Если взять десятокъ-другой учебниковъ ариѳметики, изданныхъ въ послѣдніе годы на русскомъ языкѣ, то увидимъ, что всѣ они очень похожи другъ на друга. Если просмотрѣть учебники на раз-ыхъ языкахъ за послѣднее столѣтіе, то увидимъ разницу въ матеріалѣ и въ его объяененіи. Но эта разница сдѣлается рѣзко-очевидной, если сопоставить учебники древняго времени съ учебниками новаго. О характерѣ объясненій въ старинное время или, вѣрнѣе, объ отсутствіи объясненій мы уже упоминали. Но самое содержаніе ариѳметики сейчасъ далеко не то, каково оно было прежде. Приведемъ нѣсколько подробностей.
Въ ариѳметикѣ, составленной Павломъ Цвѣтковымъ (1834 г.), есть отдѣлъ объ извлеченіи квадратныхъ и кубическихъ корней. Этотъ отдѣлъ исключенъ изъ ариѳметики вообще около средины 19-го вѣка. Корни извлекаются у Цвѣткова изъ отвлеченныхъ чиселъ и изъ именованныхъ. Напр., корень квадратный изъ 4 дней 302 час. 369 мин. квадратныхъ составляетъ 2 дня 3 часа 3 мин.; при этомъ вводится квадратный день, въ которомъ 576 квадр. ч. и кв. часъ въ 3600 кв. минутъ — все это несообразности.
До второго десятилѣтія 19-го в. вставлялись въ ариѳметику логариѳмы, и это начали дѣлать съ самаго ихъ примѣненія къ математикѣ, т. е. съ 17 ст. У Василія Загорскаго (1806 г.) логариѳмы подробно объяснены, и къ нимъ приложены таблицы; въ этихъ таблицахъ содержатся логариѳмы чиселъ до 10000 съ семью десятичными знаками.
Въ «Начальныхъ основаніяхъ ариѳметики», сочиненныхъ Степаномъ Румовскимъ (1760 г.), помѣщены прогрессіи, которыя мы встрѣчаемъ у всѣхъ его предшественниковъ. У Магницкаго въ его извѣстной «Ариѳметикѣ, сирѣчь наукѣ числительной», которая «съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведена, и во едино собрана, и на двѣ книги раздѣлена», вся вторая книга, т. е. вторая половина, содержитъ такіе отдѣлы, которые сейчасъ у насъ не признаются ариѳметическими и ни въ какомъ случаѣ не помѣщаются въ учебникахъ ариѳметики. Это, во-первыхъ, ариѳметика-алгебраика, по нашему сказать алгебра, съ ея нумераціей и дѣйствіями и съ извлеченіемъ такихъ мудреныхъ корней, что одно названіе ихъ приводитъ въ недоумѣніе: биквадратъ или зензизензусъ—корень 4-й степени, солидусъ или сурдесолидусъ—5-й степени, квадратокубусъ или зензикубусъ—6-й степени, бисурдесолидусъ или бисолидусъ—7-й степени, триквадратъ или зензизензусъ отъ зенза—8-й степени, бикубусъ, кубокубусъ, сугубый кубусъ—9-й ст.; квадратъ солида, зенсурдесолидъ—10-й ст.; кубосурдесолидъ, терсолидъ—11-й ст., биквадрато-кубусъ — 12-й ст. За этими корнями, которые, впрочемъ, болѣе страшны и обширны своими названіями, чѣмъ процессомъ извлеченія, идетъ ариѳметика-логистика или астрономская «како въ градусахъ, минутахъ и секундахъ, и въ прочихъ колесъ сѣченіяхъ дѣйство и чинъ ариѳметика содержитъ»; здѣсь просто-напросто показывается, какъ дѣлать вычисленія съ градусами, мицутами и секундами. Потомъ идетъ еще приложеніе, и на этотъ разъ геометрическаго характера «о геометрическихъ черезъ ариѳметику дѣйствуемыхъ», гдѣ рѣшаются примѣры на вычисленія площадей и объемовъ, и даже сообщаются свѣдѣнія изъ тригонометріи. Въ заключеніе идетъ глава «о земномъ размѣреніи и яже къ мореплаванію прилежатъ», тутъ есть таблицы широтъ и долготъ, описаніе вѣтровъ и т. п. Какое разнообразіе содержанія! Можно сказать, что ариѳметика Магницкаго— это цѣлая энциклопедія; въ ней собраны всевозможные случаи, гдѣ только можетъ пригодиться вычисленіе: и изъ хозяйетва, и изъ ремеслъ, и изъ гражданской и военной жизни. Сочинитель заботился, чтобы его книга всѣхъ удовлетворила и ни одного вопроса не оставила безъ отвѣта, чтобы она всецѣло соотвѣтствовала требованіямъ практики.
Эта пестрота и этотъ наборъ всевозможнаго матеріала, который складывается въ одну кучу, на всякій случай, авось пригодится гдѣ-нибудь въ жизни и хозяйствѣ, эта пестрота и случайность еще болѣе проскальзываютъ въ старинныхъ сборникахъ XVI—XVII вѣка. Чего-чего только тамъ нѣтъ. Какъ Плюшкинъ тащилъ въ свою груду всякій ненужный хламъ и рухлядь, и какъ любитель-коллекціонеръ добываетъ и вставляетъ въ свое собраніе всякія мелочи и подробности, такъ и авторы старинныхъ учебниковъ собирали въ ариѳметику все, что хоть сколько-нибудь подходитъ къ ея практическимъ требованіямъ и можетъ дать отвѣтъ на какой-нибудь числовой воііросъ. О смыслѣ, цѣлесообразности и воспитательномъ дѣйствіи науки не заботились: лишь бы только она годилась для жизни. Доходило дѣло до такихъ курьезовъ и странностей: «Есть убо человѣкъ, яко же повѣдаютъ, на главѣ имѣя 3 швы и на углы составлены; женская же глава имѣетъ единъ шовъ, кругомъ обходя главу; да по тому знаменію и въ гробѣхъ знаютъ, кая мужеска, кая-ли женска». «Хошь сыскати тварей обновленіе небу и землѣ, морю и звѣздамъ, солнцу и лунѣ, и индикту». Оказывается, небо поновляется въ 80 лѣтъ, а земля въ 40 лѣтъ, море въ 60 лѣтъ.
Въ составъ средневѣковыхъ ариѳметикъ входили еще такъ называемыя математическія развлеченія. Трудно и скучно было тогдашнимъ ученикамъ. Сухое изложеніе, мудреный языкъ, масса научныхъ терминовъ, отсутствіе объясненій[1] — все это приводило къ тому, что ученье обращалось въ долбленье, и только болѣе счастливые, т. е. болѣе сильные, умы могли справляться съ матеріаломъ, перерабатывать и понимать. Вотъ когда появились поговорки: «корень ученья горекъ» и «лучше книги не скажешь». Чтобы хотъ нѣсколько оживить учениковъ, утѣшить и ободрить, ихъ назидали, во-первыхъ, увѣ-щательными стихами, гдѣ воспѣвалась вся сладость подвига и вся цѣнность результатовъ, которыхъ имѣетъ достигнуть «мудролюбивый» отрокъ:
О любезный ариѳметикъ,
Буди наукъ не отметникъ,
Тщися еще быти усердъ,
Да будешь въ нихъ силенъ и твердъ,
Въ смѣтахъ какихъ дѣлъ купецкихъ,
И во всякихъ иныхъ свѣцкихъ.
Тѣмже въ Бога уыовая
И на помощь призывая,
Потрудися въ нихъ охотно,
Аще будетъ и работно.
Во-вторыхъ, давались задачи съ оотроумнымъ содержаніемъ и требовавшія особенной изворотливости и догадки. Вотъ задача изъ сборника, приписываемаго Алькуину (въ 8 в. по Р. X). Рукопись относится приблизительно къ 1000 г. по Р. X. «Два человѣка купили на 100 сольдовъ свиней и платили за каждыя пять штукъ по 2 сольда. Свиней они раздѣлили, продали опять каждыя 5 штукъ по 2 сольда и при этомъ получили прибыль. Какъ это могло случиться? А вотъ какъ: на 100 сольдовъ приходится 250 свиней, ихъ они раздѣлили пополамъ, на 2 стада, и изъ перваго стада отдавали по 2 свиньи на 1 сольдъ, а изъ второго по 3; тогда достаточно выдать по 120 штукъ изъ каждаго стада, такъ какъ придется получить 60 сольдовъ за свиней перваго стада, 40 за свиней второго, всего 100 сольдовъ; 5-ть же штукъ изъ каждаго стада останется въ прибыли». Требуется разгадать эту загадку.
Въ сборникѣ Алькуина содержится извѣстная загадка о волкѣ, козѣ и капустѣ, которыхъ надо перевезти черезъ рѣку, съ такимъ условіемъ, что въ лодкѣ нельзя помѣщать волка съ козой, козы съ капустой, и оставлять на берегу тоже нельзя вмѣстѣ, потому что они съѣдятъ; какъ же это устроить?
Лучшій сборникъ задачъ-загадокъ издалъ Баше-де-Мезиріакъ въ 1612 году, заглавіе его такое: Problèmes plaisantes et dèlictables qui se font par les nombres. Въ немъ помѣщена большая часть тѣхъ задачъ, какія встрѣчаются и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, наприм., о задуманныхъ числахъ, о работникѣ, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные, и т. д.
Въ старинныхъ русскихъ ариѳметикахъ можно отмѣтить такія интересныя задачи: «I. Пришелъ христіянинъ въ торгъ и принесъ лукошко яицъ. И торговцы его спрошали: много-ли у тебя въ томъ лукошкѣ яицъ? И христіянинъ молвилъ имъ такъ: язъ, господине, всего не помню на перечень, сколько въ томъ лукошкѣ яицъ. Только язъ помню: перекладывалъ язъ тѣ яйца изъ лукошка по 2 яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и язъ клалъ въ лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 5 яицъ, ино одно же яйцо осталось: и язъ ихъ клалъ по 6 яицъ, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 7 яицъ, ино все посему пришло. Ино, сколько яицъ въ томъ лукошкѣ было, сочти ми? Придетъ было 721. II. Левъ съѣлъ овцу однимъ часомъ, а волкъ съѣлъ овцу въ 2 часа, а песъ съѣлъ овцу въ 3 часа. Ино, хощешь вѣдати, сколько бы они всѣ три: левъ, волкъ и песъ овцу съѣли вмѣстѣ вдругь и сколько бы они скоро ту овцу съѣли, сочти ми [2])? III. О деньгахъ въ кучѣ вѣдати. Аще хощеши въ кучѣ деньги вѣдати, и ты вели перевесть по 3 деньги. А что останется отъ 3-хъ—2 или 1, и ты за 1 по 70. Да опять вели перевести по 5, и что останется—4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется — 6 или 5, или 4, или 3, или 2, или 1, и ты тако же за всякій 1 клади по 15. Да что въ остаткахъ перечни родились, и тѣ перечни сочти вмѣсто, а сколько станетъ, и ты изъ того перечню вычитай по 105, и что останется отъ сто пяти или сама сто пять, то столько въ кучѣ и есть».
Немаловажной статьей среди математическихъ развлеченій были магическіе квадраты. Что такое магическій квадратъ? Это рядъ чиселъ отъ 1 и до какого-нибудь предѣла, размѣщенныхъ по клѣткамъ квадрата такъ, что сумма чиселъ по діагоналямъ и по сторонамъ остается постоянной. Вотъ примѣры, взятые изъ сборника Алькуина (этотъ ученый особенно любилъ магическіе квадраты):
Они встръчаются въ сочиненiяхъ секты «Чистыхъ братьевъ», существовавшей въ X в. по Р. X. въ г. Аль-Бассра. Эта секта приписывала магическимъ квадратамъ особенную таинственную силу. Вѣрили, что они способны измѣнить расположеніе звѣздъ при рожденіи младенца и помочь ему.
Въ концѣ ариѳметики Іоанна Севильскаго (1150 года) приведенъ такой магическій квадратъ:
Объясненія не дано, только помѣщены тѣ же самыя черточки, какія и на этомъ чертежѣ.
- ↑ Оддо, педагогъ 12 в. по Р. X., очень затрудняется въ объясненіяхъ и оправдываетъ себя тѣмъ, что «все это гораздо легче объяснить устно, чѣмъ письменно».
- ↑ Эта задача встрѣчается у Видманна, германскаго педагога XV вѣка; у него она выдѣлена въ особое правило—«правило о львѣ, волкѣ и собакѣ, съѣдающихъ овцу».