ЭСБЕ/Момент инерции

Момент инерции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Михаила орден — Московский Телеграф. Источник: т. XIXa (1896): Михаила орден — Московский Телеграф, с. 692—694 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Момент инерции (Moment d’inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia) — понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий. Положим, что каждая частица системы имеет массу m и все они движутся прямолинейно, со скоростью v, общей для всех частиц как по величине, так и по направлению; тогда живая сила W такой системы выразится уравнением:

$W={\tfrac {1}{2}}\sum mv^{2}={\tfrac {1}{2}}Mv^{2},$

так как сумма масс всех частиц системы равна М, массе всей системы. Когда же твердое тело или вообще неизменяемая система вращается около неподвижной оси, дело сложнее: одна угловая скорость, w, будет общая для всех частичек системы, линейные же скорости каждой из них будут иметь мерой произведение ее кратчайшего расстояния r от общей оси вращения на общую угловую скорость w. Для такого случая живая сила всей системы будет

$W_{1}={\tfrac {1}{2}}\sum mr^{2}\cdot w^{2}={\tfrac {1}{2}}Jw^{2}.$

Здесь величина: $J=\sum mr^{2},$ так наз. «М. инерции» относительно данной оси, заменяет коэффициент М, так наз. массу в выражении живой силы при прямолинейном движении с общей скоростью v, и служит мерой инерции при вращательном движении. Выражения такого же вида получаются и при рассмотрении иных вопросов: например в учении о сопротивлении строительных материалов излому (см.); поэтому-то определение М. инерции для тел разной формы неоднократно занимало математиков. Так как сумма масс всех частиц тела всегда равна его массе М, то М. инерции часто находят удобным выражать в виде произведения массы тела М на квадрат некоторой чисто геометрической величины К линейного измерения [измерение же М. ин. будет (l², m, t⁰) в системе абсолютных мер]

$\sum mv^{2}=MK^{2},$ или: $K^{2}={\frac {\sum mr^{2}}{M}}.$

Когда тело однородно и форма его определена геометрически, вычисление М. инерции становится задачей интегрального исчисления:

$J=\iiint r^{2}dm,$

масса частицы становится dm, дифференциалом массы тела, а тройной интеграл распространяется на все это тело. Если сравнивать М. инерции одного и того же тела около осей, проходящих через разные его точки, но параллельных одному и тому же направлению, то наименьшим окажется М. инерции около оси, проходящей через центр тяжести. Действительно, для произвольно выбранной частицы тела, имеющей массу т, расстояния r′ и r от выбранной оси и от оси, ей параллельной, проходящей через центр тяжести, образуют с расстоянием этих осей, d, косоугольный треугольник высотою h, представляющей расстояние рассматриваемой точки от общей плоскости осей, проходящей по условию через центр тяжести. По известной теореме: $r'^{2}=r^{2}+d^{2}-2hd,$ откуда: $\sum mr'^{2}=\sum mr^{2}mr^{2}+d^{2}\sum m-2d\sum hm.$ Но $\sum m=M,$ массе тела, d величина постоянная, $\sum mr'^{2}=J',$ $\sum mr^{2}=J,$ a $\sum hm=0,$ так как именно этим условием и определяется положение центра тяжести тела. Поэтому, подставляя, получим:

$J'=J+Md^{2}.\,$

Так как величина $Md^{2}$ всегда положительная, то J′ всегда больше J, момента инерции около оси, проходящей через центр тяжести. Пуансо предложил довольно сложное построение, дающее наглядное представление об изменениях М. инерции, когда ось меняет свое направление, продолжая проходить через одну и ту же точку тела. Пользуясь методом аналитической геометрии, будем определять наклон этой оси ее углами λ, μ, ν с прямоугольными осями координат, имеющими начало в рассматриваемой точке и составляющими одно целое с телом. Квадрат расстояния r от этой оси некоторой произвольно выбранной точки, определяемой координатами x, у, z, выразится разностью квадрата ее расстояния от начала координат и квадрата проекции этого расстояния на направление оси вращения, т. е.:

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x\cos \lambda +y\cos \mu +z\cos \nu )^{2}\,$

тогда момент инерции всего тела, $J=\sum mr^{2},$ выразится уравнением такого вида: $\sum mr^{2}=A\cos ^{2}\lambda +B\cos ^{2}\mu +C\cos ^{2}\nu -2\alpha \cos \mu \cos \nu -2\beta \cos \nu \cos \lambda -2\gamma \cos \lambda \cos \mu ,$ где $A=\sum m(y^{2}+z^{2}),$ $B=\sum m(z^{2}+x^{2}),$ $C=\sum m(x^{2}+y^{2}),$ $\alpha =\sum myz,$ $\beta =\sum mzx,$ $\gamma =\sum mxy.$ Подставим теперь вместо $\sum mr^{2}$ новую переменную, положив:

$\sum mv^{2}={\frac {1}{u^{2}}},$

и представим, что длина u отложена вдоль оси вращения от начала координат в положительную сторону; тогда $u\cos \lambda =\xi ;$ $u\cos \mu =\eta ,$ $u\cos \nu =\zeta$ будут выражать координаты некоторой точки, составляющей конец этой длины. После такой подстановки уравнение наше получит вид:

$1=A\zeta ^{2}+B\eta ^{2}+C\xi ^{2}-2\alpha \eta \zeta -2\beta \zeta \xi -2\gamma \xi \eta .\,$

Если в нем ξ, η и ζ переменные, т. е. если предположить, что наклон оси вращения принимает последовательно все возможные величины, то оно будет изображать поверхность некоторого эллипсоида с вершиною в начале координат, а длина каждого полудиаметра этого эллипсоида, будучи обратно пропорциональна соответственному М. инерции тела, дает меру этой величины для оси того же наклона. В аналитической геометрии доказывается, что всякий эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные главные оси, одну наибольшую, другую наименьшую; третья в общем случае будет отличаться от первых двух, а для эллипсоида вращения будет равна одной из них. Главные оси эллипсоида инерции называются «главными осями инерции» тела. Если начало координат совпадает с центром тяжести, то эллипсоиду инерции придают название «центрального». Уравнение эллипсоида инерции принимает наипростейший вид, когда оси координат совпадают с главными осями инерции тела; тогда в полярных координатах, называя его главные полуоси а, b, с, будем иметь

${\frac {1}{u^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\lambda }{a^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\mu }{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\nu }{c^{2}}}$

или $1={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}},$ в прямоугольных координатах. На основании этих двух теорем можно вычислить М. инерции тела около произвольно выбранной оси, если известны его М. инерции около главных осей центрального эллипсоида инерции. Вот эти величины, вычисленные для случаев часто встречающихся (причем во всех случаях М обозначает массу тела, K — его радиус вращения, J = MK² — М. инерции, ρ — плотность, а ось проходит через центр тяжести). Для тяжелой прямой длиной l, образующей угол α с осью вращения, проходящей через ее середину:

$J={\frac {1}{12}}Ml^{2}\sin ^{2}\alpha .$

Эллипсоид инерции в этом случае будет эллипсоидом вращения с бесконечной длинной главной осью, направленной вдоль самой линии, т. е. для α = 0, J = 0.

Для цилиндра дл. l и радиуса r: $M=\rho \cdot 2\pi lr^{2}.$

Около продольной оси: $J=mr^{2}.\,$

Около поперечной оси: $J=M\left({\frac {1}{12}}l^{2}+{\frac {1}{4}}r^{2}\right).$

Для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с: $M=\rho abc.\,$

Около оси α: $J={\frac {1}{12}}M(a^{2}+b^{2}).$

Для шара радиуса r: $M=\rho \cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3},$ $J={\frac {2}{5}}Mr^{2}.$

Для эллипсоида с полуосями а, b, с: $M=\rho \cdot {\frac {4}{3}}\pi abc.$

Около оси a: $J={\frac {1}{5}}M(b^{2}+c^{2}).$

Для конуса высоты h и радиуса основания r: $M={\frac {1}{3}}\rho \pi r^{2}h.$

Для оси продольной, $J={\frac {3}{10}}Mr^{2}.$

Для оси, параллельной основанию: $J={\frac {3}{20}}M\left(r^{2}+{\frac {1}{4}}h^{2}\right)$ (центр тяжести лежит на ${\frac {1}{4}}h,$ считая от основания).

Для цилиндрической трубки высоты l с внутренним радиусом $r_{2},$ наружным $r_{1}$ и полагая: ${\frac {1}{2}}(r_{1}+r_{2})=r,\ r_{1}-r_{2}=b.\,$

$M=\rho \cdot \pi l(r_{1}^{2}-r_{2}^{2})=\rho 2\pi rbl.$

Для продольной оси: $J={\frac {1}{2}}M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})=M\left(r^{2}+{\frac {1}{4}}b^{2}\right).$

Для поперечной оси:

$J={\frac {1}{2}}M\left({\frac {1}{12}}l^{2}+{\frac {1}{4}}r_{1}^{2}+{\frac {1}{4}}r_{2}^{2}\right)=M\left({\frac {1}{12}}l^{2}+{\frac {1}{2}}r^{2}+{\frac {1}{8}}b^{2}\right).$

Для «тора» (круглого кольца, образующегося от вращения кружка радиуса r, которого центр описывает круг радиуса R около оси, заключающейся в его плоскости)

$M=\rho \cdot 2\pi ^{2}Rr^{2}.\,$

Для оси, нормальной к плоскости кольца: $J=M\left({\frac {1}{2}}R^{2}+{\frac {3}{4}}r^{2}\right).$

Для оси поперечной: $J=M\left({\frac {1}{2}}R^{2}+{\frac {5}{8}}r^{2}\right).$

М. инерции тела, которого форма не может быть удобно определена геометрически, можно определить опытом. Для этого надо заставить его качаться наподобие маятника около горизонтальной оси, определить продолжительность его колебания Т и расстояние а между осью и центром тяжести (см.). Известно, что для простого маятника (см.) длиною l время колебания при ускорении силы тяжести g будет:

$T={\sqrt {\frac {l}{g}}},$ или $T=\pi {\sqrt {\frac {ml^{2}}{mgl}}},$

если назовем m массу тяжелой частицы маятника. Но в числителе величина ml² не что иное, как М. инерции этой частицы около оси вращения, а в знаменателе mgl означает произведение mq, веса частицы, на ее расстояние от оси вращения, так наз. «статический» момент. Когда же твердое тело совершает маятникообразные колебания продолжительности T, одни лишь частицы его, расположенные на прямой, проведенной на расстоянии l параллельно оси и в одной с нею вертикальной плоскости, во время покоя тела будут совершать это движение под влиянием одной своей тяжести mg. Каждая из остальных его частиц будет качаться так, как будто на нее действует сила q, равнодействующая из ее веса mg и внутренних замедляющих или ускоряющих сил, зависящих от связи этой частицы с остальными. Но все частицы тела совершают свои колебания одновременно, значит:

${\frac {l}{g}}={\frac {ml^{2}}{mgl}}={\frac {ml'^{2}}{ql'}}={\frac {ml''^{2}}{ql''}}=\dots ={\frac {\sum ml^{2}}{\sum ql}}.$

Здесь $\sum ml^{2}$ и есть искомый М. инерции, равный МК², а стоящая в знаменателе сумма $\sum ql=Mga,$ весу тела, помноженному на расстояние a его центра тяжести от оси вращения, потому что сумма всех моментов внутренних сил равна нулю, так как они не могут привести тело в движение вследствие равенства действия и противодействия. Итак:

$T=\pi {\sqrt {\frac {MK^{2}}{Mga}}}=\pi {\sqrt {\frac {K^{2}}{ga}}}=\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}},$

откуда $l={\frac {K^{2}}{a}};\ K^{2}=la,$

т. е. искомый квадрат радиуса вращения равен произведению длины простого маятника, совершающего колебание в то же время, что и наблюдаемое тело, на расстояние его центра тяжести от оси вращения. При магнитных измерениях М. инерции часто определяют по качаниям, совершаемым под влиянием сил магнитного поля.

В. Л.