные фигуры переходят друг в друга, является среди преобразований первого порядка как можно более общим и разыщем, какие линии первой фигуры соответствуют прямым второй фигуры.

Пусть $n$ — порядок линии, которой на плоскости $P'$ (или $P$) соответствует произвольная прямая плоскости $P$ (или $P'$). Поскольку прямая плоскости $P$ задается двумя точками $a,b$, двух соответствующих им точек $a',b'$ плоскости $P'$ достаточно для выделения линии, соответствующей этой прямой. Следовательно, линии фигуры, соответствующие прямым другой фигуры, составляют такую систему, что через две точки, заданные произвольным образом, проходит единственная кривая системы, то есть эти линии составляют геометрическую сеть порядка $n$.^[2]

Линия порядка $n$ определяется ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ условиями, поэтому линии фигуры, соответствующие прямым другой фигуры, должны удовлетворять

${\frac {n(n+3)}{2}}-2={\frac {(n-1)(n+4)}{2}}$

общим условиям.

Две прямые фигуры имеют единственную общую точку $a$, вполне определенную заданием этих прямых. Точка $a'$, соответствующая точке $a$, будет принадлежать двум линиям порядка $n$, соответствующим этим двум прямым. Поэтому эти две линии должны вполне однозначно определять точку $a'$, значит, их оставшиеся $n^{2}-1$ пересечений должны быть общими всем линиям названной геометрической сети.

Пусть $x_{r}$ — число общих точек этих линий, имеющих кратность $r$; поскольку общая точка кратности $r$ двух линий эквивалентна $r^{2}$ пересечениям этих линий, верно очевидно равенство :

$x_{1}+4x_{2}+9x_{3}+\dots +(n-1)^{2}x_{n-1}=n^{2}-1$.

(1.)

Но $x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots +x_{n-1}$ точек, общих линиям сети, являются ${\tfrac {(n-1)(n+4)}{2}}$ условиями, служащими для определения линий сети. Требование прохождения линии $r$ раз через заданную точку эквивалентно ${\tfrac {r(r+1)}{2}}$ условиям, поэтому

$x_{1}+3x_{2}+6x_{3}+\dots +{\frac {n(n-1)}{2}}x_{n-1}={\frac {(n-1)(n+4)}{2}}$.[3]

(2.)

Уравнения (1) и (2) являются, очевидно, единственными условиями, которым должны удовлетворять целые неотрицательные числа $x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n-1}$. ^[4]

Примеры. Для $n=2$ уравнения (1) и (2) сводятся к одному:

$x_{1}=3$,

то есть прямым первой фигуры соответствуют коники второй фигуры, описанные вокруг постоянного треугольника. Это и есть то преобразование, которое было названо коническим и рассматривалось Штейнером^[5], Магнусом^[6] и Скиапарели^[7].

Для $n=3$, из (1) и (2) имеем:

$x_{1}=4$ и $x_{2}=1$,

то есть прямым первой фигуры соответствуют кривые третьего порядка второй фигуры, имеющие двойную точку и четыре простые общие точки.

Для $n=4$, уравнения (1) и (2) принимают вид:

$x_{1}+4x_{2}+9x_{3}=15$, $x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=12$,

и допускают два решения:

1-ое	$x_{1}=3$, $x_{2}=3$, $x_{3}=0$,
2-ое	$x_{1}=6$, $x_{2}=0$, $x_{3}=1$.

И так далее.

Исключив $x_{1}$ из уравнений (1) и (2), получим следующее:

$x_{2}+3x_{3}+\dots +{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}x_{n-1}={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$,

(3.)

из которого видно, что $x_{n-1}$ может принимать только два значения

$x_{n-1}=1$, $x_{n-1}=0$,

и что в случае $x_{n-1}=1$ необходимо

$x_{2}=0,\,x_{3}=0,\dots x_{n-2}=0$,

и в силу (1)

$x_{1}=2(n-1)$.

Попытаемся теперь доказать, что преобразование, соответствующие этим значениям $x_{1},\,x_{2},\dots x_{n-1}$ геометрически возможно, каково бы ни было значение $n$.

Соответствие между двумя фигурами, лежащими в двух различных плоскостях $P$ и $P'$, при котором первой каждой точке первой плоскости соответствует единственная точка второй и наоборот, каждой точке второй плоскости — единственная точка первой, можно задать так: проведем две направляющие линии (linee direttrici), так, что через каждую точку, взятую произвольным образом в пространстве, можно провести единственную прямую, пересекающую обе эти линии; и назовем соответствующими точки, в которых эта прямая пересекает плоскости $P$ и $P'$.

Пусть $p$ и $q$ — порядки этих двух направляющих, а $r$ — число их общих точек.^[8] Примем произвольную точку $o$ пространства за вершину двух конусов, направляющими которых являются названные линии; поскольку порядки этих конусов равны $p$ и $q$ соответственно, у них меется ровно $pq$ общих образующих. Среди них состоят прямые, соединяющие точку $o$ с $r$ точками, общими двум образующим, а, следовательно, оставшиеся $pq-r$ образующие, общие двум конусам, являются теми прямыми, которые можно провести из $o$ через обе направляющие линии. Мы хотим, чтобы число таких прямых сводилось к одной единственной, поэтому должно быть:

$pq-r=1$.

(4.)

С другой стороны произвольной прямой $R$, лежащей в одной из плоскостей $P$, $P'$, должна отвечать на другой кривая порядка $n$, то есть подвижная прямая, пересекающая прямую $R$ и две направляющие порядков $p$ и $q$, должна пробегать косую поверхность (superficie gobba) порядка $n$. Разыщем теперь порядок этой поверхности, которую описывает прямая, двигающаяся вдоль трех направляющих, первая из которых — прямая $R$, а две другие — кривые порядков $p$ и $q$, имеющие $r$ общих точек.

Число прямых, пересекающих три заданные прямые и линию порядка $p$, равно $2p$: столько будет точек, общих линии порядка $p$ и гиперболоиду, имеющему в качестве направляющих три заданные прямые. Но это же позволяет сказать, что $2p$ — порядок линейчатой поверхности, направляющими которой являются две прямые и линия порядка $p$. Эта поверхность пересекается с линией порядка $q$ в $2pq-r$ точках, не лежащих на линии порядка $p$.

Поэтому порядок косой поверхности, которая имеет в качестве направляющих прямую и две линии порядков $p$ и $q$, имеющие $r$ общих точек, равен $2pq-r$. Следовательно, должно быть:

$2pq-r=n$.

(5.)

Из уравнений (4) и (5) сразу получается:

$pq=n-1$, $r=n-2$.

(6.)

Взяв прямую $R$, лежащую на плоскости $P$, рассмотрим соответствующую ей кривую порядка $n$ на плоскости $P'$, то есть пересечение этой плоскости с косой поверхностью порядка $2pq-r$, описанной выше. Кривая, о которой идет речь, имеет:

• $p$ точек кратности $q$: они являются пересечениями плоскости $P'$ с направляющей порядка $p$ (в самом деле, из каждой точки этой линии можно провести $q$ прямых, пересекающих вторую направляющую и прямую $R$, иными словами, направляющая порядка $p$ является кривой порядка $q$ на линейчатой поверхности);
• $q$ точек кратности $p$: они являются пересечениями плоскости $P'$ с направляющей линией порядка $q$ (поскольку аналогичным образом эта линия является линией кратности $p$ на линейчатой поверхности);
• $pq$ простых точек: это точки пересечения прямой, общей плоскостям $P$ и $P'$, и прямых, которые соединяют точки, в которых направляющая порядка $p$ пересекает плоскость $P$, с точками, в которых вторая направляющая пересекает эту плоскость.

Эти $p+q+pq$ точек не меняются при изменении прямой $R$, то есть являются общими для всех кривых порядка $n$ на плоскости $P'$, соответствующим прямым плоскости $P$. Отсюда имеем:

$x_{1}=pq$, $x_{p}=q$, $x_{q}=p$,

а остальные $x$ будут равны нулю, поскольку уравнения (1) и (2) дадут, если учесть первое из соотношений (6), что

$p+q=n$.

Это соотношение вмести с первым из соотношений (6) приводит к след.:

$p=n-1$, $q=1$.

Это означает, что две направляющие, одна из которых является кривой порядка $n-1$, а другая — прямой, имеющей с ней $n-2$ общих точек. Это условие может быть удовлетворено прямой и плоской кривой порядка $n-1$ (не лежащими в одной плоскости), если эта кривая имеет точку кратности $n-2$, а прямая проходит через эту точку.

Впрочем, направляющая порядка $n-1$ может быть и кривой двоякой кривизны (curva gobba); так, для примера, на поверхности гиперболоида можно нарисовать кривую двоякой кривизны $K$ порядка $n-1$, пересекающую каждую образующую одной из систем в $n-2$ точках (и следовательно, каждую образующую второй системы только в одной точке).^[9] Поэтому мы может взять такую неплоскую кривую и одну образующую $D$ первой системы за направляющие преобразования.

В этом преобразовании каждой точке $a$ плоскости $P$ соответствует одна единственная точка $a'$ плоскости $P'$ и наоборот. Эта точка $a'$ определяется следующим образом. Плоскость, проходящая через точку $a$ и прямую $D$, пересекает кривую $K$ в одной единственной точке, не лежащей на самой прямой $D$. Соединив эту точку с точкой $a$, получим прямую, пересекающую плоскость $P'$ в искомой точке $a'$.

Если $R$ — произвольная прямая на плоскости $P$, косая поверхность (порядка $n$), имеющая в качестве направляющих линии $K,D,R$, пересекает плоскость $P'$ по кривой (порядка $n$), соответствующей прямой $R$. Все кривые, соответствующие аналогичным образом прямым, имеют общими одну точку кратности $n-1$ и $2(n-1)$ простых точек, именно:

1. точку, в которой $D$ пересекает плоскость $P'$;
2. $n-1$ точек, в которых плоскость $P'$ пересекает направляющую $K$;
3. $n-1$ точек, в которых прямая, по которой пересекаются плоскости $P$ и $P'$, пересекает прямую, соединяющую точку, общую прямой $D$ и плоскости $P$, с точками, общими кривой $K$ и той же плоскости $P$.

Другими словами, косые поверхности, направляющими которых служат $K,D,R$, имеют общими

1. направляющую $D$ (кратности $n-1$, то есть эквивалентную $(n-1)^{2}$ общим прямым);
2. кривую направляющую (простую) $K$;
3. $n-1$ образующих (простых), лежащих на плоскости $P$.

Эти линии, взятые вместе, эквиваленты линии порядка $(n-1)^{2}+2(n-1)$. Следовательно две линейчатые поверхности (порядка $n$), определенные путем задания $K,D,R$ и $K,D,S$ соответственно в плоскости $P$, имеют общей еще одну прямую, которая, очевидно, соединяет точку $a$ пересечения прямых $R$ и $S$ с соответствующей ей точкой $a'$, общей двум кривым, соответствующим в плоскости $P'$ прямым $R$ и $S$.

Если прямая $R$ проходит через точку $d$, в которой прямая $D$ пересекает плоскость $P$, то, очевидно, соответствующая линейчатая поверхность (superficie rigata) распадается на конус, имеющий вершиной точку $d$ и направляющей кривую $K$, и плоскость, содержащую прямые $D$ и $R$.

Если прямая $R$ проходит через одну из точек $k$, общих плоскости $P$ и кривой $K$, то соответствующая линейчатая поверхность распадается на плоскость, содержащую точку $k$ и прямую $D$, и искривленная поверхность порядка $n-1$, имеющая в качестве направляющих $K,D,R$.

Если прямая $R$ проходит через две точки $k$, то соответствующая линейчатая поверхность распадается на две плоскости и искривленную поверхность порядка $n-2$.

Также легко видеть, что любая кривая $C$, порядка $\mu$, заданная в плоскости $P$, порождает искривленную поверхность $n\mu$, для которой $D$ — прямая кратности $\mu (n-1)$, а $K$ — кривая кратности $\mu$. Следовательно, кривой $C$ будет соответствовать в плоскости $P'$ линия порядка $n\mu$, имеющая:

1. точку кратности $\mu (n-1)$ на $D$;
2. $n-1$ точек кратности $\mu$ на $K$;
3. $n-1$ точек кратности $\mu$ на прямой пересечения плоскостей $P$ и $P'$.

Применив к сказанным выше утверждениям принцип двойственности, получим две фигуры: первая составлена из прямых и плоскостей, проходящих через некоторую точку $o$, а вторая — из прямых и плоскостей, проходящих через некоторую другую точку $o'$. Эти две фигуры связаны друг с другом таким соотношением, что каждой плоскости одной соответствует одна единственная плоскость другой и наоборот; а прямым любой из этих фигур соответствуют на другой фигуре конические поверхности класса $n$, имеющие $x_{1},\,x_{2},\dots x_{n-1}$ [общих] касательных плоскостей простых и кратных. При этом числа $x_{1},\,x_{2},\dots x_{n-1}$ будут связаны между собой уравнениям (1) и (2).

В частности, для связи одной фигуры с другой, можно взять в качестве направляющих прямую $D$ и развертывающиюся поверхность (superficie sviluppabile) $K$ класса $n-1$, имеющую $n-2$ касательных плоскостей, проходящих через $D$. Пусть теперь задана произвольная плоскость $\pi$, проходящая через точку $o$; она пересекает $D$ в точке $a$, через эту точку проходит (помимо $n-2$ плоскостей, проходящих через $D$) одна единственная касательная плоскость, пересекающая $\pi$ по некоторой прямой. Плоскость $\pi '$, однозначно определенную тем, что она должна проходит через эту прямую и точку $o'$, и будет соответствовать $\pi$.

Пересекая теперь эти две фигуры соответственно двумя плоскостями $P$ и $P'$, мы получим на этих плоскостях две такие фигуры, что каждой прямой одной из них будет соответствовать одна единственная прямая другой и наоборот; в то же время точкам одной из этих двух плоскостей будет соответствовать на другой кривые класса $n$, имеющие некоторое число постоянных касательных простых и кратных и т. д.

Примечания

1. Schiaparelli. Sulla trasformazione geometrica delle figure ed in particolare sulla trasformazione iperbolica (Memorie della R. Accademia delle scienze di Torino, serie 2^a, tom. XXI, Torino 1862).
2. См. мое Введение в геометрическую теорию плоских кривых, art. 15.
3. Вообще говоря, не очевидно, что все линейные условия, выделяющие кривые сети среди кривых порядка $n$, имеют вид условий прохождения через некоторые точки с некоторой кратностью, поэтому равенство (2) следовало бы заменить на неравенство. Но сказанного в примечании к Введению, 87c, вполне достаточно, чтобы обойти это затруднение: кривые порядка $n$, соответствующие прямым, должны иметь нулевой род, а с другой стороны, если вычесть из равенства (2) равенство (1), как раз и получится получится

   ${\frac {(n-1)(n-2)}{2}}-x_{2}-3x_{3}+\dots =0$,

   то есть утверждение о том, что род равен нулю. — Перев.
4. Именно, если принять во внимание кривые плоскости $P'$, соответствующие линиям заданного порядка $\mu$ на плоскости $P$, то получатся следствия лишь выписанных уравнений.
   В самом деле, очевидно, что линии порядка $\mu$, лежащей на плоскости $P$, будет соответствовать на другой плоскости кривая порядка $\mu n$, проходящая через каждую из $x_{r}$ кратных точек, общих кривым, соответствующим прямым плоскости $P$. Следовательно, для общих пересечений всех кривых порядка $\mu n$, соответствующих линиям порядка $\mu$ в плоскости $P$, имеем равенство:

   $\mu ^{2}x_{1}+(2\mu )^{2}x_{2}+(3\mu )^{2}x_{3}+\dots +\left((n-1)\mu \right)^{2}x_{n-1}=\mu ^{2}n^{2}-\mu ^{2}$,

   которое ни чем не отличается от равенства (1), умноженного на $m^{2}$.
   Поскольку $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}$ кратных общих точек доставляют условия, которым удовлетворяют вмести названные кривые порядка $\mu n$, и поскольку число этих общих условий должно быть равно числу условий, определяющих кривую порядка $\mu n$, уменьшенную на число условий, определяющих соответствующую кривую порядка $\mu$, имеем:

   ${\frac {\mu (\mu +1)}{2}}x_{1}+{\frac {2\mu (2\mu +1)}{2}}x_{2}+\dots +{\frac {\mu (n-1)(\mu n+3)}{2}}x_{n-1}=$${\frac {\mu n(\mu n+3)-\mu (\mu +3)}{2}}$,

   то есть уравнение, которое можно получить, прибавив к уравнению (1), умноженному на ${\tfrac {\mu (\mu -1)}{2}}$, уравнение (2), умноженное на $\mu$. — Авт.
5. Steiner. Systematische Entwickelung u. s. w., Berlin 1832, p. 251.
6. Magnus. Журнал Крелля, Bd. 8, p. 51.
7. Schiaparelli. Ук. соч.
8. При этом не требуется, чтобы эти линии были плоскими, но требуется чтобы при их проектировании на плоскость получались кривые порядка $p$ и $q$. В частности, любая плоскость пересекает первую в $p$, а вторую — в $q$ точках. — Перев.
9. Courbes gauches etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 juin 1861). [Opere di Cremona, n. 30].
   В этой работе Кремона рассматривает три пучка плоскостей с осями $P,Q,R$:

   $p+\lambda p'=0$, $q+\mu q'=0$ $r+\nu r'=0$

   Если между плоскостями первого и второго имеется взаимно однозначное соответствие, то есть

   $(a+b\lambda )\mu +a'+b'\lambda =0$,

   то прямые пересечения соответствующих кривых составляют некоторую поверхность 2-го порядка (гиперболоид), а сами эти прямые будут образующими одного семейства для этого гиперболоида. Пусть далее каждой плоскости третьего пучка отвечает $m$ плоскостей первого, а каждой плоскости первого — лишь одна плоскость третьего, то есть имеется связь

   $(c\lambda ^{m}+\dots )\nu +c'\lambda ^{m}=0$,

   тогда точки, общие трем соответствующим друг другу плоскостям трех пучков, составляют некоторую кривую двойной кривизны. Ее порядок равен $m+2$, поскольку если рассечь ее произвольной плоскостью, на сечении гиперболоида можно задать две проективные инволюции — пары точек, лежащих на одной плоскости, проходящей через $R$ и системы из $m$ точек, через которые проходят плоскости пучка $P$, отвечающие одной и ой же плоскости пучка $R$, — общие точки которых и будут точками кривой $C$. Любая образующая $S$ гиперболоида, принадлежащая тому же семейству, что и $P,Q$, пересекает кривую в $m+1$ точке, поскольку на этой прямой можно задать две проективные инволюции — пунктуал, образованный точками, в которых плоскости пучка $R$ пересекают $S$, и системы из $m$ точек, в которых эту прямую пересекают плоскости первых двух пучков, соответствующие одной и той же третьего плоскости пучка, общими точками которых будут точки кривой $C$. — Перев.