Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Общие свойства геометрических кривых/ДО

Четвертая эпоха:
Исчисленіе безконечно-малыхъ. — Общія свойства геометрическихъ кривыхъ. Enumeratio linearum tertii ordinis Ньютона. — De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus Маклорена. — Николь. — Аббатъ Бражелонъ. — Аббатъ Де-Гюа. — Introductio in analysin infinitorum Эйлера. — Крамеръ. — Дю-Сежура и Гудена. — Гуденъ. — Варингъ. — Геометрія въ приложеніи къ физическимъ явленіямъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

Четвертая эпоха, n° 1-11.

1. Исчисленіе безконечно-малыхъ. Черезъ пятьдесятъ лѣтъ послѣ того, какъ Декартъ издалъ свою Геометрію, появилось другое великое изобрѣтеніе, подготовленное Ферматомъ и Барровомъ, — исчисленіе безконечно малыхъ Лейбница и Ньютона (въ 1684 и 1687 г.)

Это величайшее открытіе, замѣнившее собою съ неизмѣримымъ преимуществомъ способы Кавальери, Роберваля, Фермата, Григорія С. Винцента въ вопросахъ о измѣреніи фигуръ и о maxima и minima, прилагалось притомъ съ такимъ необыкновеннымъ удобствомъ къ изученію важнѣйшихъ вопросовъ о явленіяхъ природы, что сдѣлалось почти исключительно предметомъ соображеній самыхъ знаменитыхъ геометровъ. Съ этихъ поръ геометрія древнихъ и прекрасные способы изученія коническихъ сѣченій Дезарга, Паскаля, Де-Лагира и Ле-Пуавра были оставлены безъ вниманія.

Изъ всѣхъ великихъ произведеній второй и третьей эпохи одинъ только анализъ Декарта избѣжалъ этой общей участи. И это потому, что онъ служилъ существеннымъ основаніемъ для ученій Лейбница и Ньютона, — ученій, охватившихъ собою всю область математическихъ наукъ.

Впрочемъ, въ первое время, нѣкоторые геометры и во главѣ ихъ Гюйгенсъ, хотя умѣвшій оцѣнить всѣ выгоды анализа безконечно-малыхъ, затѣмъ Маклоренъ, глубокомысленный комментаторъ Трактата о флюксіяхъ, и самъ Ньютонъ — оставались вѣрны способу древнихъ и проникали въ самыя глубокія тайны геометріи, чтобы при ея только помощи рѣшать важнѣйшіе и высшіе вопросы физико-математическихъ наукъ.

Послѣ того еще нѣкоторые геометры, каковы Стевартъ и Ламбертъ, достойные продолжатели этихъ великихъ людей, шли по ихъ слѣдамъ и разрабатывали ихъ методы. Но наконецъ привлекательность новизны и могущество средствъ, представляемыхъ анализомъ безконечно-малыхъ, увлекли всѣ умы къ другимъ идеямъ и соображеніямъ. Если иногда можно сказать, что геометрія Гюйгенса и Ньютона, положивъ начало нашимъ положительнымъ знаніямъ, сдѣлалась недостаточна для продолженія ею созданнаго дѣла, то справедливо замѣтитъ также, что она не имѣла послѣдователей; я не знаю, дѣлались ли втеченіе трехъ четвертей столѣтія какія-нибудь новыя приложенія этого метода; теперь же только по преданію и на вѣру, можетъ быть даже легкомысленно, говорятъ о безсиліи этого метода и предѣлахъ, навсегда ограничивающихъ его приложенія,

2. Мы не можемъ представить здѣсь разбора всѣхъ изслѣдованій названныхъ нами великихъ геометровъ; такая задача не входитъ въ предѣлы нашего сочиненія и была бы выше нашихъ силъ. Мы упомянемъ только о тѣхъ изслѣдованіяхъ, которыя относятся къ одному отдѣлу геометріи, названному нами геометріей вида и положенія; это отдѣлъ, который получилъ начало въ геометрическомъ анализѣ древнихъ, потомъ въ теченіе двухъ тысячъ лѣтъ развивался въ приложеніяхъ къ неистощимой теоріи коническихъ сѣченій и къ которому наконецъ Декартъ однимъ росчеркомъ пера присоединилъ безчисленное множество геометрическихъ кривыхъ.

Сперва мы представимъ краткій очеркъ послѣдовательныхъ открытій въ области важнѣйшихъ свойствъ этихъ кривыхъ; а потомъ уже, возвратившись опять къ началу, будемъ говорить объ успѣхахъ въ другихъ отдѣлахъ геометріи.

3. Общія свойства геометрическихъ кривыхъ. Аналитическая геометрія Декарта представляла общій пріемъ, въ высшей степени приспособленный къ изученію геометрическихъ кривыхъ; этотъ философъ самъ показалъ все могущество и пользу его при рѣшеніи самыхъ разнообразныхъ вопросовъ. Но Ньютонъ и Маклоренъ первые приложили его къ изысканію общихъ и характеристическихъ свойствъ этого рода кривыхъ линій, такъ что открытіемъ первыхъ и важнѣйшихъ изъ этихъ свойствъ мы обязаны этимъ двумъ великимъ геометрамъ и знаменитому современнику ихъ Котесу.

Ньютонъ въ своемъ сочиненіи Enumeratio linearum tertii ordinis (1706 г.)^[1], представляющемъ удивительный образецъ высшей геометріи, показалъ три слѣдующія свойства, предложенныя имъ какъ распространеніе главныхъ свойствъ коническихъ сѣченій^[2].

Первое свойство относится къ діаметрамъ этихъ кривыхъ; оно состоитъ въ томъ, что, если въ плоскости геометрической кривой будутъ проведены сѣкущія, параллельныя между собою, и на каждой изъ нихъ будетъ взятъ центръ среднихъ разстояній всѣхъ точекъ пересѣченія ея съ кривою, то всѣ эти центры будутъ лежать на одной прямой линіи. Прямая эта называется діаметромъ кривой, соотвѣтствующимъ, или сопряженнымъ, направленію сѣкущихъ.

Второе общее свойство относится къ асимптотамъ: если кривая имѣетъ столько асимптотъ, сколько единицъ въ степени ея уравненія, то для всякой сѣкущей какого угодно направленія центръ среднихъ разстояній точекъ пересѣченія ея съ асимптотами будетъ тотъ же, какъ и точекъ пересѣченія ея съ кривою.

Другими словами: сумма отрѣзковъ, заключающихся между каждою вѣтвію кривой и ея асимптотою, будетъ одинакова по ту и другую сторону діаметра, сопряженнаго сѣкущей.

Наконецъ, третье общее свойство заключается въ постоянствѣ отношенія между произведеніями отрѣзковъ, образуемыхъ на двухъ сѣкущихъ параллельныхъ двумъ неподвижнымъ осямъ. Это свойство можно выразить въ общемъ видѣ слѣдующимъ образомъ: если черезъ какую нибудь точку въ плоскости геометрической кривой проведемъ двѣ сѣкущія, параллельныя двумъ постояннымъ осямъ, то произведенія отрѣзковъ, заключающихся на этихъ сѣкущихъ между точкою ихъ пересѣченія между собою и между кривою, находятся въ постоянномъ отношеніи, гдѣ бы ни взята была эта точка.

Легко видѣть, что эти три прекрасныя свойства, принадлежащія всѣмъ геометрическимъ кривымъ, представляютъ обобщеніе трехъ предложеній теоріи коническихъ сѣченій.

4. Главный предметъ сочиненія Ньютона состоялъ въ перечисленіи линій, заключающихся въ уравненіи третьей степени съ двумя перемѣнными. Ньютонъ различилъ семьдесять два вида кривыхъ; Стирлингъ прибавилъ къ этому еще четыре.

Послѣ этого перечисленія Ньютонъ далъ слѣдующее красивое и любопытное предложеніе, распредѣляющее эти кривыя на пять главныхъ обширныхъ класcовъ: «Подобно тому, какъ кругъ, помѣщенный противъ свѣтящей точки, даетъ своею тѣнью всѣ кривыя втораго порядка, — отъ тѣни пяти расходящихся параболъ получаются всѣ кривыя третьяго порядка».

Сочиненіе оканчивается органическимъ образованіемъ коническихъ сѣченій посредствомъ двухъ вращающихся около вершины, угловъ, двѣ стороны которыхъ пересѣкаются всегда на прямой линіи, двѣ же другія своимъ пересѣченіемъ образуютъ коническое сѣченіе; этотъ способъ образованія распространенъ на кривыя третьей и четвертой степени, имѣющія двойную точку.

Жаль, что Ньютонъ ограничился изложеніемъ этихъ прекрасныхъ открытій и не далъ ни доказательствъ, ни указаній на тотъ методъ, которому онъ слѣдовалъ. Черезъ нѣсколько лѣтъ Стирлингъ пополнилъ этотъ недостатокъ, возстановивъ съ необходимыми предварительными разъясненіями доказательства предложеній Ньютона, относящихся къ перечисленію линій третьяго порядка. Остальныя части сочиненія были доказаны впослѣдствіи различными геометрами. Прекрасная теорема объ образованіи всѣхъ кривыхъ третьяго порядка посредствомъ тѣни пяти расходящихся параболъ, — теорема, казавшаяся самою трудною, — была доказана Клеро^[3], Николемъ^[4], Мурдохомъ^[5] и Жакье^[6]. Но намъ кажется что аналитическія соображенія, въ которыхъ эти геометры почерпали достаточное подтвержденіе справедливости Ньютоновой теоремы, не обнаруживаютъ ни сущности, ни происхожденія ея. Поэтому отъ геометровъ, писавшихъ объ этомъ предметѣ, ускользнула другая подобная же теорема, находящаяся въ ближайшей связи съ теоремою Ньютона и представляющая другой способъ образованія всѣхъ кривыхъ третьяго порядка посредствомъ тѣни пяти изъ нихъ. Теорема эта состоитъ въ томъ, что между всѣми кривыми третьяго порядка существуетъ пять кривыхъ, имѣющихъ центръ^[7] и эти кривыя своею тѣнью, брасаемою на плоскость, образуютъ всѣ остальныя.

Эта новая теорема и теорема Ньютона проистекаютъ изъ одного свойства точекъ перегиба, которое, по нашему мнѣнію, есть настоящее основаніе этихъ теоремъ и можетъ быть полезно для чисто геометрической классификаціи кривыхъ третьяго порядка, основанной на различіи ихъ формъ. Свойство это мы изложимъ въ Примѣчаніи XX.

5. Маклоренъ (1698— 1746), вдохновенный прекрасными открытіями Ньютона написалъ два сочиненія великой важности о геометрическихъ кривыхъ. Въ первомъ изъ нихъ, посвященномъ органическому образованію геометрическихъ кривыхъ^[8], авторъ даетъ различные способы черченія всѣхъ геометрическихъ кривыхъ посредствомъ пересѣченія сторонъ двухъ движущихся извѣстнымъ образомъ угловъ. Здѣсь доказательства, изложенныя по способу координатъ, не всегда представляютъ достаточно простоты; но другое сочиненіе Маклорена De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus отличается необыкновеннымъ изяществомъ и строгостію.

Все это сочиненіе основывается на двухъ теоремахъ, заключающихъ въ себѣ два прекрасныя общія свойства геометрическихъ кривыхъ. Первая есть теорема знаменитаго Koтеса (1682 — 1716), которую другъ его ученый физикъ Р. Смитъ нашелъ въ его бумагахъ и сообщилъ Маклорену. Теорему эту можно выразить слѣдующимъ образомъ:

Если около неподвижной точки будемъ вращать сѣкущую, встрѣчающуюся съ геометрической кривой въ столькихъ точкахъ $A,\,B,\dots$, каковъ ея порядокъ, и если въ каждомъ положеніи сѣкущей будемъ брать на ней такую точку М, чтобы обратная величина разстоянія ея отъ неподвижной точки была средняя ариѳметическая между обратными величинами разстояній точекъ $A,\,B,\dots$ отъ неподвижной точки, то геометрическимъ мѣстомъ точки $M$ будетъ прямая линія.

Отрѣзокъ отъ неподвижной точки до точки $M$ Маклоренъ называетъ среднимъ гармоническимъ между отрѣзками отъ неподвижной точки до кривой^[9]. Понселе назвалъ точку $M$ центромъ среднихъ гармоническихъ относительно неподвижной точки и точекъ $A,\,B,\dots$^[10]. Этотъ же геометръ показалъ, что, если неподвижная точка находится въ безконечности, то точка $M$ дѣлается центромъ среднихъ разстояній точекъ $A,B,\dots$; отсюда слѣдуетъ, что теорема Котеса есть обобщеніе теоремы Ньютона о діаметрахъ кривыхъ линій [см. гл. IV, n° 3.].

Вторая теорема, употребляемая Маклореномъ и найденная имъ самимъ, есть слѣдующая:

Черезъ неподвижную точку въ плоскости геометрической кривой проводимъ сѣкущую, встрѣчающуюся съ кривою въ столькихъ точкахъ, каковъ порядокъ ея; въ этихъ точкахъ проводимъ касательныя къ кривой; черезъ ту же неподвижную точку проводимъ наконецъ еще неподвижную прямую по произвольному направленію: отрѣзки на этой прямой, заключающіеся между неподвижною точкою и всѣми касательными кривой таковы, что сумма обратныхъ имъ величинъ постоянна, каково бы ни было положеніе первой сѣкущей.

Сумма эта равна суммѣ обратныхъ величинъ отрѣзковъ, образующихся на той же неподвижной прямой между тою же точкою и точками пересѣченія этой прямой съ кривою.

6. Вторая теорема представляетъ важное обобщеніе теоремы Ньютона объ асимптотахъ; одна изъ этихъ теоремъ переходитъ въ другую при перспективѣ.

Такимъ образомъ двѣ изъ трехъ Ньютоновыхъ теоремъ о геометрическихъ кривыхъ обобщены Котесомъ и Маклореномъ. Третья теорема, относящаяся къ отрѣзкамъ между параллельными сѣкущими, получила подобное же обобщеніе въ Géométrie de position, гдѣ разсматриваются сѣкущія, проходящія черезъ одну точку. Карно далъ даже еще болѣе широкое и полезное обобщеніе этой теоремы, разсматривая ее какъ частный случай прекраснаго общаго предложенія о какомъ-нибудь многоугольникѣ, проведенномъ въ плоскости геометрической кривой.

7. Въ вышеприведенной теоремѣ Маклоренъ разсматривалъ также случай, когда неподвижная точка, черезъ которую проводятся сѣкущія, находится на самой кривой, и при помощи свойствъ круга онъ превращалъ уравненіе, выражающее теорему, въ другое, содержащее хорду круга кривизны кривой въ неподвижной точкѣ. Этимъ путемъ онъ получилъ двѣ другія теоремы, служившія ему для построенія круга кривизны и для дифференціальнаго выраженія радіуса кривизны.

Такое геометрическое построеніе круга кривизны прямо на чертежѣ, безъ помощи теоріи флюксій и даже безъ помощи Декартова анализа, оставалось, кажется, незамѣченнымъ въ сочиненіи Маклорена и мы не знаемъ, говорилось ли о немъ когда-нибудь. Мы думаемъ однако, что оно заслуживаетъ вниманія, потому что до сихъ поръ задача эта считалась разрѣшимою не иначе какъ при пособіи анализа.

Маклоренъ предполагаетъ извѣстнымъ направленіе нормали въ той точкѣ, для которой опредѣляется кругъ кривизны. Удивительно, что ему не пришло на мысль построить и нормаль путемъ чисто геометрическимъ, безъ помощи анализа. Задача эта того же рода, какъ и задача о кругѣ кривизны, и даже проще ея. Мы нашли очень простое построеніе той и другой, вытекающее изъ третьей теоремы Ньютона. Въ то время мы не знали еще, что построеніе круга кривизны уже существуетъ; рѣшеніе наше впрочемъ совершенно отличается отъ рѣшенія Маклорена, потому что основывается на другомъ свойствѣ геометрическихъ кривыхъ.

8. Четыре общія теоремы, о которыхъ мы говорили, составляютъ предметъ перваго отдѣла въ сочиненіи Маклорена. Въ двухъ другихъ отдѣлахъ находятся приложенія этихъ теоремъ къ коническимъ сѣченіямъ и къ кривымъ третьяго порядка.

Во второмъ отдѣлѣ мы встрѣчаемъ различныя свойства гармоническаго дѣленія сѣкущихъ въ коническомъ сѣченіи и теорему о вписанномъ четыреугольникѣ (которую мы вывели изъ шестиугольника Паскаля [въ прим. къ n° 16 гл. II]), заключающую въ себѣ теорію полюсовъ. Теорема о шестиугольникѣ изложена здѣсь безъ доказательства, такъ какъ Маклоренъ доказалъ ее различными способами въ другомъ мѣстѣ^[11].

Отдѣлъ третій заключаетъ въ себѣ множество любопытныхъ свойствъ кривыхъ линій третьяго порядка. Слѣдующее есть самое важное, изъ котораго выводится большая часть другихъ свойствъ, относящихся къ точкамъ перегиба и двойнымъ точкамъ; вотъ оно:

Если четыре вершины и двѣ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ четыреугольника лежатъ на кривой третьяго порядка, то касательныя, проведенныя въ противоположныхъ вершинахъ будутъ пересѣкаться на той же кривой.

Эту теорему Маклоренъ изложилъ еще прежде въ Treatise of fluxions (n° 401) и замѣтилъ, что теорема о четыреугольникѣ вписанномъ въ коническое сѣченіе есть ея частный случай; въ этомъ нетрудно убѣдиться, если будемъ разсматривать коническое сѣченіе въ совокупности съ прямою, соединяющею точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ четыреугольника, какъ кривую третьяго порядка.

Теорему Паскаля можно также разсматривать, какъ слѣдствіе одного свойства кривыхъ третьяго порядка, болѣе общаго, чѣмъ свойство Маклорена, именно слѣдующаго:

Если шесть вершинъ шестиугольника и двѣ изъ трехъ точекъ пересѣченія его противоположныхъ сторонъ лежатъ на кривой третьяго порядка, то третья точка пересѣченія находится на той же кривой.^[12]

9. Существуетъ еще отрывокъ изъ одного мемуара Маклорена о теоріи кривыхъ линій, написаннаго имъ во Франціи въ 1721 году въ видѣ дополненія къ Geometria organica; печатаніе этого мемуара было начато, но онъ не былъ изданъ. Въ 1732 году упомянутый отрывокъ былъ переданъ Лондонскому Королевскому Обществу и напечатанъ въ Philosophical Transactions 1735 года. Въ немъ слѣдуетъ замѣтитъ одну теорему, составляющую значительнѣйшую его часть, именно:

Если многоугольникъ, измѣняемаго вида, перемѣщается такъ, что всѣ стороны его проходятъ черезъ данныя точки, a всѣ вершины, кромѣ одной движутся по геометрическимъ кривымъ порядковъ $m,n,p,q,\dots$; то свободная вершина описываетъ вообще кривую порядка $2mnpq\dots$; и порядка вдвое меньшаго $mnpq\dots$, когда всѣ данныя точки находятся на одной прямой.

Если всѣ направляющія линіи будутъ прямыя, то кривая, описывается свободною вершиною многоугольника, будетъ коническое сѣченіе; если вмѣсто многоугольника возьмемъ треугольникъ, то теорема будетъ ничто иное, какъ шестиугольникъ Паскаля^[13]. Для случая, когда одна изъ трехъ точекъ, черезъ которыя должны проходить стороны измѣняющагося треугольника, находится въ безконечности, теорема эта была доказана еще Ньютономъ (лемма 20-я 1-й книги Principia). Но Маклорену обязаны мы изложеніемъ ея въ общемъ видѣ и тѣмъ, что въ этомъ способѣ образованія кривыхъ онъ усмотрѣлъ прекрасную теорему Паскаля, которая въ то время была неизвѣстна, такъ какъ Essai sur les coniques, въ которомъ она изложена, было найдено стараніями аббата Боссю только въ 1779 году^[14].

Впослѣдствіи Маклоренъ прямо доказаль эту теорему для круга и отсюда, по способу перспективы, распространилъ ее на всѣ виды коническихъ сѣченій. (См. Treatise of fluxions, гл. XIV, гдѣ Маклоренъ доказываетъ важнѣйшія свойства эллипса, разсматривая его, какъ сѣченіе косаго цилиндра съ круглымъ основаніемъ).

10. Брайкенриджъ (Braikenridge) былъ достойнымъ соревнователемъ Маклорена въ вопросѣ объ образованіи кривыхъ всѣхъ порядковъ и теорія эта обязана ему многими основными предложеніями, относящимися главнымъ образомъ къ образованію кривыхъ посредствомъ пересѣченія прямыхъ, вращающихся около неподвижныхъ полюсовъ; изслѣдованія его помѣщены въ сочиненіи его: Exercitatio Geometriae de descriptione linearum curvarum (in — 4°, 1733) и въ мемуарѣ его, напечатанномъ въ Philosophical Transactions, 1735.

Послѣ этого многіе другіе геометры съ успѣхомъ прилагали Декартову геометрію къ общей теоріи геометрическихъ кривыхъ.

Николь (Nicole, 1683 — 1759), по примѣру Стирлинга, доказавшаго предложенія, только указанныя Ньютономъ въ Enumeratio linearum tertii ordines, началъ также изъясненіе началъ, которыми могъ руководствоваться великій геометръ, и далъ доказательство важнаго и любопытнаго предложенія объ образованіи всѣхъ кривыхъ третьяго порядка посредствомъ тѣни пяти расходящихся параболъ, — предложенія, которое не было доказано Стирлингомъ^[15].

Аббатъ Бражелонъ (Bragelogne, 1688— 1744) первый доказалъ, еще въ 1708 году, прекрасныя теоремы Ньютона объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій и кривыхъ третьяго и четвертаго порядка, имѣющихъ двойныя точки ^[16]; потомъ онъ предпринялъ перечисленіе и изслѣдованiе формъ и особенностей кривыхъ четвертаго порядка. Это — работа громадная и трудная, которой только первыя части были изданы: смерть автора лишила насъ остальныхъ частей^[17].

Аббатъ Де-Гюа (De-Gua, 1712 — 1786) въ превосходномъ сочиненіи подъ заглавіемъ: Usages de l'analyse de Descartes (in — 12°, 1740) показалъ способы опредѣлять касательныя, асимптоты и особыя точки (кратныя, сопряженныя, точки перегиба и возврата) въ кривыхъ всякаго порядка; онъ первый обнаружилъ, при помощи перспективы, что многія изъ этихъ точекъ могутъ находиться въ безконечности; это привело его къ объясненію a priori той любопытной аналогіи, которая существуетъ между различными видами такихъ точекъ и различными видами безконечныхъ вѣтвей кривыхъ линій, какъ-то гиперболическими и параболическими; къ аналогіи этой онъ еще прежде приведенъ былъ анализомъ.

Этотъ искусный геометръ имѣлъ цѣлію доказать, что въ большинствѣ изысканій о геометрическихъ кривыхъ анализъ Декарта можетъ быть употребляемъ съ такимъ же успѣхомъ, какъ и дифференціальное исчисленіе. Онъ признавалъ пользу исчисленія безконечно-малыхъ только въ рѣшеніи задачъ интегральнаго исчисленія и въ вопросахъ относительно кривыхъ механическихъ. Дѣйствительно, это единственные вопросы, въ которыхъ нельзя обойтись безъ этого исчисленія и только ихъ рѣшалъ Ньютонъ подобнымъ путемъ.

Эйлеръ (1707 — 1783) въ Introductio in analysin infinitorum (2 vol. in — 4°, 1748) изложилъ общія начала аналитической теоріи геометрическихъ кривыхъ съ тою общностію и ясностію, которыми отличаются сочиненія этого великаго геометра; распространяя подобныя же изысканія на геометрію трехъ измѣреній, онъ въ первый разъ изслѣдовалъ уравненіе съ тремя перемѣнными, заключающее въ себѣ поверхности втораго порядка.

Въ то же самое время Крамеръ (1704 — 1752) издалъ по этой обширной и важной отрасли геометріи спеціальное сочиненіе подъ заглавіемъ: Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (in— 4°, 1750); это есть самое полное сочиненіе, уважаемое и до сихъ поръ.

Вскорѣ послѣ этого явилось сочиненіе: Traité des courbes algébriques (in — 12, 1756) Дю-Сежура и Гудена (Dionis du Séjour, 1734 — 1794; Goudin, 1734— 1805), въ которомъ ясно и точно рѣшены, съ помощію одного только анализа Декарта, задачи объ особенностяхъ кривыхъ, о ихъ касательныхъ, асимптотахъ, радіусахъ кривизны и пр.

Гуденъ издалъ еще другое сочиненіе: Traite des propriétés communes à toutes les courbes, имѣющее предметомъ преобразованіе координатъ въ уравненіяхъ какихъ-нибудь кривыхъ линій. Это рядъ формулъ съ тремя и четырьмя перемѣнными, изъ которыхъ каждая выражаетъ вообще особое свойство кривой линіи^[18].

Упомянемъ еще, о Варингѣ (Waring, 1734— 1798), который во многихъ сочиненіяхъ своихъ шелъ далѣе своихъ предшественниковъ въ открытіяхъ по теоріи кривыхъ линій^[19].

Вотъ, кажется, всѣ замѣтныя усовершенствованія въ теоріи кривыхъ линій, имѣвшія источникомъ геометрію древнихъ и анализъ Декарта.

11. Въ періодъ, о которомъ мы говоримъ, успѣхи по другимъ отдѣламъ науки о пространствѣ были менѣе значительны и не такъ удовлетворительны, какъ въ общей теоріи геометрическихъ кривыхъ. Впрочемъ изслѣдованія коническихъ сѣченій продолжались и со стороны великихъ математиковъ Галлея, Стеварта, Симсона и др. сдѣланы были усилія, чтобы возстановить и воабудить стремленіе къ геометріи древнихъ; нѣкоторые частные вопросы были изслѣдуемы отъ времени до времени знаменитыми аналистами Эйлеромъ, Ламбертомъ, Лагранжемъ, Фуссомъ и др. въ тѣ немногія свободныя минуты, которыя имъ оставались отъ избранныхъ ими занятій. Но труды эти, какъ намъ кажется, могли только поддерживать знаніе пріемовъ древней геометріи, но не были способны породить новыя изслѣдованія; истинные успѣхи въ чистой геометріи начинаются не ранѣе, какъ съ начала нынѣшняго столѣтія.

Геометрія въ приложеніи къ физическимъ явленіямъ. Но въ эту эпоху геометрія получила особое значеніе, благодаря ея приложеніямъ къ физическимъ явленіямъ и благодаря великимъ открытіямъ, которыя при ея помощи сдѣланы были въ системѣ міра Ньютономъ, Маклореномъ, Стевартомъ, Ламбертомъ. Никогда прикладная геометрія не имѣла такого блеска; къ сожалѣнію это продолжалось недолго и мы должны сознаться, что въ наше время эта наука почти совсѣмъ неизвѣстна: исчисленіе безконечно-малыхъ исключительно овладѣло всѣми вопросами, которые рѣшались при помощи геометріи Ньютономъ и его учениками.

Примѣчанія.

1. [Русск. перев. Д.Д. Мордухай-Болтовского: Перечисление кривых третьего порядка // Ньютон. Математические работы. М.-Л.: ГТТИ, 1937.]
2. Proprietates sectionum conicarum competunt carvis superiorum generum.
3. Mémoires de l'Académie des sciences, 1731.
4. Тамъ же.
5. Murdoch. Neutoni Genesis curvarum per umbras, in—8°, Lond. 1746.
6. Pére Jacquier. Elementi di perspettiva. Appendice, in—8°, Romae, 1755.
7. Это кривыя, помѣщенныя въ перечисленіи 72-хъ видовъ Ньютона подъ n°n° 27, 38, 59, 62, 72 и изображенныя на фигурахъ 37, 47, 67, 70 и 81.
8. Geometria organica, sive descriptio linearum curvarum universatis, in — 4°, 1719.
9. Маклоренъ говоритъ, что количество есть среднее гармоническое между нѣсколькими другими, когда обратная величина его есть средняя ариѳметическая между обратными величинами этихъ количествъ (Traité des courbes géométriques, § 28).
10. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Журналъ Крелля, томъ III.
11. Philosophical Transactions, n° 439; 1735; и Treatise of fluxions, n°n° 322, 623.
12. Чтобы доказать эту теорему, достаточно разсматривать въ шестиугольникѣ три стороны нечетнаго порядка, какъ кривую третьяго порядка, и стороны четнаго порядка, какъ другую кривую третьяго порядка. Черезъ девять точекъ пересѣченія этихъ линій можно провести безчисленное множество кривыхъ третьяго порядка; но данная кривая проходитъ черезъ восемь изъ этихъ точекъ, a потому, на основаніи общаго свойства кривыхъ третьяго порядка, она проходитъ и черезъ девятую. [См. Введение Кремоны, § 45c-45d.]
13. [См. Прим. XV]
14. Можетъ быть Маклорену, бывшему около 1721 года во Франціи, и извѣстно было сочиненіе Паскаля; но теорема о шестиугольникѣ проистекаетъ такъ естественно изъ способа образованія коническихъ сѣченій помощію подвижнаго треугольника, что было бы удивительно, если бы она ускользнула отъ проницательности Маклорена, который глубоко вдумывался во все, относившееся къ образованію кривыхъ линій, какъ онъ говоритъ это самъ въ письмѣ, сообщенномъ Лондонскому Королевскому Обществу 21 декабря 1732 года. (Philosophical Transactions, 1735).
15. Mémoires de l'Académie des sciences, 1731.
16. Journal des Savans, 30 septembre 1708.
17. Первая часть этого перечисленія напечатана въ Mémoires de l'Académie des sciences 1730 и 1731 года, вторая же не была издана; разборъ ея находится въ Histoire de l'Académie pour 1732.
18. Здѣсь находимъ, между прочимъ, сорокъ пять различныхъ уравненій эллинса, въ которыхъ за начало координатъ принимается центръ и фокусъ.
    Это интересное сочиненіе Гудена имѣло три изданія; послѣднее въ 1803 году; ко всѣмъ изданіямъ прибавлены: мемуаръ о солнечныхъ затменіяхъ и статья объ алгебраическихъ кривыхъ; въ послѣднемъ же изданіи кромѣ того мемуаръ объ употребленіи эллипса въ тригонометріи.
19. Кромѣ многихъ — мемуаровъ напечатанныхъ по англійски въ Philosophical Transactions 1763 и 1791 года, Варингъ написалъ о геометрическихъ кривыхъ два особые трактата: Miscellanea analytica de aequationibus algebraicis et curvarum proprietatibus, in—4°, 1762; и Projetates geometricarum curvarum, in — 4°, 1772.