НЭС/Момент инерции

Момент
Новый энциклопедический словарь

Словник: Молочница — Наручи. Источник: т. 27: Молочница — Наручи (1916), стлб. 22—23 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Момент инерции (Moment d’inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia). Понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия. Теперь мы называем М. инерции некоторой системы материальных точек относительно некоторой оси P сумму такого вида $\sum mr^{2}=J$, где m есть масса каждой материальной точки, а r ее расстояние до оси P. Суммирование распространено на все точки системы. Так как сумма масс всех частиц тела равна его массе M, то М. инерции часто находят удобным выражать в виде произведения массы тела M на квадрат некоторой чисто-геометрической величины K, линейного измерения [измерение же М. инерции будет (l², m, t°) в системе абсолютных мер]

$\sum mr^{2}=MK^{2}$ или: $K^{2}={\frac {\sum mr^{2}}{M}}$.

‎Величина K называется иногда радиусом вращения тела. М. инерции сплошного тела определяется по формуле

$J=\iiint \sigma \rho ^{2}dm$,

‎где dm элемент объема тела, ρ — его расстояние до оси P, а σ — плотность тела для элемента dm. Тройной интеграл распространяется на весь объем тела. Если сравнивать М. инерции одного и того же тела около осей, проходящих чрез разные точки, но параллельных одному и тому же направлению, то наименьшим окажется М. инерции около оси, проходящей чрез центр тяжести. Пуансо предложил замечательное построение, дающее наглядное представление об изменениях М. инерции, когда ось меняет свое направление, продолжая проходить чрез одну и ту же точку. Пользуясь методом аналитической геометрии, будем определять наклон этой оси P ее углами λ, μ, ν с прямоугольными осями координат, имеющими начало в рассматриваемой точке и составляющими одно целое с телом. Тогда М. инерции всей системы $J=\sum mr^{2}$ выразится так: $\sum mr^{2}=A\cos ^{2}\lambda +B\cos ^{2}\mu +C\cos ^{2}\nu -2\alpha \cos \mu \cos \nu -2\beta \cos \nu \cos \lambda -2\gamma \cos \lambda \cos \mu$, где $A=\sum m(y^{2}+z^{2})$, $B=\sum m(z^{2}+x^{2})$, $C=\sum m(x^{2}+y^{2})$, $\alpha =\sum myz$, $\beta =\sum mzx$, $\gamma =\sum mxy$. Теперь положим

$u={\frac {1}{\sqrt {J}}}$

‎и представим, что длина u отложена вдоль оси P, от начала координат в положительную сторону; тогда $u\cos \lambda =\xi$; $u\cos \mu =\eta$, $u\cos \nu =\zeta$ будут выражать координаты некоторой точки, составляющей конец этой длины. После такой подстановки уравнение наше получит вид:

$1=A\xi ^{2}+B\eta ^{2}+C\zeta ^{2}-2\alpha \eta \zeta -2\beta \zeta \xi -2\gamma \xi \eta$.

‎Если в нем ξ, η и ζ переменные, т.-е. если рассматривать все возможные оси P, то оно будет изображать поверхность некоторого эллипсоида, с вершиною в начале координат, а длина каждого полудиаметра этого эллипсоида, будучи обратно пропорциональна соответственному М. инерции тела, дает меру этой величины для оси того же наклона. В аналитической геометрии доказывается, что всякий эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные главные оси, одну наибольшую, другую наименьшую; третья в общем случае будет отличаться от первых двух, а для эллипсоида вращения будет равна одной из них. Главные оси эллипсоида инерции называются «главными осями инерции» тела. Если начало координат совпадает с центром тяжести, то эллипсоиду инерции придают название «центрального». Уравнение эллипсоида инерции принимает наипростейший вид, когда оси координат совпадают с главными осями инерции тела; тогда α, β, γ (так назыв. произведения инерции) равны нулю, и это уравнение будет $1=A\xi ^{2}+B\eta ^{2}+C\zeta ^{2}$, при чем A, B и C суть так назыв. главные М. инерции. М. инерции тела, которого форма не может быть удобно определена геометрически, можно определить опытом. Для этого надо заставить его качаться на подобие маятника около горизонтальной оси, определить продолжительность его колебания T и расстояние a между осью и центром тяжести и затем воспользоваться следующим предложением, доказываемым в механике: квадрат радиуса вращения равен произведению длины простого маятника, совершающего колебание в то же время, что и наблюдаемое тело, на расстояние его центра тяжести от оси вращения. При магнитных измерениях М. инерции часто определяют по качаниям, совершаемым под влиянием сил магнитного поля.